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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 二、常见二、常见的离散型随机变量的离散型随机变量 1. （0-1）分布（已讲）分布（已讲） 2. 二项分布（已讲）二项分布（已讲） 3. 泊松分布泊松分布 4. 几何分布几何分布 实例实例1 一本书中的任意一页里的印刷错误数一本书中的任意一页里的印刷错误数. 实例实例2 一电话总机在某一时间间隔内收到的一电话总机在某一时间间隔内收到的 呼叫次数呼叫次数. 实例实例3 某一医院一天内的急诊病人数某一医院一天内的急诊病人数. 实例实例4 某一地区在一天的某一时间某一地区在一天的某一时间 间隔内发生
2、的交通事故数间隔内发生的交通事故数. S. Poisson法法 ( 1781 1840) 实例实例5 一块放射性物质在某一时间间隔内一块放射性物质在某一时间间隔内 的的经过计数器经过计数器的的 粒子粒子数数. . “我建立了“我建立了描述随机现象描述随机现象的一种概率分布的一种概率分布.” (1)定义定义 设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为 0, 1, 2, , 且其分布律为且其分布律为 其中常数其中常数 0， 则称则称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 3. 泊松泊松(Poisson)分布分布 (2)分布律的分布律的验证验证 (3)概率背景概率背景 ,
3、 , 2 , 1 , 0,!)( kkekXPk).( X记记 0!kkke 0!kkke ee. 1 泊松分布的图形特点泊松分布的图形特点 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 且且P(X=1) =P(X=2). 求求P(X=4). 解解 X的分布律为的分布律为 P(X=1) =P(X=2) 例例1 , , 2 , 1 , 0,!)( kkekXPk!2!121 ee022 . 2),(0 舍舍! 42)4(4 2 eXP.09022. 0322 e(1)定义定义 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为 P(X=k) = (1-p) k-1 p, k=1
4、, 2, (02时，时， f(x)=0. 当当0x2时时， .2)(xxf . , 0, 20 ,2)( 其它其它xx xf令令f(0)= 0，f(2)=1，则，则 ttfxd )( )(xF若已知若已知 原函数原函数 = 一、一、 连续型随机变量的概念与连续型随机变量的概念与性质性质 1. 定义定义 设设F(x) 是随机变量是随机变量X的分布函数，若的分布函数，若 存在存在非负可积非负可积函数函数 f(x)，使得对任意实数，使得对任意实数x,有有 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 ,d)()( xttfxF则称则称 X 是是连续型连续型随机变量随机变量，f(x)称为是
5、称为是 X 的的概率概率密度函数密度函数(probability density funcition)，简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度. 分布函数分布函数 F (x)与与密度函数密度函数 f (x)的几何意义的几何意义 x f ( x) x F ( x ) =( )yf x-10 -5 5 0.02 0.04 0.06 0.08 2. 性质性质 . 0)( 1 xf性质性质. 1d)( 2 xxf性质性质f (x) x o 面积为面积为1 ).(xfX设设.d)()( 3 baxxfbXaP性质性质)()()(aFbFbXaP abxxfxxfd)(d)(.d)( baxxf性质性质
6、4 若若 f(x)在点在点x处连续，处连续，则则 ).()(xfxF 证明证明 连续型随机变量取任一指定实数连续型随机变量取任一指定实数 a 的的 概率为概率为 0，即即P(X=a)=0. 性质性质5 证明证明 , 0 x 设设.aXxaaX 则则)()(0aXxaPaXP ttfaxad)( ，在上式中，令在上式中，令0x . 0d)( ttfaxa . 0)( aXP故故由由P(X=a)=0 可推知可推知 . 1)(d)(),(),( aXPxxfaaXP而而 X=a 并非并非不可能事件不可能事件, 并非并非必然事件必然事件. aRX称称A为几乎不可能事件，为几乎不可能事件，B为几乎必然事
7、件为几乎必然事件. 可见，可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S 性质性质6 )()()3(bXaPbXaP .d)( baxxf)()()1 (aXPaXP .d)( axxf)()()2(aXPaXP )(bXaP )(bXaP .d)( axxf二、概率密度与分布函数的关系二、概率密度与分布函数的关系 (1) 若若X 是连续型随机变量是连续型随机变量, 有概率密度有概率密度 f(x), 则则 并且在并且在 f(x) 的连续点处有的连续点处有 ,d)()()( xttfxXPxF).()(xFxf 点外有连续的导数，令点外有连续的导数，
8、令个个连续，除去有限或可列连续，除去有限或可列的分布函数的分布函数设设)( (2)xFX . , 0,)( ),()(其它其它存在存在当当xFxFxf则则X 是连续型是连续型随机变量，则随机变量，则 f(x)是是X的概率密度的概率密度. 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 . , 0, 20),24()(2其它其它xxxcxf).1()2(.)1( XPc计算计算求常数求常数例例1 解解(1) 由密度函数的性质由密度函数的性质 . 1d)( xxf 22020d0d)24(d0xxxxcx2032 322 xxcc38 .83 c xxfd)(1)1()2( XP 1d)(xxf21 2212d0d)24(83xxxx2132 32283xx . , 0, 20),24(83 )(2其它其它xxxxf
