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1、经济数学复习题 1.1.设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为210x ep，且最大需求量为 6，其中x表示需求量，p表示价格，求： （1） 该商品的收益函数和边际收益； （2） 使收益最大时的产量，最大收益和相应价格； 收益最大时的收益弹性，并解释其经济意义. 解： （1）收益函数为 210)(x xepxxR，60 x， 边际收益为 2)2(5)(x exxR，60 x； （2）令0)( xR，得2x为唯一驻点，又0)2( R，即2x为最大值点，最大收益120)2eR，相应价格为110e； （3）10ln2ppp dpdR Rp EpER10ln110ln )10ln2(
2、pp pp ， 所以 0110epEpER， 其经济意义：即当价格的变化对收益无影响.(此题需求函数给得不是很好！) 2.2.设某产品的需求函数为)(pQQ ，收益函数为pQR ，其中Q为需求量（产品的产量） ，p为产品价格，)(pQ为单调减函数.如果当价格为0p，对应产量为0Q时，边际收益00 adQdRQQ，收益对价格的边际效应00 cdpdRpp，需求对价格的弹性为1pEb，求0p和0Q. 解： 收益 QQppQQR)()(， 所以边际收益 dQdpQpdQdR， 而需求对价格的弹性pEQp dQEEpQ dp ，(需求对价格的弹性在有些教材中前面加负号) 于是pQEdQ dpp ，得p
3、dpp dQQE ，故1(1)pdRpdQE. 由题设知01(1)apb，得01abpb. 收益 )()(ppQpQQR，两边对p求导得 (1)pdRdQQpQEdpdp， 由题设知 0(1)cQb， 得01cQb. 3.3.某企业生产某种产品，若需求函数142DQp，供给函数42SQp ，若企业以供需一致控制产量，而政府对产品征收的税率为t，试求：(1)当税率t为多少时，征税收 益最大？最大值是多少？(2)征税前后的均衡产量的变化. 解：分析： 这里税率t指每件产品征税的额度.征税收益是所征税收总额，即税率与产 量的乘积.虽然提高t可使税收总额增加，但会影响企业的利润，导致产量的减少，从而使
4、 税收总额减少. (1) 设征税后市场售价p不变，这实际相当于降低了出厂价格.记税后价格为tp，则tppt，此时供给 42()StQpt ， 而需求仍为 142DQp. 令 StDQQ，解出均衡价格0p及均衡产量0Q: 01()2ppt，05Qt. 设征税收益为T， 则205tttQT， 而 tT25， 令0T， 得唯一驻点25t. 又0)25( T，可知当税率25t时，征税收益最大，最大值 max256.254T. (2) 征税前需求函数142DQp，供给函数42SQp ，由 SDQQ，得均衡产量29Q. 征税前均衡产量为29，征税后均衡产量变为25，税收使均衡产量减少，企业产量降低，利润也
5、当然随之减少. 4. 某工厂计划全年需要某种原料 100 万吨，并且其消耗是均匀的，已知该原料分期分 批均匀进货，每次进货手续费为 1000 元，而每吨原料全年库存费为 0.05 元，试求使总费用 最省的经济批量和相应的订货次数. 解：设经济批量为x万吨，总费用为y元，则进货手续费为x1001000 ，库存费为,1000005. 02x(这里乘 10000 是由于原料以万吨计算) ,1000005. 021001000x xy ,2501000002xy令0 y，解得20x（万吨） ， 02000003 xy，所以20x时费用最小，即经济批量为 20 万吨，相应的订货次数为520100次. 5
6、.5. 某种商品的需求函数275)(ppQQ，其中，p为价格，Q为需求量. （1）若销售此种商品，问当p为多少时总收益最大？最大收益是多少？ （2）求当4p时的需求弹性； （3）求当4p时的收益弹性（计算到小数点后第二位）. 解： （1）总收益函数375pppQR（这里p是条件变量） ，2375pR，令5, 0pR（负号舍去） ，06pR ，所以5p时收益最大，最大收益为 .250557553R （2）需求弹性 222752 752pp pppQp dpdQ EpEQ 54. 05932 16751624pEpER（3）收益弹性 2232 75375 75375pp pppppRp dpdR
7、EpER 46. 05927 167548754pEpER6.6. 设生产某种产品x（百台）时的边际成本( )44xC x（万元/百台） ，边际收益( )8R xx （万元/百台） ，设产销平衡，试求：(1)若固定成本(0)1C（万元） ，求总成本函数与总利润函数；(2) 产量x为多少时，利润最大？ 解解 （1）总成本函数 2 001( )(0)( )1(4)1448xxtC xCC t dtdtxx ， 总收益函数 2 001( )( )(8)82xxR xR t dtt dtxx， 所以 25( )( )( )418L xR xC xxx . （2）5( )( )( )44L xR xC
8、xx ， 令( )0L x ，得唯一驻点16 5x （百台） ， 又16()05L，故当16 5x （百台）时，利润最大. 7.7. 某公司为了发展新业务需要增加5台电脑， 如果购进一台电脑需要一次性支付5000 元现金，电脑的使用寿命为15年；如果租用一台电脑，每年需要支付600元的租金，租金 均匀支付，按连续复利计息，若银行的年利率为12%，问买电脑和租电脑两种方案，哪一 种合算？若银行的年利率为6%，又该怎样决策？ 分析分析 这类问题应该将其在同一时间点上进行比较，即都定在现值上或都定在将来值 上. 解法一解法一 将比较的时期定在现值上，在租用的情况下，租金相当于均匀流600,a 12%
9、,r 15T ，15年的租金的现值为 0.12 15600(1)(1)4173.550000.12rTaMeeMr买租, 可见，租比买合算. 若6%r ，则 0.06 15600(1)(1)5934.350000.06rTaMeeMr买租， 此时， ，买比租合算. 解法二解法二 将比较的时期定在将来值上，若12%r ，则 0.12 15500030248rTNAee买, 0.12 15600(1)(1)252480.12rTaNeer租， 故租比买合算. 若6%r ，则 0.06 15500012298rTNAee买, 0.06 15600(1)(1)145960.06rTaNeer租， 所以
10、，买比租合算. 8.8. 设某商品的需求函数1( )85pD qq，供给函数24( )153pS qq， (1)求消费者剩余和生产者剩余；(2)若政府对每一单位的该商品征收T元的消费税，求此时的均衡点*(,)p q，并求5T 时的消费者剩余和生产者剩余. 解解 (1) (1) 由( )(D qS q）得12485153qq,故 20q ，则4p ，即均衡点 *(,)(4,20)p q， 所以，消费者剩余 *20*220 00011( )(8)4 20(8)8040510qCSD q dqp qq dqqq ， 生产者剩余 *20*220 000241480( )4 20()80()153153
11、3qPSp qS q dqqdqqq. (2)(2) 此时从生产者的角度来看，价格由原来的p变成了p T，供给函数变为 15()() 102S pTpT. 而需求函数没有变，由()( )S p TD p，得 15() 104052pTp， 故345pT，则20 3qT，即此时均衡点*3(,)(4,203 )5p qTT. 当5T 时，*(,)(7,5)p q，所以， 消费者剩余 *5*25 00011( )(8)7 5(8)352.5510qCSD q dqp qq dqqq ， 生产者剩余 *5*25 0002191195( )7 5()35()1531533qPSp qS q dqqdqq
12、q . 9.9. 设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两要素的投入量, Q为产出量, 若生产函数为122Qx x, 其中1. 假设两种要素的价格分别1p和2p, 试问, 当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小? 解：由题总费用函数为2211xpxp，则该问题可化为条件极值问题 )122(212211xxxpxpf， 01220202211 21221 1121 xxfxxpfxxpfxx ，所以 )(6)(621 212 1ppxppx 为唯一驻点， 由题必存在费用最小的点， 即 )(6)(621 212 1ppxppx 为最小值点. 10.10. 设甲口袋有
13、a只黑球和b只白球， 乙口袋有n只黑球和m只白球. 现从甲口袋任取 1 只球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取 1 只球. 试求： （1）最后从乙口袋取出的是黑球的 概率； （2）已知最后从乙口袋取出的是黑球，先前从甲口袋放入乙口袋的球是黑球的概率. 解：设A=“从甲口袋放入乙口袋的球是黑球” ，B=“从乙口袋取出的是黑球” ， (1) ( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A 1(1) 11()(1)anbna nbn ab nmab nmab nm； (2) ( ) ()(1)()( )(1)P A P B Aa nP A BP Ba nbn. 11.11. 设
14、某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者 患高血压病的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%，瘦者患高血压病的概率 为 5% . 问（1）在该地区任选一人，则此人患高血压病的概率； （2）在该地区任选一人， 发现此人患高血压病，则他（她）属于肥胖者的概率有多大？ 解：设1A “居民为肥胖者” ，2A “居民为不胖不瘦者” ，3A “居民为瘦者” ， B “居民患高血压病” ， （1）112233( )() ()() ()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A 0.1 0.20.82 0.1 0.08 0.050.106 ； （2）11 1() ()0.1 0.2()0.1887( )0.106P A P B AP A BP B .
