[数学]高数一微积分第5章

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1、第五章第五章 一元函数积分学一元函数积分学 5.15.1 原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间 I 内，存在可导函数 F（x）使都有 F （x）=f（x）或 dF（x）=f（x）dx，那么函数 F（x）就称为 f（x）在区间 I 内原函数。 例：，sinx 是 cosx 的原函数。 Lnx 是在区间（0，+）内的原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f（x）在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 F（x），使，都有 F（x）=f（x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2

2、）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）=cosx （sinx+C）=cosx （C 为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若 F（x）=f（x），则对于任意常数 C，F（x）+C 都是 f（x）的原函数。 （2）若 F（x）和 G（x）都是 f（x）的原函数，则 F（x）-G（x）=C（C 为任意常数） 证F（x）-G（x） =F（x）-G（x） =f（x）=f（x）=0 F（x）-G（x）=C（C 为任意常数） 不定积分的定义： 函数 f（x）的全体原函数的集合称 f（x）的不定积分，记为f（x）dx。 ,其中为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx 为被积表达式，C 为任

3、意常数。 例：求。 解： 例：求。 解： 积分曲线 例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此 曲线方程。 解：设曲线方程为 y=f（x）, 根据题意知 即 f（x）是 2x 的一个原函数。 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 y =x2+1。 函数 f（x）的原函数的图形称为 f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲 线族。 不定积分的性质 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。 5.25.2 基本积分公式基本积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。 基本

4、积分表 （1）； （2）； （3）； 说明： 简写为 （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； 例：求积分 解： 根据积分公式（2） 不定积分的性质 （1）； 证 。 等式成立。 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） （2）（k 是常数，k0） 例：求积分。 解： 例：求积分。 解： 。 例：。 解： 。 例：； 例：已知 f（x）之一原函数为 ，求f（x）dx。 例：求。 例： 例：设，求 f（x）。 例：。 例：； 例： 例：。 解： 例：设，且 f（0）=1，求 f（x）. 解：因为，若设 u=ex，则 f（u）=1+

5、u3 所以 f（x）是 1+x3的一个原函数，而 。 故。又 f（0）=1，从而 C=1。因此 例：； 例：。 例：。 例：。 例：求积分。 解： 说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。 四、小结四、小结 原函数的概念：F（x）=f（x） 不定积分的概念： 基本积分表（1） 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质 5.35.3 换元积分法换元积分法 一、第一类换元法一、第一类换元法 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量。 过程 令 在一般情况下： 设 F（u）=f（u），则 如果（可微） 由此可得换元法定理。 定理 设 f（u）具有原函数，可导，则有换元公式

6、第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 观察重点不同，所得结论不同。 例：求 解（一） 解（二） 解（三） 例：求。 解： 。 一般地 例：求。 例：求。 例：求。 例：求。 例：求。 例：求。 笔记搞错 例：求。 例：求。 解： 。 例：求。 解： 。 例：求。 例：求。 例： 例： 例： 例： 例：； 例：求 解： 。 （使用了三角函数恒等变形） 例：求。 解： 例： 解：设 u=x2，则 ， 所以 例：。 解：设 u=lnx，则 ， 所以 例：，求 f（x）。 二、第二类换元法二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法。 过程 令 （应用“凑微分”即可求出

7、结果） 定理 2 设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数， 则有换元公式其中的反函数。 第二类积分换元公式 例：。 解：令 说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中 n 为各根指数的最小公倍数） 例：。 解：令 三角代换。 三角代换的目的是化掉根式。 一般规律如下：当被积函数中含有 （1）可令 x=asint； （2）可令 x=atant； （3）可令 x=asect。 例：求。 解：令 。 例：。 总结： 5.45.4 分部积分法分部积分法 一、基本内容一、基本内容 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则。 设函数 u=u（x）和 v=v（x）具有连续导数，

8、分部积分公式 例 1：求积分 解（一） 显然，u，v 选择不当，积分更难进行。 解（二） 指数函数 例 2： 例 3：求积分 总结： 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积， 就考虑设对数函 数或反三角函数为 u。 例 4：求积分 总结：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂 函数为 u, 使其降幂一次（假定幂指数是正整数） 例 5： 例 6： 例 7： 例 8：求积分 例 9：； 例 10：已知 f（x）的一个原函数是 两边同时对 x 求导，得 例 11：。 例 12： 例 13： 例 14： 例 15： 例 16：。 例 17：。 5.55.

9、5 微分方程初步微分方程初步 5.5.15.5.1 微分方程的定义微分方程的定义 1.微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。 例： 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。 2.常微分方程: 未知函数都是一元函数的微分方程 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶 例：（yy）3+3y4-xy=0； 一阶微分方程 高阶（n）微分方程 3.主要问题-求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之。 设在区间 I 上有 n 阶导数， 例 1：一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 M（x

10、,y）处的切线的斜率为 2x， 求这曲线的方程。 解：设所求曲线为 y=y（x） 其中 x=1 时，y=2。 即 y=x2+C，求得 C=1， 所求曲线方程为 y=x2+1。 4.微分方程的解的分类： （1）通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 例 y=y，通解 y=cex； y+y=0，通解 y=c1sinx+c2cosx； （2）特解：确定了通解中任意常数以后的解。 解的图象：微分方程的积分曲线。 通解的图象：积分曲线族。 初始条件：用来确定任意常数的条件。 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。 一阶：过定点的积分曲线； 5.5.25.5.2

11、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程。 例如 解 设函数 g（y）和 f（x）是连续的， 分离变量法 设函数 G（y）和 F（x）是依次为 g（y）和 f（x）的原函数，G（y）=F（x）+C 为微分 方程的解。 典型例题 例 2：求解微分方程的通解。 解：分离变量 两端积分 lny=x2+C1 y=cex2为所求通解。 例 3：求下列微分方程的通解： 解：作分离变量，得 两边积分，得 （把积分常数写成是为便于以后化简）。因此 ， 即（C0，是任意常数）。 这就是方程的隐式通解。 例 4：ylnxdx-xlnydy=0,y|x=e=1。 5.5.35.5.3 线性方程

12、线性方程 一阶线性微分方程的标准形式： 当，上方程称为齐次的；否则称为非齐次的。 一阶线性微分方程的解法。 1.线性齐次方程。 （使用分离变量法） 齐次方程的通解为。 2.线性非齐次方程。 即。非齐方程通解形式与齐方程通解相比：。 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法。 实质：未知函数的变量代换。 新未知函数原未知函数 y（x）, 作变换。 将 y 和 y代入原方程得积分得一阶线性非齐次微分方程的 通解为： 非齐次线性微分方程 例 5：。 例 6：。 5.65.6 定积分概念及其基本性质定积分概念及其基本性质 一、问题的提出一、问题的提出 实例 1 （求曲边梯形的面积） 曲边

13、梯形由连续曲线 y=f（x）（f（x）0）、x 轴与两条直线 x=a、x=b 所围成。 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。 曲边梯形如图所示，在区间a,b内插入若干个分点，a=x0x1x2xn-1xn=b，把 区间a,b分成 n 个小区间xi-1，xi，长度为xi=xi-xi-1；在每个小区间xi-1，xi上任取一 点（i）为高的小矩形面积为 Ai=f（i） xi 曲边梯形面积的近似值为 当分割无限加细， 即小区间的最大长度趋近于零时，曲边梯形面积为 。 二、定积分的定义二、定积分的定义 定义 设函数 f（x）在a,b上定义，在a,b中任意插入若干

14、个分点 a = 012 n-1n = b 把区间a,b分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点，作乘积，并作和，记，如果不论对a,b怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当 0 时，和S 总趋于确定的极限 I，我们称这个极限 I 为函数 f（x）在区间a,b上的定积分，记为 。 注意： （1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。 （2）定义中区间的分法和的取法是任意的。 （3）当函数 f（x）在区间a,b上的定积分存在时，称 f（x）在区间a,b上可积。 定理 1 函数 f（x）在区间a,b上可积的必要条件是 f（x）在a,b上有界。 定理

15、2 如果 f（x）是区间a,b上的连续函数，则 f（x）在区间a,b上可积。 定理 3 设函数 f （x） 在区间a,b上有界， 且只有有限个间断点， 则 f （x） 在区间a,b 上可积。 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值。 基本内容 对定积分的补充规定： （1）当 a=b 时，； （2）当 ab 时， 。 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。 定积分的性质 性质 1 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质 2 （k 为常数）。 性质 3 假设 acb 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何，上式总成立。

16、例：若 abc， （定积分对于积分区间具有可加性） 性质 4 性质 5 如果在区间a,b上 f（x）0，则 。（ab） 例 1. ； 性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f（x）在区间a,b上的最大值及最小值，则（此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2. 。 性质 5 的推论： （2） （ab） 说明：|f（x）|在区间a,b上的可积性是显然的。 性质 7（定积分中值定理） 如果函数 f（x）在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使。 由闭区间上连续函数的价值定理知。 5.75.7 微积分基本公式微积分基本公式 5.7.15.7.1 变上限积分及其导数公式变上限积分及其导数公式 设函数 f（x）在区间a,b上连续，并且设 x 为a,b上的一点，考察定积分如果上限 x 在区间a,