平面齿廓两次作用和共轭曲线_朱恒生

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1、卜,、 )二二、_l,、)、,:,:。平面齿廓两次作用和共辘曲线未 恒生机械 设计教研室)【提要】本文 阐述了平 面齿廓两次作用原理及基本特性,指出了一给定齿廓通常有“两条”作用线和对应的“两条”共扼曲线,介绍了考虑平面齿廓两次作用时的作用线、两次作用啮合计算法及计算举例。前告口现行的平面啮合计算法,即求共扼曲线的方法,主要有包络曲线法1)、击廓法线法、点内代换法6,以 及通过微积分求解啮合线和 共辘街廓间的关系 式的方法(4。必须指出的是,当给定一齿廓曲线,即使在其瞬心圆一定的条件下,与之对应的啮合线(本文称为作用线)通常有两条,因此,即使在与给定齿廓共辘的 断轮瞬心圆亦一定的条件下,与给定

2、齿廓共扼的齿廓曲线也必有两条,这是 齿轮 的装本属性,是齿轮啮合的重要 理论基础之一。本文特称齿轮的这一特性为街廓的 两次作用。但在现行的平而齿轮啮合计算 中,对齿轮的两 次作 用尚未引起注视。笔者研究表明,在近年出现的某些新型的内齿轮 啮合形式中,其共扼曲线实质上就是采用齿廓的“第2次”作用所 形成的齿廓曲线,因 此研究齿廓的两次作用,不但理论上有必要,而且有一定的实际意义。木文着重介绍平面齿廓两 次作川的从本理 论及啮合计算方法。至 于平面齿廓两次作川在生产实践中的应用等,笔者将另文 发表。一、平面齿廓的两次作用图1中,(C为齿 轮瞬心 圆,半径为R,P为 齿轮传动 时 的啮 合, l j

3、 点,当齿轮齿廓在图示1位置时,过齿廓上一点M所作的法线M:P通过啮合节点P。延一 民M:P线,交瞬心 圆 C 于另一 点b,当齿 轮绕其轮心O按图示 方向旋转,b:点到达P点位置,即b:和P点 重合时,齿廓到达图示2位置,此时过齿廓上 同一个M点所 作 的齿廓法线M:P,再次通过节点P,图中b:为法线MZP. 与瞬心圆C的交点。本文1 98 0 年5月收 到。由于过齿廓上一点作的齿廓法线,与齿轮瞬心圆通常有两个交点,因此其法线在某一瞬时位置通过啮合节点P,当齿轮围绕其轴线旋转某一角度后的另一瞬时位置,将再次通 过啮合节点P,在此将这一 现象,称之为齿廓的两次作用。图示中满足齿廓两次作用定义的

4、M:、MZ点,特称为第1、第2作用点,M:、M:沿齿廓移动因而在齿轮基架坐标系中所描绘的轨迹曲线丫:一Y:、YZ一丫:,特称为第1、第2作用线。由于齿廓两条作用线的存在,为齿廓提供了两条共扼曲线,设与齿廓沿第1作用线啮合时的共扼曲线为第1共扼曲线,另一条则称为第2共扼曲线。在一对齿轮中心距 和传动比一定,即一对齿轮瞬心圆一定的条件下,与给定齿廓对应的两条作用线及两条共扼曲线也就一定。从理论上说,此齿廓不论与第1还是第2共辆曲线的啮合,均满足齿廓啮合基本定律。齿廓上一点M在M:位置与其共扼齿廓的啮合,特称为第1次,啮合,在M:位置与其共辘齿廓的啮合,特称为第2次,啮合,如果 齿廓上同一点M与其共

5、辘齿廓既能在M:位置啮合,又能在MZ位置再次啮合,即既有第1次,啮合又有第2次,啮合的现象,称之为齿廓的两次啮合,否则内廓仅有第l次,啮合,或仅有第2次,啮合的现象,均称为一次啮合。齿廓的两次作用,为齿廓的两次啮合提供了可能性。两次啮合必须具备一定的 条件,而两次啮合是否存在,要根据齿轮传动的具体情况予以决定。在某些新型的内啮合齿轮形式中,其共辆齿轮齿廓曲线就是采用第2共辘曲线,实例有余摆线机械真空泵的泵腔曲线等。韭且在这 类内啮合中还存在着两次啮合的特性。因此研究齿廓的两次作用,且考虑采用第2共扼曲线,或者第1、第2共辘 曲线两者兼作为共扼齿 轮齿廓曲线,不但有现实意义,而 且对于发现新齿形

6、,以潇足 生 产发展的需要,也是值得研究的课题。当然在选择齿廓曲线 时,还应检验 是否存在轮齿曲率干涉,以 及从设计、制造和使用等各方而综合考虑之。本文不讨 论这个问题。附带指出的是,作 用线 和通常所说的啮合线 是两个有区别的概念,如前所述,作用线是一齿廓作 用点的轨迹,有两条,而啮合线是一对齿轮啮合时,啮合点(在齿轮基架坐标系中所描绘)的轨迹,在通常的齿廓一 次啮 合中,只有一条,即只有一条作用线变为啮合线,另一条不是啮合线。如果将作用线称为理论啮合线,也未尝不可。不难看出,当R,c o时,齿轮变为齿条,瞬心圆变为瞬心线,此时过齿条齿廓3上一点作的齿廓法线,与瞬心线只有一个交点。由此说 明

7、,一齿条齿廓只有一次作川,没有两次作用,即齿条齿廓只具有“一条”作用线,只有对应的“一条”共扼曲线。二、两次作用的特点(一)等各圆和等p圆在图1中,设齿廓上M点至轮心O的距离为向径p=OM,M点的向径和该点齿廓法 线间所夹的(锐)角为乙,称为压力余角。根据齿廓两次作 川的概念,两作用点M:、M:间存在、一 下列特点:向径不变p=O M:=OM:(1)压力余角不变乙= =艺PM:O=匕PM:O(2)1。等6圆图2图2中,过节点P和轮心O作一圆,取圆周上一点S,上所有点与P和O连线间所夹的(锐)角,均具有相等的乙,图中用护表示。设艺PSO=色,此圆特称为等则圆周乙圆,过P点作瞬心圆(C)的切线,点

8、为图示的E点,连线EO即为等称为T线,图中用(T各圆的直径,其值为R表示。其与等各圆的交5in6过P和O两点可作一系列的圆,即为不 同邑杭的等乙圆。根 据式(2),两作用 点必分布在同一个乙值的 等乙圆上。如图所示,同一个各值的等乙圆,在OP线的两侧具有完全对称的两个,(3)作J目点选取在哪一侧的等吝圆上,与齿廓侧面和齿轮传动时 两 齿轮旋转方向等因素有关,为讨论简便起见,本文仅选取O P线右侧的等a圆予以讨论。2。等p圆以轮心O为i团心所作的圆,称为等p圆,I 划中川p,表示。如图3所示,等6圆与等p圆的交点,即为两作川点M,及MZ。图3(二)作用点存在的亲件图3I,女l 一pO E=R5i

9、h乙1. ,各,不r一p不相交,作J月点不存在。因此作用点存在的条件为p基尺5in己(4)1。当p=R5in邑时,乙,和p,在E点相切,作川点M:、M:在T线上重合,为齿廓上一特殊点,此点只具有一次作用,没有两次作用。2.当pp时,作用点必在K,(KZ)和C,(CZ) 区间内对应存在。在本 文下面的讨论中,当涉及到 两作用点(线)间的存在范围时,均遵循 这种规律,不再说明。(四)方程p=p(6)和r=r(a)的关系当齿廓曲线一定时,各和p的对应关系亦一定,即齿廓曲线方程可用p二p(扔表示。取节点P为作用线的极坐标原点,T线为极轴,设a为作用线向径r=PM与T线间所夹的(锐)角(图6),作用线的

10、极坐标方程设为r= =r(。)。根据图中几何关系得:Poin乙Peo s己二Rco勺任(5)二IR、1na土r(6)式中规定r为正值,且作用点M在T线上方,即M点 与 (C)圆在T线的 异侧时,取上一号,M点 在T线下方,即M点与(C)圆在T线 的 同侧时,取 下号。因此当已知方程r=r(a)时,由式(5)、(6)可求得p=p必),反 之亦然。引6式可直接由式(5)、(6)变换求得(2,当内廓曲线方程用特殊的 法线极坐标p(句 表示时,则作用线和齿廓曲线方程而不需要通过所谓啮合方程式作为中间媒介求得(们l。三、作用线方 程根据齿廓两次作用的特点,两作用线间 存 在肴一定 的 关 系。在图7中,

11、矢量 式=俞:、几=俞:表示两 作用线丫:一丫:、(一)矢t方程式由图中得共线 矢量方程式为 几=成十b瓜:(7)丫2一丫:。:= =bIP+一)I盆(8)设矢量b孙:和P介间的夹角为,则几与P介间的夹角为一瓦即矢量b为:转过一:。角度后即为矢量几。设厂转过一2。后的矢量为井,称转向矢量,则咖2=介,因此式( 7 )可写成今洲.知T名二乡Fb(9)式中:线段:+r;Pb:=Pb,= =rt=r一= =(二)代数方程式设rl、rZ均为正值,ZRSin aPM:r,=PM,与T线间所夹之锐角为a,则(10),:二2Rsin a士r:(11)式中当M:在T线上方时,即第1作用线丫,一丫;在E区间(第

12、2作用线必在T区间)时,取上号,场M,在T线 下 方,即第1作用线在T、C、K区间(第2作用线必在对应的E、K、C区间)时,取下号。且rZ=PMZ与T线间所夹乏锐角亦为a。(三)作用点在界限线上时的特性1.当M、在T线上时,因a=o,由式(11)得12=r,如图s江所示,此时M:、M:重 合,在图中以MT表示,此点为 占廓两作)” 线的交点。根据齿j邻两次作用的特点,不难得 出如下重要结论:如一齿廓两作用线相交的话,则它们的交点必在T线 卜,即如击廓作川线 之歹T线相交于M:点,则作用线之二 必通过M:点。与MT对应的齿廓上的M点,即为前面所违的因廓上的特殊点,具有p=5in各此点只有一次作用

13、,没有两次作川。2.当M,在C圆上时,如图sb所示,图中以M:。表示,此时r:=ZR,ina,山式(1 一)得rZ=0,此时MZ 。与节点P重合。3.当M:在K圆上时,如图se所示,图中以M:K表示,此时r:=Rsina,由式(11)得r:=Rsina,即此时M:亦在K圆上,图中以MZ二表示,如图所示,M: :与M:、位于O线的对称位置上。4.当M:在。线上时,a二老一,如图8 d所示,MZ亦 在。线 上,根据 式乙(11),有r:二】ZR士r;。四、两次作用啮合计算法当一齿轮齿廓曲线及其瞬心圆一定后,此 齿廓的两条作用线就一定 了;当与之共辘的另一齿轮瞬心圆亦一定时,则与两作用线对应的两条共

14、辆曲线也就一定 了。这就是在一对齿轮瞬心 圆一定时,一齿廓曲线 的两条作用线与其两条共扼曲线之间关系的确 定性,可 用基于齿哪两次作用原理的啮合计算方法把它们的关系求解出来,在此将此方法称之为两 次作用啮 合 计算法。两次作用啮合计算法 可以根据占廓两 次作用的特点,采川现行的某些啮合计算公式求解,本文将在下面着重介绍其中的一种方法。本拼当齿廓第l作用线 方程为r:=r:(。),如式( 11 )所示,则其第2作川线方程为r:=r:(a),d l为极角a的函数。因此可利JJ本文所述 的p=p(乙)与r=r(a)的关系式,直接分别求得与两作川线对应的两条共 扼曲线方程。但是用此方法时的齿廓曲线方程

15、形式为用线用极坐标,p“p(6),一般可能会对此感到 不 习惯和 不方便,故本文将介绍 作齿廓曲线用直角坐标的两次作用啮合计算法。(一)作用线与齿轮转角的关系dr二d入eos(a+da)在图9中,齿轮占廓曲线为 日一日,瞬心圆半径为R,其作用线 用极坐标表示,以方程r二 r(a)统一表示其第1、第2作用线。图中齿廓上一点M的法线PM与瞬 心圆的交点为P,即P点为齿廓上M点 处于啮合状态时的节点,此时作用线的向径和极角分别为r和a,齿轮转角为甲。当齿轮转过d甲角度后,作用点由M移到M尹,MP为齿廓上M点的法线,此时节点为P,作用弧入转过d入=PP ,=Rd甲,作用线向径PM二r+dr,极角由a变

16、为a+da(图中未标出),图中QM二PM二r,PQ=dr,根据图 示 微 分 关系,在PPQ中,艺 QPP“a+da,有=d入(e osaeosda一 sinasinda)二d 入eos a二Rd甲eosa*、。,dr 驭a人,找Q甲=飞 石亏压-齿轮转角与作用线间有dr/ da 一Qa(12) CO Sadr/dada=甲(a)C O S a.IJ1RId、二一 食I。怎= (13)(二)共辘齿轮齿廓曲线在图1 0中,设给定齿廓日一日的瞬 心!阅半径为R:,M为作用点,此时两齿轮的转角分别为印,及甲:,与两齿轮固结的坐标系分别为图示X,O,Y:和X:O:YZ,根据图示坐标关系,得与齿轮1共辘的齿轮2的齿廓曲线方程为当作用点在图示E,一T,区间时X:=一R:5in甲:+reos(印:士a)Y:二R:eos甲:+rsizl(印:士以)(1 4)当作用点在图示K,一C:区间时IX:=一I之25in印2午re os(甲2士()YZ