《离心率相同的椭圆性质初探》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离心率相同的椭圆性质初探（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、离心率相同的椭圆性质初探 对 数学通报 号问题的探究徐德同（ 江苏省常州市教育科学研究院 ）数学通报 年第 期“ 数学问题解答” 第 号问题：如图（） ， 给定椭圆：、：（） ， 过上任一点引的两条切线分别交于，两点 求证： 直线 过原点图（） 问题给出的一组共轴椭圆（ 下同） 有相同的离心率， 具有相同离心率的椭圆有哪些性质呢？笔者对此进行了研究， 得到了一些有趣美妙的结论性质一 如果，是具有相同离心率的两个共轴椭圆， 如图（） 所示 过上任一点引的 切 线 交于，两 点，则 图（）证明设：、：（，） ， 设点（，） （） 是上任一点， 所以 切线 的方程为 ，设（，） ，（，） ，由 ，烅
2、烄烆，消去得（ ） ，所以 （ ） ，即 的中点为， 所以 又当时， 显然有 性质一得证性质二 如果，是具有相同离心率的两个共轴椭圆， 如图（） 所示直线与、依次交于、四点， 则 图（）数学通报 年 第 卷 第期证明设：、：（，） ， 当直线斜率不存在时， 性质二显然成立； 当直线的斜率存在时， 设的方程为 ， 设（，） ，（，） ，（，） ，（，） ，由 ，烅烄烆，得 （） ，所以 ，同理可得 ，所以线段 的中点和线段的中点重合， 故 性质二得证性质三 如果，是具有相同离心率的两个共轴椭圆， 如图（） 所示过上任一点引的切线交于，两点， 则三角形 的面积为定值图（）证明 设：、：（，） ，
3、设点（，） （） 是上任一点， 则切线 的方程为 设直线 与轴交于点， 令得 设（，） ，（，） ，由 ，烅烄烆，消去得（ ） ，所以 （ ） （ ） （ 槡） 槡 因为 ， 所以 （ ） ，代入得 槡所以 槡为定值又当时， 槡 槡 综上所述， 三角形 的面积为定值性质三得证 性质四 如果，是具有相同离心率的两个共轴椭圆， 如图（） 所示 过上任一点 引的切线、交于，两点（，为切点） ， 设上点处的切线为则 图（） 证明 由性质一知 下证 设：、：（，） ， 设点（，） （） 是上任一点， 所以点处切线的方程为 ， 从而点处切线的斜率为 设（，） ，（，） ， 所以点，处切线、的方程分别为 和
4、 ， 由于 年 第 卷 第期 数学通报点在切线上， 故 ； ， 得（） （） ， 所 以 ， 即 当时， 由对称性显然有 性质四得证性质五 如果，是具有相同离心率的两个共轴椭圆， 如图（） 所示、是三条平行 直线，、分别与、交于、和、与相 交 于 点，与相 切 于 点，则 图（）证明 设：、：（，） 当平行线的斜率不存在时， 如图（） ， 设的方程为（槡 槡 ） ， 易求图（） （ 槡 槡） ， （ 槡 槡） ，槡，所以 （）当平行线的斜率存在时， 设的方程为 ，与的另一交点为， 如图（）图（） 设（，） ，（，） ，（，） ，（，） ，由 ，烅烄烆，得（） ， 所以 ， 由性质三知 ， 故
5、（ ） （ ） ，由弦长公式得 （槡）（） （）（） （）；同理可得 （） （）所以 （） （）（） （）（） （） 是与无关的值， 同理可得（） （） 所以 性质五得证数学通报 年 第 卷 第期由性质五还可以得到下面的推论：如果， ，（，） 是具有相同离心率的个共轴椭圆， 如图（） 所示 直线分别与， ，交于点 、 ， 、 ，、，则 对于双曲线， 也有相同的性质：如果，是具有相同离心率的共轴双曲线， 过上一点引的切线交于，两点， 直线 与、分别交于点、，如图（ ） 所示则有： （） ； （） 三角 形 的面积为定值； （） ； （） 图（）图（ ）同率椭圆（ 双曲线、 抛物线） 一定还有很多
6、有 趣美妙的性质， 上述文字仅当抛砖引玉参考文献 姜坤崇 数学问题解答 数学通报， ， ： （ 上接第 页） 翻开不少数学教育期刊， 充斥着迷信名人或权威、言必称“ 纲本” 式的上纲上线的口号， 在这个角度看， 文 也是对于当前不少同行教研价值取向的一种示范和提醒 案例分析的反思研究， 坚持“ 小中见大” 的取向 案例分析的反思研究是很多老师喜欢的一种研究方式， 但不少案例（ 如课例、 考题） 分析往往局限于一时一地、 个性化阐释； 或者题目很大， 内容却十分贫乏、 空洞， 言之无物； 或者拉大旗、 行文两张皮； 或者紧盯一些新名词、 新概念、 新口号、 新模式， 搞成贴标签之类的研究作品 像
7、文 从一个大家都熟悉不过的“ 压轴题” 的解法商榷出发， 深度追问， 发前人之未发， 言他人之不能言、 不敢言，又“ 小中见大” ， 不拘泥于一题一解的低层次视角，而是拾阶而上， 富有情怀地理解命题者编拟试题时的“ 顾此失彼” 、 “ 捉襟见肘” 、 “ 寸步难行” ， 进而上升到对国家层面的“ 课程标准” 的反思， 言之凿凿， 其情也真， 其思也切， 体现了一个老教研人对数学教育的情怀与智慧， 背后又显示了长期“ 接地气” 积淀下来的真功夫 结语连日来， 笔者复习研读文 ， 并在多个场合、地点、 人员之间推介、 交流研读心得， 倍受教益（ 亦含“ 闻过则喜” 之意） ， 心生欢喜， 敬写上文， 分享心得参考文献 贺信淳 从多角度审视一道中考试题说开去谈对初中数学教育现状之惑 数学通报， ， ：， 刘东升 年中考数学命题的喜与忧 中学数学教学参考（ 中旬） ， ， ： 章建跃构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考数学通报， ，：， 封底 年 第 卷 第期 数学通报
