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1、解析 如图 ，把原正三棱柱补成直平行六面体 ， 则四边形 为菱形， 且 设 ，则 ，连结 ，则 ，故 为 与 所成角（或其补角）， 在 中， ，所以 ，所以 ，所以 ，应选 将四棱锥补成三棱锥例 在底面是直角梯形的四棱锥 中， ， 面 ， ， ，求面 与面 所成二面角的正切值解析 如图 ，延长 、 交于 ，连结 因为 ，且，所以 ， 又因为面，所以面面，因为 ，所以 面 ， ，所以面，是所求二面角的平面角，又因为 ， ，所以 把长（正） 方体补成长（正） 方体图 图 例 如图，在长方体中，已知 ， ， ，、分别是线段、上的点，且 ，求与所成角的余弦值解析 如图 ，把原长方体补上一个大小与之相等
2、的长方体 ，在 上取一点， 使 ， 连结 、， 则 ，为 与 所成角（或其补角）在 中，由余弦定理易得 例题讲解要“打开窗户说亮话”安徽省怀远县包集中学 宋在馥去教室听课，常遇到这种情况：对于例题教学，老师在台上是不停的讲，学生在下面是不停的记，老师讲到下题了，上题还没记完下课后便问学生，为什么要记得那么详细？ 学生回答很简单：怕忘了！ 简单的三个字，让笔者陷入深思，引发了对“例题应如何讲解”的思考例题讲解是实现“知识掌握，能力培养，意识内化，品质提升”的主渠道，是数学教学的重要组成部分；例题讲解必须让学生心里透亮，使之知其然，更知其所以然达到融会贯通，触类旁通，才不会出现“上课记笔记，下课看
3、笔记”的被动状态这就要求例题的讲解要打开窗户说亮话 依据题目特征，结合学生思维特点，化生为熟、化繁为简、化难为易，讲清讲透讲明白促进学生从“为何如此”的疑惑到“原来如此”的顿悟再到“不过如此”的通透，学生岂能再忘下面是笔者的思考与实践 正本清源 从概念上讲清例 己知（） （ （ ） ） 的值域为 ，求实数 的取值范围分析 这是道常规题，表现在常见、常错、常说不清 学 生 通 常 作 法 是：由 条 件 知 应 满 足 ， （ ） ，解得 此时老师纠错，应从病源上讲清学生之所以错，是没有把“值域”，“定义域” 等概念搞清楚，老师应引导学生澄清这样几个问题什么是值域？ 值域是（） （为函数（） 的
4、定义域）； 值域是 ，即函数值要对应全所有的实数，一个都不能少； 满足 ， ，即 （ ） 对中学数学杂志 年第 期 恒成立，其必有最小值，记为 ，而 ； ， ）， 取不到（，） 内的实数，则值 域里缺少（ ，） 内的实数，可见值域不是 以上完成“揭示错误” 环节，接下来进入“探索正确做法” 环节老 师 抛 出 问 题： ， ，不 合 条 件， 那 么 ， ，合不合？学生会提出：此时会出现 的情况，函数无意义老师再问：此函数要求定义域是一切实数吗？ 在什么范围内取值可使函数有意义？ 此时 能取遍所有的正实数吗？ 学生回答这些问题不难，但回答完后会发生质变：对正确的解法彻底理解！ 而后再让学生讨论
5、 或 的情况，解决这两类问题已成水到渠成之势 条分缕析 从逻辑上讲清例 求函数 （） 的定义域分析 学生极易将答案错写成 或 ，虽多次纠正，但以后依然写错这显然是 的解为 或 的负迁移，本质是没有搞清逻辑关系讲解这个题目，可分为这样的几个步骤：示错 先让学生求 与 的并集，结果很快出来是因 或 ，到此己彰显了错误，但只知用“或” 错了，但对为什么用“且” 还不清楚举例 某剧场举行文艺演出，得知有，两名邪教分子，要进去乘机宣扬邪教那么门卫是“不准 进且不准进” 呢还是“不准进或不准进” 呢？ 学生必知是前者，对本题而言， 与 就是“两邪教分子” 它使分母为 ！论证：先让学生回忆习题中证过的结论：
6、（ ） （） （）记 ， ， ，显然 那么 （） （），而 ， 所以 且 至此学生便恍然大悟，这样可培养学生的思维具有严密逻辑性 登高望远 从背景上讲清例 在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 ， 满足 ，则点集 ， ， 所表示的区域的面积是（ ） 分析 作为高考题，考试中只要找出答案即可，但作为例题，仍用解选择题的套路去讲，将会收效甚微本题若对 ， 正负情况讨论，将其放入全背景下就会使学生如登山顶，产生“一览众山下” 的通透之感当 ， ，条件变为 若 ，则 点在线段 上； 若 或 ，则 点在线段 或 上； 若 ， 必有 ， （，）， 点在 内总之， 当 ， 时， 点 集 构 成 区 域（
7、包括边界）当 ， 时，条件变为（ ） ，分别取 ， 关于 的对称点 ，则 （ ）（ ） （ ） ，则点集构成区域 （包括边界）同理： 当 ， 时， 点 构 成 区 域（包括边界）当 ， 时，点构成区域（包括边界）所以， 满足条件的集合对应的区域为 （包括边界），其面积为 还可以让学生讨论 ， 集合对应的区域分别延长 ，则有 ， ； ， ； ， ； ， 时点集构成的区域分别为 、（包括边界）如此讲解，可加深学生对向量基本定理的理解，搞清本题的来龙去脉 剥茧抽丝 从思路上讲清例 若实数 ， 满足（ ） （ ） ，求（ ） （ ）的最小值分析 初看此题，学生会望而却步，字母太多，式子太复杂！ 而此时
8、也正是培养学生敢于解决问题、善于解决问题的勇气和能力的好时机管理学上说“思路决定出路”，厘清思路很重要思路从哪里来？ 从条件和结论的特点和联系上来可引导学生对特点与联系进行如下研究：式子（ ） （ ）有何特点，见此式有何联想？（由形思数，由数思形，是思维之常规，此式为（， 中学数学杂志 年第 期） 与（，） 两点距离之平方） 条件有何特点？（让换元成为一种意识，条件能看成 形式，其必有 ，所以 及 ） 所以 对于点（，） 意味着什么？（点（，） 在直线 上，同理点（，） 在函数 图像上） 本题求解的本质是什么？（求曲线 上的点到直线 的最近距离） 曲线 上满足条件的点应在什么位置？（在与 平行
9、的曲线的切线的切点处） 我们熟悉这类题吗？（课本上就有：若 与 图像相切，求切点坐标）至此问题己解决学会了寻求思路，就像丛林中的人握有指南针一样例题的讲解是对讲授法的运用，而现在讲授法颇受人歧视，因它是“传统、守旧、落后” 的象征，好像与新课程改革格格不入这完全是一种误解！ 是一些老师“以其昏昏，使人昭昭”、“说也说不清楚” 造成的，使讲授法“蒙羞”善于讲解的人，会开启学生的心扉，激发学生的潜能，享受数学的滋润练好讲解能力，应是教师一门必修功课多元初等函数结构的化解策略福建省惠安第三中学 江志杰以 （ ，） 为变量的基本初等函数，经过有限次的四则运算或复合运算，且可用一个式子表示的函数 （，）
10、 称为多元初等函数近年来各地高考屡屡以多元函数模型为载体，综合考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，着力考查推理论证能力、运算求解能力、知识交汇迁移能力和创新意识等，有效考查函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等数学思想这对以一元函数为主体的传统函数教学有着极大的挑战和跨越，为此笔者着重从多元初等函数结构入手，谈谈其化解策略： 配凑换元转化为一元函数如有些二元函数经过适当的整理变形后，可令其中 或 或 等，即可转换为关于的一元函数 （） 来解决，这是一种最常规的化归策略例 设 （，），（，）（ ） 是函数（） 图象上的两点，且曲线 （） 在点（，（） 处的切线与直线平行，求证： 解析 由（）得 （ ） 故本题关键证 明 关
