弹性力学2013-_第二章_应力状态

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1、第二章第二章 应力状态应力状态 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分 析从微分单元体入手，本章的任务就是从静 力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立 平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力 矢量与内力和作用截面方位均有关。因此， 一点各个截面的应力是不同的。确定一点不 同截面的应力变化规律称为应力状态分析。 应力状态分析首先是确定应力状态的描述方法， 这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力 和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定 转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、 最大切应力等。 应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课 程分析中使用张量

2、符号描述物理量和基本方程，如 果你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点微分单 元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡 微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条 件为面力边界条件。 第二章第二章 应力状态应力状态 研究对象三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面 的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力 状态，建立平衡微分方程和边界条件。 目录目录 2.1 体力和面力体力和面力 2.2 应力与应力张量应力与应力张量 2.3 平衡微分方程平衡微分方程 2.4 应力状态的描述应力状态的描述 2.5 应力边界条件应力

3、边界条件 2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向 2.7 应力球张量和球应力偏张量应力球张量和球应力偏张量 2.1 体力和面力体力和面力 物体外力物体外力 分为两类分为两类 体力体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。 F / LLL 面力面力_面积力；面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接 触力等触力等 。 F / LL 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。 2.1.1 体力体力 体力体力 _ F/LLL 方向约定方向约定 2.1.2 面

4、力面力 23 内力内力 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分 之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为 内力内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继续，物体达到稳定续，物体达到稳定平衡平衡状态。状态。 应力应力 内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想的内力，利用假想 平面将物体截为两部分，将希望计算

5、内力平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微的截面暴露出来，计算微面积面积S 上内力的平均值称上内力的平均值称平均应力平均应力 应力矢量应力矢量 应力应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。的方向改变而变化。这种性质称为这种性质称为应力状态应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点， 并且通过该点哪一个微分面的应力。并且通过该点哪一个微分面的应力。 2.2 应力与应力张量应力与应力张量 SFpn内力内力外界因素作用下，物体内部各个部外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互

6、作用力。分之间的相互作用力。 附加内力附加内力 应力应力 应力矢量应力矢量 pn随截面的法线方向随截面的法线方向n的方向改变而变化的方向改变而变化 SSFplim 0n 2.2 应力应力1 应力状态及应力状态及应力矢量应力矢量pn的分解的分解 2.2 应力应力2 应力矢量应力矢量沿坐标分解沿坐标分解 正应力和切应力正应力和切应力应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称为正应力，称为剪应力。为正应力，称为剪应力。 同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。 2.2 应力应力3 tnpnnnkpjpippzyxn过物

7、体内部点过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平使之与坐标平面平 行行）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为 zyxppp, 333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力张量应力张量 应力分量是标量、箭头仅是说明方向应力分量是标量、箭头仅是说明方向 2.2 应力应力4 应力张量可以描述一点应力状态 kjipkjipkjipzzyzxzyzyyxyxzxyxx2.3 平衡微分方程平衡微分方程 平衡平衡 物体整体平衡，内部任物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。何部分也是平衡的。 对

8、于弹性体，必须讨论对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。一点的平衡。 考察微分平行六面体单元 dx,dy,dz， 在体力、面力作用下处 于平衡。 负面、正面（约定）负面、正面（约定） , , , ,xxyxzx y zx y zx y zX X轴方向负面上轴方向负面上； , ,xyxxz xxyxxyzxzxx yxdx y zxdx y zxdx y zzdxdxdxxxxX X轴方向正面上，因为轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数应力是坐标的连续函数，所以有所以有 2.3 平衡方程平衡方程1 微分平行六面体单元 静力平衡条件静力平衡条件: : ,xyzFOFOFO,xyzMOMOMO主矢为零

9、： 主矩为零： 2.3 平衡方程平衡方程2 ;0xyxx xyxzxbxyxzx zxxFOdx dydzdy dxdydzdxdzdxddyF dxzxydz dxdyzdydz 2.3 平衡方程平衡方程3 0bxzxyxxFzyx 平衡微分方程 0,bjiijF0 bxzxyxxFzyx00xyyzy byyzxzz bzFxyzFxyz 2.3 平衡方程平衡方程4 2.3 平衡方程平衡方程5 ;1 21101222xyz yyzzzz yy zydxdzdMOdy dxdzdyydz dxdydxdydzzyzd 忽略四阶小量，则有： yzzy考察主矩为零条件： 切应力互等定理 ijji

10、2.3 平衡方程平衡方程6 xyyxxzxzyzzy 2.4 应力状态的描述应力状态的描述 应力状态一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力 应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析讨论一点截面方位改变引 起的应力变化趋势。 如果应力张量能够描述一点的应力状态，则如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数应力张量可以描述其它应力参数 斜面应力公式斜面应力公式； 2. 坐标变换与应力张量关系坐标变换与应力张量关系 转轴公式转轴公式。 应力状态对于结构强度是十分重要的。 为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的应力参数。

11、2.4 应力状态应力状态1 应力矢量与应力分量的关系应力矢量与应力分量的关系 2.4 应力状态应力状态2 设设 面面ABC ABC 的外法线的外法线n n的方向余弦为的方向余弦为 l,m,nl,m,n ; 三个坐标轴的单位向量分别为三个坐标轴的单位向量分别为 i ,j ,ki ,j ,k; ; 研究图示四面体的平衡。设四面体研究图示四面体的平衡。设四面体 除受四个面上的应力作用以外，除受四个面上的应力作用以外， 还受到体积力的作用，以还受到体积力的作用，以 ,bxbybzFFF斜截面上的应力斜截面上的应力 表示单位体积力的分量。表示单位体积力的分量。 则四面体所受体积力为则四面体所受体积力为

12、2.4 应力状态应力状态3 斜面上所受应力矢量为斜面上所受应力矢量为 2.4 应力状态应力状态4 iijjpn张量表达式：张量表达式： 2.4 应力状态应力状态5 公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。微分面的应力矢量。 当然可以确定正应力当然可以确定正应力 n与切应力与切应力 n。 这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式斜面应力公式。它说明； 过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点 的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，简化为去求各点的九个应力分量的问题。 应力矢量应力矢量不仅随位置改不仅随位置改

13、 变而变化，而且随截面变而变化，而且随截面 方位改变而变化。方位改变而变化。 同一点由于截面的法线同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的方向不同，截面上的应应 力矢量力矢量也不同。也不同。 讨论应力分量讨论应力分量在坐标在坐标 变换时的变化规律。变换时的变化规律。 2.4 应力状态应力状态6 坐标变换的应力分量和应力张量坐标变换的应力分量和应力张量 坐标平动时，坐标平动时，n n方向无变化，应力分量不变化。方向无变化，应力分量不变化。 转轴公式转轴公式： 2.4 应力状态应力状态7 2.4 应力状态应力状态8 2.4 应力状态应力状态9 2.4 应力状态应力状态10 222 111111 1

14、11111111111111111222xxyzxyxzxxyyzyxxyzxyzyzzyzzxppplmnlmnlmnlmnl mlmnlmnm nn l 1 21212122112211221111111112222212x yxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxl lm mn nlppplmnlmnlmnml mm nm nl nl nlmnlmn 1 313131331133 11331111111113333313x zxyzxyxzxxyyzyxzyxyzzzxyyzzxl lm mn nlppplmnlmnlmnml mm nm nl nl nlmnlmn 2.4 应力状态应力状态11 通过通过 x y z,