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1、书书书你能听出一面鼓的几何形状吗？ 谈谈等谱问题陈化（ 武汉大学数学与统计学院 ）问题的提出如果你能听到由一面“ 鼓” 发出的所有声音，那么你能唯一确定这面“ 鼓” 的几何形状吗？如图所示， 若“ 鼓”视为上的一个区域（ 或者看成是一块薄膜） ， 当受到外力而产生振动时， 在时刻其位移函数，（）满足如下的波动方程 ，；， ； （）这里称为拉普拉斯（ ）算子， 是的边界为寻求问题 （） 的驻波解 （ ） ， 我们利用分离变量法 令，（）（）（） ， 将此代入方程（） 并考虑到边界条件， 则对， 我们有 ，（）这表明，（） 槡（）（ ），这里（ ）满足如下的特征值问题，；， （）我们知道特征值问题
2、（） 存在无穷多个特征值， 这些特征值是离散的（ 也就是每个特征值只会是有限重的） ， 并且按照各自的有限重数能排成这样一个单调增加的数列：；， 当时这里特征值 也称为 谱于是问题（） 的第个驻波解为，（） 槡（）（ ），这里（ ）为对应于特征值的特征函数， 它构成索伯列夫（ ） 空间（） 的一个标准正交基底（ 有关索伯列夫空间的介绍请见相关文献）从图像上， 这种驻波解，（）表示一种基本的波形， 其波形是由（ ）的图形随着依赖于时间而变化的振幅函数的变动而成， 而这样一种振幅函数是随着频率为槡 呈现周期性振荡的如所周知， 问题（） 的一般解可以由这些特殊的驻波解叠加而得 所以如果我们知道所有的
3、特征值 ， 就知道了“ 鼓”发出的所有单音的频率， 也就是说“ 我们能够听到由这面 鼓发出的所有声音”用音乐家的语言， 最低的频率称为“ 基音（ ） ” ， 而对频率， 统称为“ 泛音（ ） ”那么用数学家的语言， 我们的问题归结为：假定有两个区域： 年第 卷第期 数学通报对应于这两个区域有两个特征值问题：， 烅烄烆； ， 烅烄烆这两个特征值问题分别有对应的特征值序列：，若对任意的， 均有， 则称和是等谱的（ 也就是这两面“ 鼓” 发出的声音是相同的） 那 么 我 们 的 问 题 是：和是 等 距 同 构的吗？这里我们称非零函数（） 为区域上对应于特征值的特征函数是指：（） 和它的一阶偏导数在
4、上连续， 并且对所有的具有紧支集的无穷次连续可微函数（） ， 均满足!（）（ !）（）以上所述解释了“ 你能从一面 鼓 发出的所有声音听出这面 鼓 的形状来吗？ ” 这句话的数学含义 这是数学上一类典型的反问题研究 当然现在我们可以告诉大家， 当空间的维数时， 对此问题的答案是否定的让我们先大概回顾一下这方面的研究历史历史的回顾这方面的第一个反例是在 年由美国著名几何拓扑学家 给出的（ 见 ）他在 维的黎曼（ ） 流形上构造出了一对等谱但非等距同构的例子； 接下来这方面又由许多几何拓扑学家构造出了各种不同维数的例子， 例如 等 但他们均是在各种黎曼流形上去寻找反例， 而在上的反例则涉及到日本数
5、学家 早期的工作（ 见 ） 在 年， 他对构造出了在中等谱但非等距同构的例子以上所有反例构造出的“ 鼓” 只能称之为是数学意义下的“ 鼓” ， 而真正现实中的“ 鼓” ， 应该是研究平面上的一块“ 薄膜” 在维空间中的振动问题 所以在平面上研究等谱问题才是人们最为关心的 年， 波兰籍美国数学家 发表了他那篇经典的论文 “ ？ ” （ 见 ） ， 并提出了当是一个有界区域时， 其对应的拉普拉斯算子的特征值实际上是这面“ 鼓” 产生的声音的频率 ， 那么的几何形状能被 所唯一决定吗？这一问题一直是几何拓扑学中的著名难题， 直到 年才被两位美国数学家（ 和 ） 和一位以色列数学家（ ） 解决他们合作
6、的工作构造出了一对平面上的等谱非等距同构的例子 年， 他们的论文发表在德国的 数学创造（ ） ” （ 见 ） 上； 在文章发表之前他们还在美国数学会的 发表了一个页纸的摘要（ 见 ） 年美国数学会发行了一个新杂志 在 数 学 科 学 上 发 生 了 什 么 （ ）该杂志一年仅有一期， 刊载了之前一年在数学研究上产生的一些重要成果在 年创刊号上， 作为主打文章详细介绍了 的工作作者中， 和 是一对夫妻， 均为美国华盛顿大学数学系的教授 图是他们两人手举着他们构造的平面等谱区域和的相片这一对平面区域（ 图） 实际上是一对边界逐段光滑的连通区域（ 图中区域内部的各个分划线是我们加上去的， 这是为了下
7、面的解释） 这一对平面区域的产生， 实际上是 、 和 他们三人将 中构造的那对等谱但非等距同构的维黎曼曲面（ 也称之为 的铃铛） 投影到平面上而得到的明显地， 这一对平面区 域 是 非 等 距 同 构 的， 而 、 和 他们当时遇到的主要困难是如何证明这一对平面区域是等谱的 他们在文章中花费了大量的篇幅来证明这一点， 最后他们成功了图数学通报 年第 卷第期图 的迁移映射方法然而让人没有想到的是， 刚刚解决了 提出来的著名难题， 紧接着他们的证明就被法国数学家 大大的简化了 在 年发表了两篇文章（ 见 ， ） ， 引进了一种全新的数学方法来证明两个区域的等谱， 这使得 在等谱方面的证明得到了极大
8、的简化 的方法实际上是去构造一个可逆映射（ 即所谓的函数迁移映射） ， 这种映射是将对应于区域的特征函数映射到对应于区域的特征函数， 使它们具有相同的特征值， 所以对应于的特征值也将是对应于的特征值； 反之此可逆映射的逆映射也可表明任意一个对应于的特征值也将是对应于的特征值 所以这就证明了两个区域和是等谱的另外这种迁移映射是将零函数唯一映射到零函数为了形象地描述 构造的这种函数迁移映射， 请见图表示的平面上的一对区域和， 这两个区域均是单连通的， 其中的点虚线、 虚线以及实心黑线实际上是为了构造迁移映射而人为地加上去的图图中， 两个平面区域可以分为七个等腰三角形， 比如区域是由， ，这七个三角
9、形拼成；是由， ，这七个三角形拼成； 这里三角形是指当三角形沿着某对称边界的反射， 也就是将三角形翻转过去成为背面， 记为图实际上已经告诉我们如何将上的特征函数迁移到上的特征函数， 并且保持相同的特征值图中的两个三角形和的相加是指： 迁移后的函数在三角形内一点的值是由迁移前的函数分别在三角形和中对应点的值相加而成当某三角形是由它的反射（ 即背面）表示时，则对应的函数值前面要加负号， 在示意图上的表示是弄清楚了这些， 何为， 何为也就明白了为了表述得更为清楚， 我们将图用下面图重新表示假设是上 对 应 于 特 征 值的 特 征 函数， 即，；， 那么迁移映射是如何将映射到上的特征函数， 使之具有
10、相同的特征值呢？图已经告 年第 卷第期 数学通报图诉我们， 对里面任一点（ 先假设不会落在里面的某个分界线上） ， 则根据在小三角形上的位置， 可以分别在区域的各个小三角形上找到对应的点， ，； 比如， 则定义函数在点的值为（ ）（）（）（ ）故而有（ ）（）（）（ ）（ ），所以当没有落在某分界线上时， 函数（ ）在点附近满足特征值方程为了证明（ ）确实是对应于的（ ） 特征函数， 我们还需要证明：（） 这样定义的函数（ ）在里面可以一阶光滑地跨过那些分界线（ 也就是说的偏导数在点属于分界线时是连续的） ； （） 函数（ ）在的边界上为零（ 即满足 边界条件）不失一般性， 我们考虑区域中三角
11、形和三角形之间的分界线（ 见图（） ） 由于是对应于的 特征函数，故由图（） ， 实线分界线分别是三角形和以及和的共享边界， 所以特征函数和的一阶偏导数在从跨过到时（ 或者从到时） 是连续的 另外， 从图（） 上可以看到实线线段相对于三角形是区域的边界， 所以由 边界条件， 特征函数在的边界上为零， 当然在对应的反射的边界上也为零； 另外根据对称反射原理，沿着边界对称地反射到， 特征函数的偏导数在的两边正好是反号的， 这表明函数在和内沿实线是相容的（ 这里相容是指函数本身和一阶偏导数是连续的） ， 所以定义在的三角形和上的函数（ ）， 沿着分界线， 可以一阶光滑地从一边到另一边， 即（ ）从跨
12、过到是相容的 这就证明了（ ）对于特征值， 在内部均满足特征值方程（ ）（ ） 验 证 函 数（ ）在的 边 界 上 满 足 零 条件比较容易如图（） 所示， 我们验证在的边界上， 由于虚线在区域中是三角形的边界， 属于 ， 故而 特征函数（） 在的虚线边界线上为零； 另外在内，沿虚线对称反射到， 故而就是， 这表明沿着的 边 界， 函 数（ ）（）（）（）（）（）以上的验证过程表明函数（ ）在的边界上满足零 条件， 所以我们得到（ ）是上的特征函数， 其对应的特征值正好是， 这就证明了对应于的特征值也是对应于的特征值反之， 由于以上迁移映射是可逆的， 故而利用这种迁移映射的逆映射， 又可以证
13、明对应于的任意一个特征值也是对应于的特征值所以最后得到结论：和是等谱的将 的方法用在 的那个例子（ 见图中区域和） ， 这时我们应该明白了那些大写英文字母的含义以及在内部加上那些分界线的意思了所以 的结果马上可以由 这种简单的迁移映射构造推出， 并且我们也明白了， 利用 的方法， 我们可以去构造许多平面上等谱但非等距同构的连通区域的例子， 因为构成这些例子的基本构件不一定非要是等腰三角形， 像 的著名例子可以是由一个平面上的小多边形作为基本构件 实际上平面上任一个带有三条直边的几何图形均可以作为基本构件来构造一对等谱但非等距同构的连通平面区域我们甚至于可以在平面上构造一对连通的具有分形边界的等
14、谱但非等距同构的区域出来（ 见 ） 的折纸法 年， 美国斯坦福大学博士后、 年青的英国数学家 ， 提出了一种所谓数学通报 年第 卷第期的折纸法， 从而更为简单地介绍了 的函数迁移映射法 的折纸法介绍如下：） 用纸剪出三个图中的区域；） 按照以下图中的（） 、 （） 和（） 的三种方式摆放来折纸 比如区域 是区域按照虚线折两次而成（ 图第一行） ； 区域 是将区域翻转过来再按虚线折两次（ 图第二行） ； 区域 是将区域翻转过去并横着摆放， 再按虚线折两次而得（ 图第三行）图） 将所折好的三个区域 ， 和 按照图第三列虚线所示的重叠摆放在一起， 这就形成了图中的区域（ 也即图的） 一个对应于的 特
15、征函数（） ，在每一次折纸时将迁移为新区域上的函数， 其在新区域上的函数值等于函数在每一个叠加在一起的图形上对应点的值加起来； 如果某一个叠加的图形是翻转过来的， 则函数在该图形对应点上的值前面要加负号） 每次折纸时， 从的特征函数（） 迁移过来的函数在新的区域边界上自动为零， 这是因为图该迁移函数沿着新折好的区域的任一条边界均为零 所以最后三次折纸然后重叠在一起构造出的区域， 由（） 迁移过来的函数（ ）自动满足零 条件） 为保证迁移函数（ ）的一阶偏导数在新区域内部的连续性（ 这样才可以保证迁移函数（ ）是区域的 特征函数） ， 我们要求每次沿虚线折纸时， 折叠线均成为了新区域的外边界；
16、另外从最初的图形开始折叠， 若的边界落到新区域的内部， 则在最后图形叠加在一起时， 沿此边界该三角形必须要与它在中的对称反射三角形相邻例如， 在图中第一次折叠时， 得到新图形图， 这里三角形和三角形的外边界分别落在新区域 的内部（ 如图所示的和两个边）则在 中， 沿图中和两个边， 迁移函图数的一阶偏导数是不连续的， 但将图中第二次折叠的区域 叠加到 上， 在最终得到的新区域的内部， 由于沿线段将的对称反射三角形放在了相邻的位置， 沿线段将的对称反射三角形放在了相邻的位置， 故而最终得到的 年第 卷第期 数学通报迁移函数在内部沿线段和线段， 其一阶偏导数是连续的综上所述， 利用 的折纸法从区域到
17、区域， 所得到的这两个平面连通区域是等谱的最后的注解） 本文所述的等谱问题， 原本产生于分析学里面的反问题， 但随后的等谱区域的构造又主要吸引了一大批主流的几何拓扑学家的关注同时，这个问题的研究又有着那样多的实际应用背景（ 比如在石油勘探、 探矿、 金属探伤以及医学上的 、 核磁共振等均在理论上与这类数学的反问题研究有关） ， 正是像这样的一类许多学科均感兴趣的跨学科研究的问题往往是能引起大家共同关注的问题） 平面上等谱但非等距同构区域的构造原来是几何拓扑研究领域的著名难题， 所以当 三人 年的工作发表后，马上在美国数学会一年一期的 在数学科学上发生了什么？ 创刊号（ ） 上作为重点内容加以介
18、绍但很快他们的结果又被 和 用更简单的方法证明了， 特别是 的折纸法， 应该是大学里学数学的低年级本科生都可以弄明白的把这件有趣的事情在本文中呈现给大家， 是让大家进一步明白在科学研究中， 提出一种新的研究方法是多么的有力和多么的重要） 等谱问题研究到现在， 剩下来的一个世界级的难题应该是： 如何在平面上去构造一对具光滑边界（ 即边界至少是光滑） 的等谱但非等距同构的例子？这一问题的研究至今还没有任何进展） 本文的结果告诉我们， 从一面“ 鼓”发出的所有声音不能从几何上完全决定， 但的哪些几何量是可以被“ 听” 出来的呢（ 也就是说能被特征值唯一决定） ？这些问题实际上涉及另外一个研究方向，
19、也就是谱渐近理论的研究 最早的数学结果当属 年证明的一阶谱渐近公式 的工作表明区域的体积是由特征值唯一决定的（ 也就是说“ 鼓” 的体积是可以“ 听”出来的） 这方面研究的后来发展形成了对“ 谱几何”的研究分支， 而对数学上“ 谱的几何不变量”的深入研究， 吸引了国际上一大批重量级分析学家和几何学家的共同关注， 这些故事限于本文的篇幅就不在这里赘述了参考文献 ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， （ ） ， ， ， ，（ ） ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， ， ， （ ） ， ， ， ，（ ） ， ， ？ ， （ ） ， ， ， ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， ， （ ） ， ， ， ， ，（ ） ， ， ， ， ， （ ） ， 数学通报 年第 卷第期
