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1、光子晶体平面波法初学者的研讨 光子晶体平面波法初学者的研讨 目录目录 光子晶体平面波法初学者的研讨光子晶体平面波法初学者的研讨 . 1 光子带结构的平面波展开法光子带结构的平面波展开法 . 2 1 从MAXWELL 方程组到光子晶体本征方程 . 2 2 本征方程的平面波展开 . 3 3 二维情况下的本征方程 . 6 4 平面波扩展法的讨论 . 7 4.1 光子晶体带隙的无标度性 . 7 4.2 光子晶体平面波展开法的计算步骤 . 8 二维光子晶体的光子带结构二维光子晶体的光子带结构 . 10 1 二维光子晶体的介电函数的FOURIER变换 . 10 1.1 正方晶格 . 11 1.2 三角晶格
2、 . 12 三维光子晶体的光子带结构三维光子晶体的光子带结构 . 14 1 三维光子晶体的介电函数的FOURIER变换 . 14 1.1 FCC晶格 . 15 1.2 金刚石晶格 . 16 附录 MATLAB程序源代码附录 MATLAB程序源代码 . 19 附录A 二维结构光子晶体带结构计算程序 . 19 附录B 三维结构光子晶体带结构计算程序 . 29 1 光子带结构的平面波展开法 光子带结构的平面波展开法 各种特定结构的光子晶体的能带及其透射特性研究具有极其重要的应用前景和基础研究价值。平面波展开方法是研究光子晶体能带结构的有效方法之一。 这里，将从 Maxwell 方程组出发，以平面波展
3、开法（PWM）推导出电磁波在光子晶体中的本征方程。 1 从从Maxwell 方程组到光子晶体本征方程方程组到光子晶体本征方程 假设在研究的光子晶体中， 不存在净电荷且电流为零， 根据 Maxwell 方程组： ? ? ? 0 ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1.1) 式中，D 为电位移矢量，B 为磁感应强度矢量，E 为电场强度矢量，H 为磁场强度矢量。在此我们进一步假定，D 与 E 只存在线性关系，忽略高阶关系，同时介质为非磁性介质，则有： ?， ? (1.2) 式中，?与 ?分别为真空中的介电常数和磁导率，?为相对介电常数，它是空间位置 r 的函数。将电场强度矢量及磁场
4、强度矢量写成简谐模式： ?,?，?,? (1.3) 将(1.3)式代入(1.1)式的第三式，则有： ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 整理得： ? ? ? ? ? 同理，将(1.3)式代入(1： .1)式的第四式，整理后得? ? ? ? ? (1.4b) 对(1.4a)式两边取旋度，并将(1.4b)代入，有： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?考虑到?1/? ，上理后可得 C为真空中的光速，则式整1 ? ? ? ? ? ? ? (1.5a) 同理，对(1.4b)式两边，代过整理后，有： 取旋度并将(1.4a)入，经? ?1 ? ? ? ? ? (1.5b) 由此我们得到光子晶体中了
5、电场强度矢量及磁场强度矢量所满足的本征方程。令? ? ? ? ，? ? ，于是(1.5a)与(1.5b 可改写成) ? ? ?, ? ? ? (1.6) 容易证明，?不是厄密算符，其本征值不正交，而是厄密算符。因此，往往求解磁场?可能会更为方便。 2 本征方程的平面波展开本征方程的平面波展开 为了求解上面的本征方程，将磁场强度矢量展开成一系列平面波的叠加： ? ? ? ?,?,?,? (1.7) 3 其中? ?,?表示波矢为?的磁场分量平面波的两个正交偏振方向的单位矢量，且? ?,1?, ? ?,2?, ?构成右手螺旋系，满足? ? ?,? ? 0，?,?表示? ?,?1 ? 方向上的振幅。令
6、 (1.8) 因为周期性介质中?是周期性函数，因此? 也必为周期性函数。因此? 可在 k 空间展开为： ? (1.9) 根据： (1.8) (1.9)式，则有? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?,?,?,?,? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ?,?,?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,?,?,?,?把上式代入(1.5b)，则有： ? ? ? ? ? ? ? ?,?,?,?,? ? ? ? ?,?,?,? 两边乘以? ?,?，r 空间，可 ? 对全积分得：? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ?,?,?,?,?,? ? ? ?,? ? ?,?,?,?,? 进一步化简可
7、得： ? ? ? ? ? ? ?,? ? ?,?,?,?,? ? ? ?,? ? ?,?,?,? 注意到? ?,? ? ?,?,? ，所以上式可进一步化简为 4 5 ? ? ? ? ? ? ?,? ? ?,?,?,?,? ? ? ?,? (1.10) 将?写成? ? ? ，(1.10)改写为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ? ?,?,?,?,?可? ? ? ?,? ?再将? ? 写为?，则上式可进一步写成： ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ?,?,?,? ? ?,? 将? 改写为? ，将?改写为?，? 改写为? ，? 改写为? ，则上式转变成3, 62： ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ?,?,?,? ? ? ? ? ?,?(1.11) 因为存在如下矢量运算关系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此， ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
