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1、粒子束发射度和亮度的物理概念程国均提要本文从粒子束的相空 间表示 法和刘维尔定理出发,介绍 了发射度和 亮度的物理概念,简单地讨论了束的发射度和相 空间密度分布的测量方 法。此外,对束输运 系统的接受 度也作了定性的说明。一、引言离子束的品质和离子源的性能,目前一般用两个相关的物理 量“发射度”和“亮度”来表征。这两个量被用来描述离子束在各种输运系统中的情况,并用来比较不同的离子源。在束输运 系统中,单个粒子的运动 轨迹没有什 么特 别 重要的意义,我们感兴趣的是束作为一个整体的特征。换言之,我 们把 位子束看成是需要考虑其集体性质的大量 粒子的集合。为了描写粒子束的微观运动状态,我们 引进一
2、组变数x,y,:,几,几,P x,用这组变数为坐标而作成一个六维空间。这个空间中的一点代表一个粒子的运 动状态:在某一时刻,当一x,一,、,一孙 P x一凡*,几一凡,凡一及时,这一点正好代表 在此 时刻的第i个粒子的运 动状态。因此这个六维空间是描写粒子的运 动状态的,可以叫做粒子 相空间(以下简称为相空间)。假如我 们把束中的所有N个粒子 在 同一时 刻的运动状态都在相空间中表示出来,那末相 空间中将同 时有N个点,每一点代表着一个粒子的运 动状态。这样,整个束的微观运 动状态可以由相 空间中N个代表点的分布来确定,这N个代表点在 相空间中的分布就 是束中所有N个粒子按它们的各自运 动状态
3、的分布。因此,粒子束就用相空 间中的一群点来代表。一股说架,随着时间变 化,粒子束将在三维空间中运动,其相应的一群代表点 也将在 相空间 中运动。这一群代 表点所遵守的运 动规律,就 是刘维尔定理:在保 守力作 用下,一群粒子 在相空间中的代表点之 密度在 运 动中不改变仁一2,。其数学表达 式是(1)*本文于19 7 9年3月8日【乞至21。一53一式中,p二p(x,z,Px,几,Pz,t)是代表点的密度。根据刘维尔定理,粒子束在相空 间中的一群代表点,象不可压缩灼流体那样,各 自独立地沿着哈密顿正 则方程所规定的轨道而运 动,随 着时间改变,这 一群代表点从相 空间中一个区域移到另外一个区
4、域,在新区域中代表点的密度等于在出发区域中的密度。由此可知,包含代表点的 区域的体积在运动中保持不变,但区 域的“形状”则可以变化。如果粒子在笛卡尔坐标系 的三个方向,o x,。万,o z上的运动是彼此独立的,则对六维相空 间中的每一个两维截面(x一P,),(y 一凡),(:一P:)说来,刘维尔定理 仍是成立的。在这些情况下,刘维尔定理 就简化为:在六维 相空 间的每个两维裁面 上,包含粒子代表点的区域的面 积在运动中不改变,尽管它 们的“形 状”在 运动中可能变化。由于我们使 用的是粒子相空间而不是 系统 相空间,所以必须假定:(i )束中 所有粒子 的性质都相 同,(i i)粒子之 间没有
5、相互作 用。(i i i)和 外界没有能 量 交换。因此,在下面的讨论 中,我们略去了粒子 之间的 空间 电荷力以及与自旋有关的效 应,也不考虑由于 辐射和散射所引起的能 量损失及束流损失2:。二、粒子束的发射 度由上所述,粒子束的相 空间 面积在运 动中是一不变 量,因而可用这个不变量来表征粒子束的品质。粒子 束发 射度 的概念,就是这样来的。设一粒子束绕o z轴旋传对称,在束的任一横截 面 上,考虑距。:轴r远处的任一粒子皿(图1)。由于在加 速器中的粒子束一般都是 经过准直的,因而粒 子轨道相对于。z轴的角偏向a是足够小,于是有dr尸,T一,一万石一一丁ga士a “了f之(2)图1.粒子
6、束的横截面, ,_,_。二,一_,。,。,二一一_,一、,、_一.、,、,一,d犷_,_.,._ _当束的轴向动量凡保持恒定时,我们可以用角偏 向犷二共牛*a置换只,因而我们可 一.、 ”一,曰.切一刀一r一J勺一 刁7“闪,J“/J/切犷四,d之一“/ 、一了,”J刁闪J一J以用位 移:和 角偏 向尹为坐标作成 平面(:一厂),代 替两 维相空间平面(:一P r ),而:和尹都是可直接观察的量。一54一我们进一步假设此旋转对称束的 轴 向运 动和横 向运动 间彼此独立,且轴向动量 尺保持恒 定。在 束的任一横截 面上的每一点M(:),都有很多轨道穿过此点(图Za ),这些轨道都 落在一 页角
7、为击扮的锥形体积 元内,其 平均斜率瑞对 称 轴。二间的夹角。故洽着 元 维体的轴的轨道在(:一厂)守少一,、匕。维体的轴与束平面 上的相应代 表点为c(?二,下、)。元;体的2,二顶角为一杏击扮,于是穿 过肥点且相 对于。z轴的角偏 向为最大的轨道 与;。/王轴的夹角为?扮+音“了沦,“(了!,T益十合乙r益)。故此轨道在 (,一犷) 平 面 上的相应代表点为丈丈曰 必夕荤荤立共其(a )束的横截面图(的束横截面的相 空间图图2.旋转对称束的横截面及相应的相空间图同样,穿过M点且 相对于“ 轴的角偏向为最小的轨道在:一厂平面 上的相 应代表点为“rM,了对一合“了动。连 接且点不口“点,可.
8、得 线段AB,c点恰是A“的中点 图2“,。线段AB代 表 了穿 过 粒子束横截 面M点处的所有 可 能轨道。相应于 场从一汽a,到、“的每一个值,我们都可 在:一厂平 面上 得到 这样一 条线 段,连结 这些 线段的端点,可得一条封闭曲线,曲线所 围的区域,即代表了穿过 粒子束横截面 上所要 研究的那 一部 分各点的所有可能轨道。因粒子束是旋转对称 的,此区域也就代表了穿过 整个粒子束横截面的所有可能轨道。换言 之,:一犷平面 上的这样一个图 形,代表了在所考查的粒子束横截面上的全部 粒子的所有可能运动的状态。根据 刘维尔定理,这样一个图形的面积 在束输运系统作 用下 应 保持不变,尽管其“
9、形状”可能 变化。用兀尹这个面积,所得 量 就是通 常所说的束的发射度3 。用凡 表示发射度,A,表示束的相空间面积,则有(3)式中,刀:的脚标2表示相空间是两维的,而因子二则是 由于发射度是对(no rmal场beam、定义的仁dl。所谓标 准束,就是 具有椭圆形相空l司的束气习。最小横截 面称 为束的腰部咬Wa ist)4习l上,相应的相空 间椭圆是 直立的,处处是倾斜的(图3)。“标准束 ,在标 准束的除此 之外则一55一图3.在无衡空间中,标准束的剖面和 有关的相空间图在这 种情况下,为方便起见,标准束的发射度就被定义为它的直立椭圆形相 空间的两半轴之乘积4;6,即有凡标准束一场哺(
10、4 )-.-.一一一、一.一一一rJ,_一,_,月_ 设式为标准束的椭圆形相空间的面积,则式一r 0临 于是有l 0一带,代入(4)式,可得一,A_心2;标准束一 r 0场-一二一滩这和(3 )式所给出的发射度的定义一致。发射度的单位一般是厘米毫弧度(Cmmra d) 或米弧度(mra d )。对非旋转 对称束而言,如果它 在o x,。万方向上的运 动彼 此独立,则我们可分别在径向方向o x和o y上 定义束的发射度凡; xd、J、卜IJ几.二和E2.,为:_刀二万一月.上2二=一万式中,月二和月,分别是束在(x一x ,) 和g一 万/) 平面 上的面积。如果束在 o x和叨 方向的运 动不是
11、 彼此独立的,则月:和月,将变化,但乘积凡人保持不变。因而可定义束的四维发射度E4为束的四维 相空 间体积被护除 6,一一一1 热“气气“下r几街,即有(6)二_、,P。当束的能 量 变 化 时,在 旋转 对 称束的情况卜既然7一万L气刁 式 ,7一六一扮,则只“7一、饥一C on s,即P z .,提一运 动常数,所以,为了比较能量不同的束的发射度,我们可以用一个正比于 轴向动量P:的因子乘以一5 6一所测得的发射度,以给出可以在能量不同的束之间迸行比较的运动 恒量。由此,我们定义束的归一化发射 度几、为凡, 一命及一器刀Z一口禹(7)式中,“一合,姚是粒子的轴 向速 度,c是光 速,阴。一
12、是 粒子的静止质量了一(1一吞,)一告。同样,在非旋转对称束的情况下,如果束在o x和四 方 向上的运 动彼此 独立,则 由 (5 )式可得束之归一化发射度为:、J8J了、1t .J凡,二,N一月了凡,二刀2,N一月了 刀2,如果束在 o x和o y方向上的运 动不是 彼 此独立的,归一化发射度为则 由(6 )式阳( 8 )式可得束之四维刃招,二一刀2,二五2,、一尸尸月二刀万2(9)在上 面的讨论中,我们假定束中粒子的分布是均匀的,相应的代表 点在 相空间区域中的分布也是均匀的,但对实际的粒子束说 来,粒子在相空间区域中的分布一般是不均匀的,例如,有人观察到,在典型 情况下,束中大约有9。%
13、 的粒子,其代表 点落在束的相空间区域的5 0 %以内7 。因此,在讨论束的发射度时,有必要考虑束的相 空间密度分布7一9。设一粒子束沿:轴传输,在:轴上相互之 间黝离为L的。点和。,点处,设置 了两对活动的交 叉狭缝,其中两个沿x轴的垂 直狭 缝都 被固定 在,一 。处,因此,所考查的粒子轨道被限制在(x ,劝卜。_平面上(图4 )。假定第一个水平狭缝位于x一x l,这就铃铃三三寻尸尸尸少-一消消 , , ,/, ,图4.用两对交又狭 缝法测量 粒子束的发射 度及相 空间 密度 分布一57一在束横截面上确定了一点M(x i,0 )。通过用第二水个平狭缝进行垂直扫描,可确定通过M点的所有粒子轨
14、道的角偏 向x。利用位于O点后的法 拉第筒,一 可以测出当x七气时,粒 子束相对 于角偏 向丫的流 强分布I(从,丫):一。,一。I(x i,x ,)二一。,一。的两个零点则确 定了通过M点的粒子轨道的角偏 向的范围,换言之,I(从,x ),一。,一。的两个零点在 (x一x ,) 平面上确定了束的相空间区域的两个边界点。相应于x从0到 c o区间内的每一个值,都可确定这样一个函数,因而函数族双x,x ,)卜。,_。的零点在 (x一x ,)平面上确定了束的相 空间区域的边界。又,假如在x一x i处,固定I(x、,x ,),一。,_。为不等于0的任何一个值,可在(x一x ,) 平面 上确定两个点(
15、x,城) 和 ( x、,减),相应于x从0到c o区间 内的每一值,都可确定这样两个点,把 这些 点连接起来,就得到了I(x,x ,),一。,甸的一条等值线。这条等值线所围的面积 即代表束流的一定部分I户,:I:_呵,(x,x);一。,_。dxl f,一磕 丁d xJ二。彭 I(x,x,),一。,一。dx,用这种方法,可获得I(x,x ,),一。,一。的一族等值线,其中每一条 线所围的面积都代表粒子束的一定部分。通常,仅把总束流中的90%定义为“有用束”(theus efulbeam)。由 (10)式,使几一9 0写气的I( x,x ,漏,一。的等 值线所决定的 相空 间面积,再除以毛即是有用
16、束的发射度。习惯上,就把有用束的发射度定义为整个束的发射度 s .l 0 。由上所述,若整个束的流强为I总,其相应的发射度为气,则我们能够确定与流强袄=Kl总(K凡,则从 图5可 找出万订五怠所对应的i又 /I息,从而立刻就能推算出在束输运系统中真正有用的那部分流 强必”。甸 l z t-.目. .口.一山.,.健立, 二j叭图5。袄与EK的关系相 空间的概念在确定束输运系统的性质时也是十分有用的。束输运系统所能传输的最大相空间 面积,称为系统的“接受度”(a cce Pt an ce)。接受度的精确形状和大小,取决于系统的性质以及作用在粒子 上的力(若有的话)。如果东统的接受度小于进入这个一5宕一系统的束的发射度,则受到系 统传输的将只有其 相空间代表 点落在接 受度内的那部分束;另一方面,如 果束的
