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1、第六讲第六讲 抽样分布与参数点估计抽样分布与参数点估计 本讲内容本讲内容6.1 总体与抽样分布总体与抽样分布 6.2 参数点估计参数点估计 6.3 点估计的优良标准点估计的优良标准 本讲提要本讲提要 (略略. 见大纲见大纲) 6.1 样本与抽样分布样本与抽样分布 6.1.1 总体和样本的概念与关系总体和样本的概念与关系 概念概念 总体总体X、样本、样本X1, X2, ,Xn和样本观测值和样本观测值x1, x2, ,xn ； 样本的矩：样本的矩： =niiXnX11， =niiXXnS122)(11 =nik ikXnM11和和 =niinXXnS122)(1总体的矩总体的矩 和和 =)(xdF
2、xEkk k， =)()()(xdFxEEkk k2. 矩间关系矩间关系 keankkkMEM. , =3. 分布间关系及经验分布间关系及经验 df FXj(x)=F(x) 且且 )(),(X121),(21jnjnXXXxFxxxF n=LL1 定义（经验定义（经验 df） 1-, 2 , 1= 1/0),;()()1()()1(1* nnkxxxxxnkxxxxxFnkknKK，如如如未知，试求未知，试求 的矩估计量和最大似然估计量的矩估计量和最大似然估计量.(2)设总体设总体X UML , , 试求试求 的矩估计量的矩估计量. M【（【（1）XM2= =., 0, 0,01),(21其它
3、，nnxxxLKx ),max( 21)(nnLXXXXL=. (2) (3M2)1/2 或或 3S2(n1)/n1/2.】 例例6.2.3 (99模拟模拟1)设总体设总体X的的 pdf 为为 0)都是参数都是参数. 又设又设X1, X2, ,Xn为该总体的简单样本，而为该总体的简单样本，而x1, x2, ,xn为其样本观察值为其样本观察值. 设设 已知，求已知，求 的极大似然估计的极大似然估计L . (2) 设设 已知，求的矩估计已知，求的矩估计 . M6 【(1) = 其它当 , 1,),(ln),;(1nixnxnxLiniiKL=. (2) ,min:n21) 1(XXXXL=)/(1
4、=XM】 【(00-1-136) 设某种元件的使用寿命设某种元件的使用寿命 X 的的 pdf 为为 其中其中 0为未知参数为未知参数. 又设是又设是 X 的一组样本观测值的一组样本观测值, 求参数求参数 的最大似然估计值的最大似然估计值.】 )(2);()(2=xIexfx【(02-3-1(5) 设总体设总体X的的pdf为为 ()()(;=xIexfx而而X1, X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的简单随机样本的简单随机样本, 则未知参数则未知参数 的矩估计量为的矩估计量为 【X1】 【(03-1-128 ) 设总体设总体X的的pdf为为, 其中其中 0是未知参数是未知参数. 从总体从总体X
5、中抽取简单样本中抽取简单样本X)(2)()(2=xIexfx1, X2, ,Xn, 记记()nXXX,min 21L=. (1) 求总体求总体X的的 df ; (2) 求统计量的求统计量的 df ; )(xF)(xF(3) 如果用作为如果用作为 的估计量的估计量, 讨论它是否无偏讨论它是否无偏. (1) =, 0,1)()()(2其他xedttfxFxx(2) =., 0,1)()(2其他xexFxn(3) 作为作为 的估计量不具有无偏性的估计量不具有无偏性. 】 【(99年模拟年模拟2) 设总体设总体df为为 )()(1 (),;(xIxxF0, 0,都是未知参数。都是未知参数。 设设X1,
6、 X2, ,Xn为简单样本，为简单样本， 求求 和和 的极大似然估计：和。的极大似然估计：和。 L L7 2) 设设 已知，上述是否已知，上述是否 的无偏估计？的无偏估计？ L比较比较(2004-1-2313) 及及(2004-1-239) 设设 rvX 的的 df 为为()(1 ,; =xIxxF 】 例例6.2.4 设设XU0, ，参数，参数 未知，未知，X1, X2, ,Xn是其大小为是其大小为n的样本的样本. 则则 (1) 矩估计量矩估计量 XM2=是无偏的；是无偏的； (2)* 似然估计似然估计= X L(n) = max X1, X2, ,Xn ，不是参数，不是参数 的无偏估计的无
7、偏估计. 但但 )(11 nLXnn nn+=+是比是比XM2=有效的估计量有效的估计量. 【(2)* 当当 01时，时，MLnnD 0, pdf 为为)0(1);(/=xIexfx .又设又设X1, X2, ,Xn是来自是来自X的样本的样本, 试证试证 (1) X和和n X (1)都是都是 的无偏估计量，其中的无偏估计量，其中X (1) = min X1, X2, ,Xn . 当当n 1时时, 对于对于 的估计，的估计，X较较n X (1)有效有效. 8 注意注意)0();(/)1(=xIenxfnx X ，X(1) Ex (n/ ) , 从而从而EX(1) = /n，故，故nX(1)也是也
8、是 的无偏估计的无偏估计. 】 【例例 设设X1, X2, ,X2n是来自方差有限的总体是来自方差有限的总体X的大小为的大小为2n的简单随机样本，令的简单随机样本，令 =niiniiXnTXnXT1222111,21. 则则 (1) 对总体期望作估计时对总体期望作估计时T1和和T2是否无偏是否无偏? T1是否比是否比T2有效有效? 请说明上述结论理由请说明上述结论理由. (2) 证明证明T2是总体期望一致估计是总体期望一致估计 (即相合估计即相合估计) (1) T1和和T2都是都是的无偏估计。的无偏估计。2212 212 )2(1 1)2(1 1222DTnDXDTnnnn in=2)为来自总
9、体为来自总体N (0, 2) 的简单随机样本，的简单随机样本，X为样本均值，记为样本均值，记Yi = X i X , i=1,2,n. 求：求：(I) Yi的方差的方差DYi , i=1,2,n; (II) Y1与与Yn的协方差的协方差Cov(Y1, Yn) 9 (III) 若若c(Y1 +Yn)2是是 2的无偏估计量，求参数的无偏估计量，求参数c. 解（解（I）)(XXDDYii= 211111nnXnXnDi ni= = =，ni, 2 , 1L= （II）()()()()XXXXEEYYEYYEYYnnnini=11),(Cov ()()()()XXEXXEXEXXEnn+=12 1()
10、()()()ninini inXXEnXEnXXEnXEaXDEXEX=+=1121222 11111121n= （III） )()(12 1nnYYcDYYcE+=+),(Cov211nnYYDYDYc+=222) 1(2211= +=cnn nnn nnc 故故 )2(2=nnc. 注注 本题本题(1)是水木艾迪考研冲刺班摸底模拟的原题第是水木艾迪考研冲刺班摸底模拟的原题第23题，也是在多个高校题，也是在多个高校12月冲刺讲座的月冲刺讲座的6个重点题之一。个重点题之一。 23题原题如下：题原题如下： 23 设设X1, X2, KK,Xn是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量, 方差为
11、方差为20. 令令X= =niiXn11, 则则)(1XXD = _ 。 10 在进阶概率统计的例在进阶概率统计的例1.4，设，设X1, X2, ,Xn iid, N( , 2), 它们的算术平均值记为它们的算术平均值记为=nkknXX11. 令令Yk = Xk X , 求求 DYk 及其分布，及其分布，k=1,2,；在；在2004年年12月冲刺班例月冲刺班例1.6.7也是这类题，进一步还给出也是这类题，进一步还给出Yk = Xk X 分布和协方差。分布和协方差。 第七讲第七讲 参数区间估计与假设检验参数区间估计与假设检验 本讲内容本讲内容7.1 参数的区间估计参数的区间估计 7.2 参数的假
12、设检验参数的假设检验 本讲提要本讲提要(略略. 见大纲见大纲) 7.1 区间估计区间估计 7.1.1 区间估计的概念区间估计的概念 7.1.2 理论依据与方法理论依据与方法 1 一个正态总体参数的置信区间一个正态总体参数的置信区间 求求 的置信度为的置信度为1 的置信区间的置信区间. 找找 P( X , X+ ) = 1 . ),(),(2/2/nzXnzX+=(当当2已知已知) ) 1(,) 1(2/2/nntXnntX +(当当2未知未知) 11 例例7.1.1 设某糖厂用自动包装机集箱外运糖果，由以往经验知标准差为设某糖厂用自动包装机集箱外运糖果，由以往经验知标准差为1.15kg. 某日
13、开工后在生产线上抽测某日开工后在生产线上抽测9箱，得数据箱，得数据99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5（kg）。求生产线上包装机装箱糖果的期望重量的区间估计（取）。求生产线上包装机装箱糖果的期望重量的区间估计（取 =0.05）. 【区间估计【区间估计: 73.100,23.99025. 0025. 0=+=nzxnzx. 的的95%的置信区间为的置信区间为 (99.23, 100.73) 】 方差方差 2的置信度的置信度1 置信区间置信区间 =)(/)()(/)(2 2/1 122 2/ 12nXnXniinii，(已
14、知已知) ()(/) 1()(/) 1(2 2/122 2/2nSnnSn，(当未知当未知) 典型例题典型例题 例例7.1.2（续）（续） 继续求上例置信度为继续求上例置信度为0.95的置信区间的置信区间. (2) 如果方差未知如果方差未知, 总体总体 的置信度为的置信度为0.95的置信区间：的置信区间： (3) 如果如果 100（已知）（已知）, 求总体方差求总体方差 2置信区间：置信区间： (4) 如果如果 未知未知, 求总体方差求总体方差 2的置信区间：的置信区间： 【(2) s =1.2122，t0.025(8) = 2.3060 )3/2122. 198.99() 1(025. 0=nsntx. 的的95%的置信区间为的置信区间为 (99.0482, 100.9118) (3) 20.025 (9)=19.023, 20.975 (9)=2.700 12
