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1、第二章 控制系统的数学模型 习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），)(tF)(tx)(tur )(ty)(tuckfR（电阻），C（电容）和（质量）均为常数。 m解 （a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22 )()(dtydmdtdyftkytF= 整理得 )(1)()()(22 tFmtymk dttdy mf dttyd=+ （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 )()(1 11dtdy
2、dtdxfxxk= （1） 对B点有 ykdtdy dtdxf21)(= （2） 联立式（1）、（2）可得： dtdx kkkykkfkk dtdy2112121 )(+=+ 10(c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11)(11 sUsIcsRcsR sUcr+ += （3） 2)()(RsUcsI= （4） 联立式（3）、（4），可解得： CsRRRRCsRR sUsUrc212112)1 ( )()( += 微分方程为: rr ccuCRdtduuRCRRR dtdu121211+=+(d) 由图解2-1（d）可写出 CssIsIsIRsUcRRr1)()()()(+= （5） )()
3、(1)(sRIsRICssIcRc= （6） CssIsIRsIsUcRcc1)()()()(+= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量和，可得： )(sIC )(sIR1312 )()(222222+=RCssCRRCssCR sUsUrc微分方程为 rrr cccuRCdtdu CRdtduuRCdtdu CRdtdu222222221213+=+2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图11解2-2(a)所示。对A点有 )()()(1122yyfyxfyxk&=+ (1
4、) 对B点有 1111)(ykyyf= &(2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得 1y)()( sXsY= 21212121221212212121()1()f fffssk kkk f ffffssk kkkk+1+(b) 由图可写出 sCRsUc221)(+= sCRsCRsCRsUr11111211 1)(+ +整理得 )()( sUsUrc= 1)(1)(2122112 212122112 2121 + sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR比较两系统的传递函数，如果设11221121,1,2,Rk Rk Cf Cf=则两系统的传递函数相同，所以两系统是
5、相似的。 2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程hrQrQShSdtdh1=+， 式中为液位容器的横截面积，S为常数。若与在其工作点附近做微量变化，试导出关于hrQ),(00hQrhrQ的线性化方程。 解 将h在处展开为泰勒级数并取一次近似 0hhhhhdthdhhh+=+=00021| 0（1） 代入原方程可得 )(1)21()(0000 rrQQShhhSdthhd+=+（2） 在平衡工作点处系统满足 12000 rQhdtdh=+ （3） 式（2），（3）相减可得的线性化方程 hrQhhdthdS=+022-4 试求图2-29所示各信号的象函数。 )(tx)(sX解 （a）)(
6、2)(0tttx+= )(sX= stess0 212+ （b）)()()()(321ttcttcbttabatx+= = )(sX)()(1321stststceecbeabas+ （c）= )(tx)(4)2(4)2(442222TtTTtTTtTtT+ )21 (4)(2 22TssT eesTsX += 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) 1)(=sesXs(2) )3()2(1)(3+=ssssX (3) )22(1)(2+=sssssX 解 (1) 1)(=tetx13(2) 原式 )3(31 241 )2(83 )2(41 )2(2123+ sssssx（t） 241
7、31 83 4432222 +tttteeetet(3) 原式 1) 1(1 21 1) 1(1 21 21 222121222+=+sss sssss)(tx )cos(sin21 21ttet+2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。 tteetc+=221)(解 单位阶跃输入时，有ssR1)(=，依题意 ssss ssssC1 )2)(1(23 11 221)(+=+= )2)(1(23 )()()(+=sss sRsCsG tteessLsGLtk= +=211424 11)()( 2-7 已知系统传递函数 232 )()(2+=sssRsC，
8、且初始条件为，试求系统在输入1)0(=c0)0(=c&)( 1)(ttr=作用下的输出。 )(tc解 系统的微分方程为 )(2)(2)(3)(22 trtcdttdc dttcd=+ （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 ssCssCssCs2)(23)(3)(2=+ （2） 22 141 )23(23)(22+=+=sssssssssC tteetc2241)(+=2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数)()( sUsUrc。 14解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 12 )()( RR sUsUrc= (b) 2 2112211111122)1)(1 (11
9、1)()( sCCRsCRsCRsCRsCRsCRsUsUrc+=+ =(c) )1 (11)()(212122CsRRR RCsRCsRsUsUrc +=+= 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度330mQ0，功率放大器放大系数为。 3k（1） 分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，； 0k1k2k（2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数)()(sQsQrc。 15解 (1) 电位器的传递函数 11180180330300000= =mQEK 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 310101030331
10、=K， 210101020332=K (2) 可画出系统结构如图解2-9所示： (3) ) 1(11) 1( )()(3210323210+=sTsKKKKK sTKKKKsTsKKKKKsQsQmmmtmmmrc11132103223210+= sKKKKKKKKKsKKKKKTmtmmm2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数)()(sQsQrc。 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68. 0)42. 018. 1 ()7 . 09 . 0()6 . 0(7 . 0 )()(23+=sKsKss sQsQrc162-11 已知系统方程组如下： =)()
11、()()()()()()()()()()()()()()()()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()( sRsC。 解 系统结构图如图解2-11所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 84321743215436324321 1)()( GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG sRsC += 2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数)()( sRsC。 17解 （a） 所以： 43213243214321 1)()( G
12、GGGGGGGGGGGGG sRsC += （b） 所以： HGGG sRsC221 1)()( = （c） 18所以： 3213221321 1)()( GGGGGGGGGG sRsC += （d） 所以： 244132123212141321 1)()( HGGGGGGHGGHGGGGGGG sRsC += （e） 所以： 23212121321 41)()( HGGHGHGGGGGGsRsC += 192-13 已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入( )3 1( )r tt= 时系统的输出。 )(tc解 由图可得 )3)(1(2) 1(1221122)()(22+= +=Sssss
13、ss sRsC又有 ssR3)(= 则 31 1323 )3)(1(2)(+=+=ssssSssC 即 tteesssLtc313231 132)(+= += 2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。 解 2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。 20解 2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ，2111432111GGLGGGGP= ，21321323432)(1LLLLLGGLGGL+= 4321324321432111 1)()( GGGGGGGGGGGGGGP sRsC +=
14、 （b）图中有2条前向通路，1个回路 ，HGLGPGP2122211111= 11L= HGGGPP sRsC2212211 1)()( =+= （c）图中有1条前向通路，3个回路 ，211132111GGLGGGP= ，)(13213213322LLLGGGLGGL+= 321322132111 1)()( GGGGGGGGGGP sRsC += （d）图中有2条前向通路，5个回路 21，11241213211=GGPGGGP ，414321323221211GGLGGGLHGGLHGGL= ，)(154321245LLLLLHGL+= 2441321232121413212211 1)()( HGGGGGGHGGH
