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1、第一章习题及参考解答建议：16,22,23 较难，不必布置，可请学生思考。50题（含）以后无参考解答，不必布 置。1. 计算:(1)(cosxsinx sinxcosx)n ;(2)(11 11)n ;(3)a1 a1 a1 a1 an.答案: (1)(cosnxsinnx sinnxcosnx) ;(2) (2)n(cosn 4sinn 4sinn 4cosn 4)n ;(注：此可由 (1) 得到.)2. 证明: 与任意 n 阶方阵可交换的矩阵必是纯量矩阵 I.证明: 设 A = (aij) 与任意矩阵可换，则 A 与基本矩阵 Eij可换, 即 AEij= EijA. 注 意 AEij是第
2、j 列为 A 的第 i 列其余列均为 0 的矩阵，EijA 是第 i 行为 A 的第 j 行其余行 均为 0 的矩阵，由此可知 A 的非对角元素均为 0，而对角元素均满足 aii= ajj，即 A 是纯量 矩阵. 3. 利用初等变换求 A1B 及 CA1, 其中A =450 231 273, B =45010 2311 2793, C =450 231 279 237.答案: A1B = 1 2424060175 0244892 10354598,CA1= 1 242400 0242 9621618 11219222.4. 设 A,B Mn, 证明: adj(AB) = adj(B)adj(A
3、).证明：(1)如果 A,B 均可逆，则等式显然成立；(2)设 x F 为参数, 则除有限个 x 外, A xI 与 B xI 对其余无限多个数均可逆, 因此 等式对这无限多个数 x 均成立，即adj(A xI)(B xI) = adj(B xI)adj(A xI).于是上式两端矩阵的任意第 i 行第 j 列相应位置的元素均相等，但这些元素均是 x 的多项 式，而两个多项式如果对无限多个数均相等，则它们只能是同一个多项式，因此上式两端的 相应位置的元素对“所有”x 均相等，特别对 x = 0 也相等，即 adj(AB) = adj(B)adj(A).15. 证明: 对任意矩阵 A, 有 r(A
4、A) = r(AA) = r(A).证明：只证第二个等号. 设 是方程 yAA= 0 的解, 则 (AA)= 0，即 (A)(A)= 0, 此即向量 A 的模长的平方为 0，因此 A = 0. 故方程 yAA= 0 与方程 yA = 0 同解，因 此两个系数矩阵等秩.6. 证明: 对任意 n 阶矩阵 A, 有 r(An) = r(An+1).证明：由于 r(Ai+1) r(Ai), 故 A,A2, ,An+1中必有 2 个矩阵 As与 At的秩相同. 不妨设 s 0, ac b2.证明：与该双线性型对应的矩阵是(ab bc) . 因此该双线性型是内积 (ab bc)是正定矩阵 a 0, ac
5、b2.31. 设 V = acost + bsint, 其中a,b为任意实数 是实二维线性空间. 对任意 f,g V , 定义(f,g) = f(0)g(0) + f(2)g(2).证明 (f,g) 是 V 上的内积, 并求 h(t) = 3cos(t + 7) + 4sin(t + 9) 的长度.证明：直接验证即可知 (f,g) 是 V 上的内积.h(t) = 3cos(t+7)+4sin(t+9) 的长度为 5.（一般地，acost + bsint 的长度为a2+ b2.）32. 设欧氏空间 Rx2中的内积为(f,g) =11f(x)g(x)dx.(1) 求基 1,t,t2的度量矩阵; (
6、2) 用矩阵乘法形式计算 f(x) = 1 x + x2与 g(x) = 1 4x 5x2的内积.解：（1）度量矩阵 G =202/3 02/30 2/302/5; (2) 0.33. 设 ai,1 i n 是正实数, xi,yi是任意实数, 证明或否定不等式(ni=1aixiyi)2 (ni=1aix2i)(ni=1aiy2i).解：该不等式成立，证明如下：对任意 x = (x1, ,xn)T,y = (y1, ,yn)T Rn, 定义(x,y) =ni=1aixiyi则容易验证 (x,y) 是 Rn上的一个内积（对称性、正定性与双线线性均是显然的）. 因此，题 中的不等式恰好是相应于该内积
7、的三角不等式，故也成立.34. (1)复数域 C 是实数域 R 上的 2 维线性空间. 是否存在 C 上的一个内积, 使得 i 与 1 + i 成为 C 的一组标准正交基, 为什么? (2)试构造实线性空间 R3上的一个内积, 使得向量组 e1,e1+ e2,e1+ e2+ e3是一组标准 正交基. 问此时 e2与 e3的长度各是多少? 它们的夹角又是多少?7解：（1）存在，因为有限维实（复）向量空间的任何一组基均可做成一个标准正交基. （2）设 e1,e1+e2,e1+e2+e3是一组标准正交基，则可得 (e1,e1) = 1,(e1,e2) = 1,(e1,e3) = 0,(e2,e2)
8、= 2,(e2,e3) = 1,(e3,e3) = 2. 由此知相应的内积为(x1,x2,x3),(y1,y2,y3) = x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3 (x1y2+ x2y1+ x2y3+ x3y2).35. 试尽可能一般性地讨论习题34中的问题.解：有限维实（复）向量空间的任何一组基均可做成一个标准正交基，相应的内积由对 应的度量矩阵决定.36. 证明Cauchy-Schwarz不等式与三角不等式.证明：先证Cauchy-Schwarz不等式： = 0 时不等式显然成立，下设 6= 0. 注意对任意 实数 t 均有 ( t, t) 0, 即(,) 2(,t) + t2(,) 0.取
9、 t = (,)/(,) 即可. 由此可证三角不等式：(+)2= 2+2+2(,) 2+2+2| (此处用到Cauchy-Schwarz不等式).37.在欧氏空间 R4中, 求三个向量 1= (1,0,1,1)T, 2= (2,1,0,3)T和 3= (1,1,1,1)T所生成的子空间的一个标准正交基.答案 (不唯一)：1= (1,0,1,1)T/3, 2= (7,3,1,8)T/123,3= (3,54,23,20)T/3854.38. 定义任意内积空间 V 中两个向量 与 的距离为d(,) = | |.证明如上定义的函数 d(,) 确实定义了 V 上一个距离, 即满足下列三个条件: (d1
10、) 对称性: d(,) = d(,); (d2) 非负性: d(,) 0, 且等号成立 = ; (d3) 三角不等式: d(,) + d(,) d(,).证明：直接验证即可.39. 设2维欧氏空间 V 的一组基为 1,2, 其度量矩阵为A =(54 45) .试求 V 的一个标准正交基到 1,2的过渡矩阵.解：由于 1,2的长度相等，故 1= 1+ 2,2= 1 2必正交，从而 1= (1+ 2)/18,2= (1 2)/2 是一个标准正交基.（对 1,2直接使用正交化方法可 得 1= 1/5,2= (41 52)/45 是一个标准正交基.）40. 设 n 维内积空间 V 的一个基为 1,2,
11、 ,n, 该基的度量矩阵为 A. 设 , V 在 该基下的坐标分别为 x 与 y. (1)证明 (,) = xTA y. 特别, 当 V 为欧氏空间时, (,) = xTAy. (2)证明 (1) 中内积的矩阵乘法形式与选取的基无关.8证明：（1）记 B = (1,2, ,n), 将 = Bx 与 = By 直接代入 (,) 计算即可.(2) 设 1,2, ,n是 V 的另一组基，度量矩阵为 G = (i,j). 设 , 在该基下的坐 标分别为 u 与 v. 再设由 1,2, ,n到 1,2, ,n的过渡矩阵为 P. 则 x = Pu,y = Pv. 因为 i= BPi,1 i n, 其中 P
12、i是矩阵 P 的第 i 列. 于是(i,j) = (BPi,BPj) = PTiAPj,1 i,j n.由此知 G = (i,j) = PTAP.故 (,) = uTG v = uTPTAP v = (Pu)TAPv = xTA y. 即 (1) 中内积的矩阵乘法形式与选取 的基无关.41. 设 V = Mn(R) 或 Mn(C). 设 A = (aij),B = (bij) V . (1)证明 (A,B) = tr(AB) 是 V 的一个内积; (2)按 (1) 的内积, 矩阵 A 的长度是多少? 哪些是单位向量? (3)证明或否定: 基本矩阵 Eij,1 i,j n 是 V 的一组标准正交
13、基; (4)求 M2(R) 的一组由可逆矩阵构成的标准正交基.解：（1）直接验证即可.（2）(A,A) = tr(AA) =n i,j=1|aij|2.(3) (Eij,Ekl) = tr(EijEkl) = tr(EijElk). 由于 EijElk= jlEik, 故 tr(EijElk) = 1 i = k,j = l，否则 tr(EijElk) = 0. 因此基本矩阵 Eij,1 i,j n 是 V 的一组标准正交基.（4）I/2,(01 10) /2,(01 10) /2,(10 1) /2. (答案不唯一.)42. 设线性空间 V = R2是欧氏空间 (未必是通常的欧氏空间). 设
14、 1= (1,1)T, 2= (1,1)T与 1= (0,2)T,2= (6,12)T是 V 的两组基. 设诸 j与 k的内积分别为(1,1) = 1,(1,2) = 15,(2,1) = 1,(2,2) = 3.(1) 求两组基的度量矩阵; (2) 求 V 的一个标准正交基.解：（1） (1,1) = 2,(1,2) = 1,(2,2) = 2.(1,1) = 2,(1,2) = 12,(2,2) = 135.(2) 1= (1+ 2)/6,2= (1 2)/2 是 V 的一个标准正交基.（不唯一.）43. 设 n 维欧氏空间 V 的一组基为 1,2, ,n. 证明：存在正定矩阵 C, 使得
15、由(1,2, ,n) = (1,2, ,n)C确定的向量组 1,2, ,n是 V 的一个标准正交基.证明：先证明任意一个可逆矩阵均可写成一个正定矩阵和一个正交矩阵的乘积. 设 A 可 逆，则 ATA 正定，故存在正交矩阵 Q 使得 QTATAQ = D 是对角线元素均为正的对角矩阵.9因此 D1QTATAQD1= I, 即 (AQD1)T(AQD1) = I. 即 AQD1是正交矩阵, 记此正交 矩阵为 R. 则 A = RDQT= (RDRT)RQT. 因为 D 正定，故 RDRT正定；又 R,Q 均为正交 矩阵，故 RQT也是正交矩阵.下设 1,2, ,n是 V 的一组标准正交基，1,2, ,n到该基的过渡矩阵为 P， 即 (1,2,
