博弈论练习题 第一组 参考答案

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1、1 博弈论练习题第一组 第一章 囚徒困境与经典矩阵博弈 博弈论练习题第一组 第一章 囚徒困境与经典矩阵博弈 习题集（2011年9月30日） 习题集（2011年9月30日） 1.（单项选择）甲乙两人各在纸片上写下“合作”或“斗争”两词，然后双方同 时翻开纸片。如果两人都写“合作”，每人各得100元；若两人都写“斗争”， 两人什么也得不到；若一人写“斗争”，另一人写“合作”，则：“合作” 者得S， “斗争”者得 T。要使“斗争”为占优策略，S和T必须是（ ）。 AS+T200 BS100 CS100 D以上都不是 解答，答案为C，写出这个博弈的支付矩阵如下： 乙 合作 斗争 甲 由于这个博弈是对称

2、的，因此，只需要解其中一个人的最优反应即可（对于 对称博弈而言，两个人的占优策略及其支付是完全相同的），我们不妨解 乙的反应。要使“斗争”为占优策略，意味着无论甲选择什么行动，对于 乙而言，斗争总是好于合作，于是，若甲选择合作，那么乙选择斗争的收 益是T，选择合作的收益是100，因此T100;若甲选择斗争，乙选择斗争的 收益是0，选择合作的收益是S，要使对于乙而言斗争好于合作，则0S。因 此要选C。 2. 某博弈中甲乙双方各有三个策略，其相应的支付矩阵如下图所示： 问： （1）甲会不会采用策略A，为什么？ （2）请剔除上述支付矩阵里的占劣策略。 （3）请找出该博弈的纯策略纳什均衡。 (100，

3、 100)(S, T) (T, S) (0, 0) D F E A C B 乙乙 甲甲 2，5 4，8 3，7 6，4 2，7 4，2 1，2 3，5 3，7 合作 斗争 2 答案：1）甲不会采用策略A，策略A是甲的劣策略，它是劣于C的。 2）对于甲而言，A是一个劣策略。对于乙而言，F是一个劣策略（做到这一步即 可算正确）。 但当剔除了A和F这两个策略后，对乙而言，D又变成了劣策略，可以剔除。 当剔除了A， F， D之后， 对甲而言， B是劣策略， 可以剔除。 因此， 纳什均衡是 （C,E） （做到这一步也是正确的，且可以一并解决问题3） 3）可以用重复剔除劣策略法，如上，纳什均衡为（C，E）

4、。也可以用最优反应 法（用红色数字标出），答案相同。 3.（05年北京大学考研题）求下列博弈的纯策略纳什均衡。这个博弈在经典矩阵 博弈的名称是什么？ 参与人 2 参与人 1 答：步骤 1：先找两人的最优反应，用划圈法。（注意：划圈的时候，要记住， 如果找列参与人的最优策略，就要固定行参与人的行动。反之亦然）。 步骤2：两人的最优反应的组合即是纳什均衡。即（U，L）和（D,R）（注意不要 写（6，2），（2，6）（注意不要 写（6，2），（2，6）。 这个博弈在经典矩阵博弈中叫做“协调博弈”。 4.A和B手中各有一个魔瓶，魔瓶中各有1元钱，他们可以把这1元钱从魔瓶取出放 入自己的衣袋，也可以把这

5、1元钱放入对方的衣袋。但是，如果放入自己的衣 袋，这1元钱会变为2元钱，如果放入对方的衣袋，这1元钱会魔术般地变为4 元。 （1）假设A和B互不关心，只关心自己的收益，他们各自的备选行动是“把1元钱 放入自己的口袋”（可用字母D表示），“把1元钱放入对方的口袋”（可用 字母C表示）（注意只有这两个备选行动，没有其他可能的行动），写出该博 弈的货币收益矩阵，并解出它的占优策略均衡。 （2）假设A是段誉王子，B是王语嫣姑娘，段誉非常喜欢王语嫣，在计算自己的 支付时，段誉会把王语嫣的收入乘以r加在自己的收入上，而王语嫣则并不关 心段誉，她只计算自己的货币收入，例如，如果段誉有x元钱，王语嫣有y元 钱

6、，则段誉的心理支付是x+ry，而王语嫣的心理支付为y。如果该博弈最后的 均衡结果是段誉总是往王语嫣的衣袋里放1元钱， 而王语嫣也往自己的衣袋里 放了1元钱，问r的取值范围是多少？ （3）假设A是贾宝玉，B是林黛玉，两人互相关爱对方，因此，在计算自己的心 理支付时，两人互相把对方的收入乘以r加在自己的收入上，例如，如果宝玉 有x元钱， 黛玉有y元钱， 则宝玉的心理支付是x+ry， 而黛玉的心理支付为y+rx。 如果该博弈最后的均衡结果是双方都总是往对方的衣袋里放1元钱，问r的取值范围是多少？假设1 3r1 2，那么纯策略纳什均衡解是什么？ L R U (2, 6) (5, 5) D (0, 0)

7、 (6, 2) 3 解答：（1）这个博弈的货币收益矩阵如下： B C D A 这是一个囚徒困境博弈，该博弈的占优策略均衡是（D，D）。 (2)段誉和王语嫣的心理支付矩阵如下： 王语嫣 C D 段誉 “该博弈最后的均衡结果是段誉往王语嫣的衣袋里放了1元钱，而王语嫣也往自 己的衣袋里放了1元钱”，亦即根据原题目，（C，D）是一个纳什均衡。 余江锋的解法：对于王语嫣而言，D是一个占优策略，因此不需考虑王语嫣选择C 策略的情况。当王语嫣选择D的时候，段誉选择C好于D，就可以使（C，D）成为 纳什均衡。 故令6r2+2r,解得r1/2。 （3）宝玉和段誉的心理支付矩阵如下： 黛玉 C D 宝玉 由原题目

8、，（C，C）是一个纳什均衡，由于它是对称的，因此只需要解宝玉的选 择即可确定r的取值范围，对宝玉而言，4+4r6,6r2+2r,解得r1/2。 若1 3r1 2，则64+4r,2+2r6r,故而D是宝玉和黛玉的占优策略，均衡在（D，D）点上达到。 (4， 4) (0, 6) (6, 0) (2, 2) (4+4r， 4) (6r, 6) (6, 0) (2+2r, 2) (4+4r， 4+4r) (6r, 6) (6, 6r) (2+2r, 2+2r) C D C D C D 4 5.考虑下面的囚徒困境博弈： B A 此时囚徒困境博弈的均衡是（不合作，不合作）。 （1） 假设你想用对不合作者罚

9、款的方法促进A和B的合作。 为了使 （合作， 合作） 成为一个占优策略纳什均衡，你需要对不合作者罚款多少元？ （假设你可以观察到谁不合作，而且对不合作的人征缴罚款x元，这个题是让你 求x的取值范围）。 （2）（困难）假设在这个博弈中，你看不到具体的支付，也不知道G和H代表的 是“合作”还是“不合作”，你只知道这是一个囚徒困境博弈，假设你想用 罚款的方式来促进A和B的合作。 此时你应当如何设计罚款方案， 而使 “合作， 合作”成为一个纳什均衡？ B A 解答：（1）如果对不合作的人罚款x元，则收益矩阵改为 B A 现在（合作，合作）是纳什均衡，亦即23-x,01-x,联合两式子，解得x1。也 就

10、是至少要对不合作的人罚款1元。 （2） 这个题目的困难之处在于不知道G和B代表什么， 也不知道具体的支付情况， 因此，你是不能对G或H的特定行为去罚款的，即使你认为初次达到的均衡是 一个囚徒困境中最坏的结果，你也不能确定罚款的数额。 但是，可以这样设想，我们不需要把囚徒困境转变成一个囚徒顺境，只需要把它 转变成一个协调博弈。 根据这一思路，只需设计这样一个罚款制度：如果观察到（G,H）或（H，G）， 不妨设支付较高的一方的支付为*，则应对其处以（*-&）数额以上的罚款， 这样，就把囚徒困境博弈变成了一个协调博弈，此时，“合作，合作”是纳 什均衡（但不是占优策略纳什均衡）。 合作 不合作 合作

11、2,2 0,3 不合作 3,0 1,1 G H G %，% &，* H *，& #，# 合作 不合作 合作 2,2 0,3-x 不合作 3-x,0 1-x,1-x 5 6.一个支付组合是帕累托有效率的， 当且仅当没有任何其他的支付组合可以同时 改善所有人的处境。假定A和B两人组成一个社会，可能的支付组合如下： 组合1（200,200），组合2（0，300），组合3（300,0），组合4（100,100）， （这里（200,200）表示A的支付为200，B的支付为200）。 （1）假定只有如上可能的四个支付组合。找出下列支付组合中帕累托有效率的 支付。 （2）在一个囚徒困境博弈里面（例如可考虑习

12、题5中的囚徒困境博弈），找出帕 累托有效的支付。帕累托有效的支付是否是纳什均衡？ 答案：1）在四种状态中，帕累托有效率的支付是组合1-3，组合4是帕累托无效 率的（组合1可以同时改善两人的支付）。 2）在囚徒困境博弈中，帕累托有效的支付不是纳什均衡。 7.假定A和B一起参加一场奇特的拍卖，拍品是100元人民币，拍卖规则是价高者 得到100元，并付给拍卖商自己的出价，出价低者完全丧失自己的出价（例如， 若A出价50元，B出价40元，则A的净收入为50元（即100元减去50元出价），而B 净损失40元） ， 如果出价相同， 则每人得50元， 但需要支付给拍卖行自己的出价。 现在， 假定在这场拍卖中

13、A和B只有两个策略， C出价90元， D出价120元， 假定两人是同时出价（各写一个纸条交给拍卖商，由拍卖商根据A和B出价的多少 和以上的博弈规则决定100元的分配）。 （1）写出此时两人的收益矩阵，并计算出纳什均衡，写出纳什均衡下的双方净 收入。 (2)这个博弈可以对应于真实世界中的哪些情况？ （1）这个博弈的收益矩阵如下： B C D A 用最优反应法可知，纳什均衡是（D,D），双方的净收入均为-70。 （2）这个博弈其实不是真正的拍卖（虽然也有这样的拍卖，但不典型），但它 很好地刻画了现实生活中的过度、恶性竞争。现实中人们在不断地竞争，但并不 是所有竞争都是过度竞争，过度竞争发生的条件，就是“如果一方输了，投入会 完全沉没掉”， “赢家通吃”，例如公司研发产品，价格战，考研，军备竞赛 在“不能输”的刺激下，各方都加紧投入，结果是两败俱伤，所谓“太宗皇帝真 长策，赚得英雄尽白头”。 (-40， -40)(-90, -20) (-20, -90)(-70, -70) C D