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1、第六章第六章 梁的应力梁的应力怎样导出梁在弯曲时横截面上的正应力公式？怎样导出梁在弯曲时横截面上的正应力公式？弯曲正应力和切应力的分布有什么规律？弯曲正应力和切应力的分布有什么规律？如何进行梁的强度分析？如何进行梁的强度分析？如何分析梁在组合变形中的应力？如何分析梁在组合变形中的应力？1. 1. 纯弯曲和横力弯曲纯弯曲和横力弯曲6.1 6.1 弯曲正应力弯曲正应力纯弯曲纯弯曲 ( ( pure bending )pure bending )横力弯曲横力弯曲 ( ( transverse load transverse load bending )bending )2. 2. 关于梁弯曲的假定关
2、于梁弯曲的假定 单向受力假定单向受力假定 平平截面假定截面假定3. 3. 中性面中性面 ( ( neutral surface )neutral surface )dxxydzx xd dx xd d - -y yy ym mn nmm n n d d= = d d ) )( (y yn nm m = = d dd d = =x xy=y=4. 横截面上的正应力x xmnmnd d= =mnmnmnmnn nm m = = x xy yd dd d = =y yE EE E = = = 几何关系几何关系( ( 平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设 ) )物理关系物理关系( ( HookeH
3、ooke 定律定律定律定律 ) )d dx xx xy y d d zy yd dx xx xzdA力学关系力学关系( ( 横截面上轴力、弯矩与横截面上轴力、弯矩与横截面上轴力、弯矩与横截面上轴力、弯矩与正应力的关系正应力的关系正应力的关系正应力的关系 ) )1) 1) 正应力的合力即截面上的轴力正应力的合力即截面上的轴力正应力的合力即截面上的轴力正应力的合力即截面上的轴力0 0d d= = =A AN N A A A Ay yE EA Ad d 0 0= = = =z zS SE E A Ay yE EA Ad d = = 0 0= =z zS S重要结论重要结论重要结论重要结论中性轴必定过
4、形心。中性轴必定过形心。2) 2) 正应力对正应力对正应力对正应力对 y y 轴的合力矩即截面上的弯矩轴的合力矩即截面上的弯矩轴的合力矩即截面上的弯矩轴的合力矩即截面上的弯矩 MMy0 0d d= = = = = =yzyzA Ay yI IE EA AyzyzE EMM 0 0d d= = = = = =yzyzA Ay yI IE EA AyzyzE EMM 3) 3) 正应力对正应力对正应力对正应力对 z z 轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩轴（中性轴）的合力矩即截面上的弯矩 MMz zzz EIM=1zz EIM=1
5、y0 0= =yzyzI I结论结论中性轴必为形心惯性主轴。y yd dx xx xzdA中性轴必为形心惯性主轴。A Ay yE EA Ad d2 2 = = z zI IE E = =A Ay yE EA Ad d2 2 = = A Ay yMMA Az zd d= = zz IyM=zz IyM=重要公式重要公式重要公式重要公式y yE EE E = = =zz IyM=重要公式重要公式重要公式重要公式5. 5. 梁的正应力计算梁的正应力计算对于横力弯曲，梁的正应力公对于横力弯曲，梁的正应力公式是近似的，但是其误差一般在工式是近似的，但是其误差一般在工程允许的范围内。程允许的范围内。z z
6、I Iy yMMmaxmaxmaxmax maxmax= = 危险点应力：危险点应力：危险点应力：危险点应力：MMmaxmax：在梁的在梁的在梁的在梁的所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面所有横截面中，选择弯矩为峰值的截面y ymaxmax： 在指定的横截面上，选择离中性轴最远的点在指定的横截面上，选择离中性轴最远的点在指定的横截面上，选择离中性轴最远的点在指定的横截面上，选择离中性轴最远的点 = =z zI Iy yMMmaxmaxmaxmax maxmax 梁的梁的强度条件强度条件maxmaxmaxmax maxmaxy y
7、I IMMz z= = = =z zWWMMmaxmax中性轴又是上下对称轴的情况中性轴又是上下对称轴的情况重要数据重要数据实心圆截面实心圆截面d3 332321 1d dWW = =矩形截面矩形截面b bh h空心圆截面空心圆截面D Dd) )( (4 43 31 132321 1 = =D DWWD Dd d= = 2 2 6 61 1bhbhWW = = 1 1mm3 3mm1 1mmq = q = 10 10 kNkN/ /mm 例例已知如图梁的已知如图梁的 为为120120MPaMPa，试确定尺寸试确定尺寸b b。先先确定危险截面：确定危险截面：mmkNkN25256 6maxmax
8、 = =. .MM2 2b bb bMMx x5 5kNmkNm6.256.25kNmkNm3 32 2 3 32 22 26 61 1 b bb bb bWW= = = =) )( ( = = = 3 32 23 3maxmaxmaxmax maxmaxb bMM WWMM mmmm7 74242 223 33 3maxmax. .= = MMb b 故故取取b b= 43 mm= 43 mmm57.=动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔撑杆跳过程中某时刻跳杆曲撑杆跳过程中某时刻跳杆曲率半径为率半径为 7.57.5mm，增强玻璃钢跳增强玻璃钢跳杆直径为杆直径为 40 40 mmmm，E
9、E = 120 = 120 GPaGPa，求此时杆中的最大正应力。求此时杆中的最大正应力。由由弯曲曲率公式弯曲曲率公式可得可得EIEIMM= = 1 1 EIEIMM = = WWEIEI WWMM = = = MPaMPa3203202 2= = = EdEd 跳杆中跳杆中最大正应力最大正应力2 2mm4 4mmq = q = 10 10 kNkN/ /mmP P = 10kN= 10kN1515kNkN3535kNkNy y1 1= = 4545y y2 2= = 9090I Iz z= = 8.848.84 mmmm4 4例例在如图的结构中，求最大拉在如图的结构中，求最大拉应力和最大压应
10、力。应力和最大压应力。在在A A 截面截面MPaMPa8 81011011 1maxmax. .= = =+ +z zA AI Iy yMM MPaMPa8 81011011 1maxmax. .= = =+ +z zA AI Iy yMM MPaMPa8 81011011 1maxmax. .= = =+ +z zA AI Iy yMM MPa62032 max.=zA IyMMPa62032 max.=zA IyM在在B B 截面x xMM11.2511.25kNmkNm2020kNmkNmB BA A2525kNkN1.51.5mmQ Qx x1515kNkN1010kNkN截面MPaM
11、Pa5 51141142 2maxmax. .= = =+ +z zB BI Iy yMM MPaMPa5 51141142 2maxmax. .= = =+ +z zB BI Iy yMM MPaMPa5 51141142 2maxmax. .= = =+ +z zB BI Iy yMM 最大拉应力在最大拉应力在B B截面下边缘截面下边缘，数值为数值为 114.5 114.5 MPaMPa。最大压应力在最大压应力在A A截面下边缘截面下边缘，数值为数值为 203.6 203.6 MPaMPa。x xMMMMx x结论结论弯矩坐标向下为正的规定使得弯矩图线始终在梁的弯矩坐标向下为正的规定使得弯
12、矩图线始终在梁的受拉一侧。受拉一侧。PLPLMM= =maxmaxP PL Lh hh hb b例例如图的梁由两根梁叠合而成，求两梁牢固粘合，如图的梁由两根梁叠合而成，求两梁牢固粘合，或两梁光滑接触这两种情况下最大正应力之比。或两梁光滑接触这两种情况下最大正应力之比。两种情况下弯矩相同两种情况下弯矩相同2 22 2maxmax2 23 3 3 32 2bhbhPLPL bhbhPLPL= = = 2 22 2 3 32 22 26 61 1bhbhh hb bWW= = =) )( ( 两梁两梁牢固粘合时牢固粘合时故故2 21 1maxmaxmaxmax= = 2 22 2maxmax3 3
13、6 62 2bhbhPLPL bhbhPLPL= = = 两两梁间无摩擦时，横截梁间无摩擦时，横截面上的弯矩由两梁均分。面上的弯矩由两梁均分。横截面上应力是如何分布的？横截面上应力是如何分布的？P PL L分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论两梁两梁固结固结两梁间两梁间光滑接触光滑接触为什么两梁间无摩擦时，为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？横截面上的弯矩由两梁均分？如果梁由如果梁由n n 层叠合而成，情况又怎样？层叠合而成，情况又怎样？例例欲把直径为欲把直径为d d 的圆木锯成截面为矩形的梁，若要使梁具的圆木锯成截面为矩形的梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高有最大的强度，
14、矩形的高h h 和宽和宽b b 应成什么比例？应成什么比例？dh hb b若要使梁具有最大的强度，若要使梁具有最大的强度，则则应应使截面的使截面的WWz z为最大。为最大。2 2 6 61 1bhbhWW = = ) )( (3 32 2 6 61 1 b bbdbdWW = = 2 22 22 2b bd dh h = =2 2= =b bh h 0 03 36 61 1 d dd d 2 22 2= = = =) )( (b bd db bWW 2 22 2 3 31 1d db b = = 2 2a aa aa a3 3a/a/2 212例例梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面如图。若截面上承受的总弯矩为截面如图。若截面上承受的总弯矩为M M ，求上下求上下两部份各自承担的弯矩之比。两部份各自承担的弯矩之比。A Ay yI IMMA Ad d2 21 1= = A Ay yI IMMA Ad d1 12 2= = A Ay yMMA Ad d1 11 1= = 1 11 1I II IMMMM = =2 22 2I II IMMMM = =
