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1、材料力学 第三章 扭转主讲：韩玉林3.1 扭转的概念和实例传动轴传动轴扭转的概念和实例扭转的概念和实例共性 在杆件两端各作用一个力偶，其大小相 等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线 的力偶。 杆件的横截面都发生绕轴线的相对转动 ，即扭转变形。3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 讨论范围：纯扭转问题，杆件只受扭矩 作用，只发生扭转变形。外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系 输入功率、转速与扭矩 min9549kW eN m rPMn扭矩图 了解杆件各横截面上的扭矩 截面法Me1Me2Me3x112233为什么要了解杆件各横截面上的扭矩？扭矩图 了解杆件各横截面上的内力 平衡方
2、程0xM Me111nnTn33xMe2Me322nnTen扭矩Me的正负号 右手螺旋法则 下图中扭矩为正Me1Me2Me3x112233 mTnnmT扭矩扭矩T的符号规定的符号规定：例 题一 变 截 面 圆 轴 如 图 所 示 ，一 变 截 面 圆 轴 如 图 所 示 ， MA= 3 . 5 k N m ， MB=5kNm，MC=1.5kNm，试作圆轴的扭矩图。解：利用截面法和平衡方程，试作圆轴的扭矩图。解：利用截面法和平衡方程ABCMAMBMCAB段：段：ABT3.5kNm (-)AMBC段：段：BCT1.5kNm (+)CM1.5kNm3.5kNm扭矩图扭矩图A BCxT, Nm3-3
3、纯剪切纯剪切一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析-纯剪切等厚度的薄壁圆筒纯剪切等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r, 壁厚为壁厚为 t受扭前在其表面上用圆周线受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成方格和纵向线画成方格,然后加载，观察方格变形情况。然后加载，观察方格变形情况。mmnnmm(1) 纵向线倾斜了同一微小角度纵向线倾斜了同一微小角度(2) 圆周线形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（圆周线形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（nn，mm仍平行）。仍平行）。(3)方格变为斜棱形。方格变为斜棱形。设想设想:mm相对相对nn转动转动,方格两边发生相对错动，但两对
4、边 之间距离不变，圆筒半径尺寸不变。根据以上实验现象方格两边发生相对错动，但两对边 之间距离不变，圆筒半径尺寸不变。根据以上实验现象,可得结论：圆筒横截面上只有切应力，而无正应力。由于壁很簿，可认为切应力沿簿壁均匀分布，方向垂直于半径与周线相切。可得结论：圆筒横截面上只有切应力，而无正应力。由于壁很簿，可认为切应力沿簿壁均匀分布，方向垂直于半径与周线相切。观察到如下现象：观察到如下现象：mmnn薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布, ,与半径垂直与半径垂直与半径垂直与半径垂直, ,指向与
5、扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致. .T T根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式的误差不超过上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。rATAddAdA rATAdrrtT 2T r t22rx xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)(Shearing Stress Theorem)1. 1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体
6、左、右面（杆的横截面）只有切应力在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, ,其方向于其方向于其方向于其方向于 y y 轴平行轴平行轴平行轴平行. .两侧面的内力元素两侧面的内力元素两侧面的内力元素两侧面的内力元素 d dy y d dz z大小相等大小相等大小相等大小相等, ,方向相反方向相反方向相反方向相反, ,将组成将组成将组成将组成 一个力偶一个力偶一个力偶一个力偶. .由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程 0 yF其矩为其矩为其矩为其矩为( ( d dy y d dz z) d) dx xxydydzzdx2. 要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内
7、力元素 它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得( dy dz) dx00xzFMzyxd)dd( 3.切应力互等定理切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体纯剪切单元体 (Element in pure shea
8、r)单元体平面上只有切应力而无正应力单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体则称为纯剪切单元体.MMe eMMe el式中式中式中式中, , r r 为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经为薄壁圆筒的外半经. . 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 (Hooke(Hooke s law for shear)s law for shear)由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现薄壁圆筒的扭转试验发现, ,当外力偶当外力偶当外
9、力偶当外力偶 MMe e在某一范围内时在某一范围内时在某一范围内时在某一范围内时, , 扭扭扭扭转角转角转角转角 与与与与 MMe e（在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比）成正比）成正比）成正比. . lr TO 从从从从 T T 与与与与 之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系之间的线性关系, ,可推出可推出可推出可推出 与与与与 间间间间的线性关系的线性关系的线性关系的线性关系. .该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律(Hooke(Hooke s law for shear)s l
10、aw for shear)G G 剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量lr rT 22 G O O 剪切弹性模量剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比GE2 1 ()对于各向同性材料对于各向同性材料,可以证明可以证明: E、G、 三个弹性常数之间存在着如下关系、 三个弹性常数之间存在着如下关系思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为0 0四剪切应变能四剪切应变能1 2e21 22eG在线弹性范围内，剪
11、切应变能密度为在线弹性范围内，剪切应变能密度为：3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系（力系等效）变形几何关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系（力系等效）观察到下列现象观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离 没有变化各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离 没有变化 (2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度 (3)表面方格变为菱形（边长相等）。表面方格变为菱形（边长相等）。1.变形几何关系变形几何关系薄壁圆筒、圆轴纯扭转时的应力和变形特征横截面和横截面之间只有相对转动；横截面平
12、面还是平面，圆周还是圆周，且周 长不变；半径直线还是直线，且长度不变；轴线还是直线，轴线长度不变；且轴向线段 的长度保持不变。圆轴受扭后，其横截面只发生刚性转动；圆轴受扭后，其横截面只发生刚性转动；薄壁圆筒、圆轴纯扭转时的应力和变形特征圆周形状不变，周长不变，则纵向截面上没有正应力；在横截面法线方向，没有线应变，横截面上就没有正 应力；只有横截面间相对角度的变化，那么横截面上只有切应 力，切应力方向必定垂直于半径方向，且圆周上各点的 切应力大小相等。扭转变形假设：扭转变形假设：扭转变形假设：扭转变形假设：薄壁圆筒、圆轴纯扭转时的应力和变形特征如果纵向截面上有正应力，那么？如果横截面上有正应力？
13、如果横截面上切应力方向不垂直于半径方向，那么？如果切应力在圆周上各点大小不相等，那么？平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。dddrx xrdd ddx d dxd drx在外表面上横截面上距形心为的任一点处应变横截面上距形心为的任一点处应变根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, 当切应力不超过材料 的剪切比例极限时当切应力不超过材料 的剪切比例极限时 G切应力方向垂直于半径切应力方向垂直于半径2. 物理关系物理关系 Gxd d3.静力学关系静力学关系dAdAo AAT
14、d AGxATd ddGxATAd dd2令 IAp A2d则d d xT G IpIAp A2d极惯性矩d d xT G Ip Gxd d maxmaxT Ip GT G IpT IpT WtWI tpmax抗扭截面模量T IT Wptmaxmaxmax（1 1）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面dO3.3.3.3.极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算 (calculating the polar (calculating the polar moment of inertia （2）假定剪切引起的切应力
15、是均匀分布的.（2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的.33max8 8)615. 0 4414(dFDkdFD ccc 式中式中ccckdDc615. 0 4414, c为弹簧指数,为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表为曲度系数,可查教材中的表3.13.强度条件3.强度条件(Strength condition)max (a)RdPPQT(b)FSTFPF若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内的应变能为若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内的应变能为二、弹簧的变形二、弹簧的变形 (Deformation of the spring)2 p2T l GI 2FDT Dnl 2344F D n Gd 1. 应变能的计算应变能的计算 (Calculation of strain energy)3.功能原理功能原理 V= W (Work-en
