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1、1电磁学习题讨论课电磁学习题讨论课3 稳恒电流、稳恒电流、稳恒磁场和磁力稳恒磁场和磁力2求：求：（1）两介质中的电流密度和电场强度。（）两介质中的电流密度和电场强度。（2）介质分界面上的）介质分界面上的总电荷面密度总电荷面密度 e和和自由自由电荷面密度电荷面密度 e0 。1. 在平行板电容器内填充在平行板电容器内填充两层两层导电导电介质介质， 厚度、介电常数和电导率分别为（， 厚度、介电常数和电导率分别为（d1, 1, 1 ） 和（） 和（d2, 2, 2 ），设电容器两端电压为），设电容器两端电压为 U 。1 2 1 2 d1d2U稳恒电流和静电场的综合求解稳恒电流和静电场的综合求解31 2
2、 1 2 d1d2U解：解： （1）根据对称性和界面关系可知两介质 中的电流密度相等：）根据对称性和界面关系可知两介质 中的电流密度相等：jjj=21电场强度：电场强度：22 11, jEjE=电压关系：电压关系：2211dEdEU+=4解得：解得：Uddjjj122121 21 +=UddEUddE12211 2 12212 1, +=+=（2）在界面选扁柱面作为高斯面）在界面选扁柱面作为高斯面 S ：对此高斯面分别用和的高斯定理有：对此高斯面分别用和的高斯定理有：ErDr1 2 S1Er2Er5UddEEe 1221210 120)()( +=120DDe= 1122EE =Udd1221
3、2112 +=)(1d0 0内内qqsES+=vvnP=vEPrvr)1(0= ALSO1 2 S1Er2Er在界面选扁柱面作为高斯面在界面选扁柱面作为高斯面 S投影分量的正方向：投影分量的正方向：E( (E都是大小都是大小0) )62(P83/1).真空中，两无限长载流导线平行放置，电流等值反向。求真空中，两无限长载流导线平行放置，电流等值反向。求: 磁感强度对如图所示的回路磁感强度对如图所示的回路L1 、L2 、L3的环流， 并讨论：的环流，并讨论： 回路回路L1上各点的磁感强度上各点的磁感强度大小大小是否相同？是否相同？ 回路L回路L3 3上的各点磁感强度的值是否处处为零？上的各点磁感强
4、度的值是否处处为零？III=211L2L3L7解答：磁感强度对三个回路的环流分别是：解答：磁感强度对三个回路的环流分别是：0,32100= LLLl dBIl dBIl dBvvvvvr讨论：讨论： 回路回路L1上各点上各点 B值 不相同；值 不相同； 本题中，回路本题中，回路L3上各点上各点 B值处处不为零。 各点磁感强度是空间所有电流共同产生的。值处处不为零。 各点磁感强度是空间所有电流共同产生的。1L2L3L1IBv2IBvP如如P点的磁感强度点的磁感强度21IIBBBvvv+=83.3.载流圆环电流的场中，如果沿载流圆环轴线为积分路径，可以算出，载流圆环电流的场中，如果沿载流圆环轴线为
5、积分路径，可以算出，= +=I xaIdxal dB0 23222 0)(2vvIax如果取如图回路如果取如图回路L，这个结果与安培环路 定理的积分，这个结果与安培环路 定理的积分Il dBL0=vv一样，试解释之。一样，试解释之。L9解答：解答：1) 与该回路套连的电流只有圆电流与该回路套连的电流只有圆电流 I，所以由安培环路定理必得此结果。，所以由安培环路定理必得此结果。IaxLIl dBL0=vv102)从题中给的积分路径看，积分从负无穷到正无穷，可以构筑一无限大回路，如下图，从题中给的积分路径看，积分从负无穷到正无穷，可以构筑一无限大回路，如下图，L的的ABC部分离圆电流均无限远。部分
6、离圆电流均无限远。在无限远处磁感强度已为零在无限远处磁感强度已为零，所 以，看似是一个开放的路径，实际上可看成闭合路径所 以，看似是一个开放的路径，实际上可看成闭合路径 L。所以，两者积分相同。所以，两者积分相同。+= +LxaIdxaxaIdxa23222 023222 0)(2)(2IaxLABC11问题：如图，如果问题：如图，如果L的的ABC部分离圆电流不是无限 远。怎么去定性分析？部分离圆电流不是无限 远。怎么去定性分析？+= +LxaIdxaxaIdxa23222 023222 0)(2)(2IaxLABC124.4.(类似辅导P79/1)(类似辅导P79/1)一长直电流一长直电流I
7、 I 在平面内被弯成如 图所示的形状，在平面内被弯成如 图所示的形状，IIIo1R2Rabcdef其中直其中直电流 ab和cd电流 ab和cd的延长线过的延长线过o o电流bc电流bc是以是以o o为圆心、以为圆心、以R R2 2 为半径 的1/4圆弧。为半径 的1/4圆弧。电流de电流de是以是以o o为圆心、以为圆心、以R R1 1为半径的 1/4圆弧直为半径的 1/4圆弧直电流ef电流ef与圆弧电流de在e点相切求：场点与圆弧电流de在e点相切求：场点o处的磁感强度。处的磁感强度。Bv13IIIo1R2Rabcdef解：场点解：场点o处的磁感强度是由五段特殊形状电流产生的场的叠加， 即处
8、的磁感强度是由五段特殊形状电流产生的场的叠加， 即efdecdbcabBBBBBBvvvvvv+=由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是00=cdab BB20 241 RIBbc=方向：?方向：?=10 241 RIBde=10 221 RIBef+=201010 848RI RI RIB vdBIdlr rrr= 0 24$145 5(P86/4)(P86/4).通电导体的形状是：在一半径为R的无限 长的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方向 挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。.通电导体的形状是：在一半径为R的无限 长的导体圆柱内，在距柱
9、轴为 d 远处，沿轴线方向 挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。ooRrdJv导体内均匀通过电流，电流密度导体内均匀通过电流，电流密度JvJv求：小圆柱空腔内一点的磁感强度求：小圆柱空腔内一点的磁感强度分析分析：由于挖去了一个小圆柱， 使得电流的分布：由于挖去了一个小圆柱， 使得电流的分布失去失去了了对轴线的 对称性对轴线的 对称性，所以无法整体用安培回 路定理求解但，可以利用，所以无法整体用安培回 路定理求解但，可以利用补偿法补偿法，使电流恢 复对轴线的对称性。使电流恢 复对轴线的对称性。15ooJvdv1rr2rv解：设想在小圆柱内存在均匀的解：设想在小圆柱内存在均匀的等值反向等值反
10、向的电流，电流密度值等于的电流，电流密度值等于J，与通电导体电流方向一致的电流与导体构成均匀分布的大圆柱电流与通电导体电流方向一致的电流与导体构成均匀分布的大圆柱电流，这样。空间的场就可以看作是：，这样。空间的场就可以看作是：两个均匀的圆柱电流产生场的叠加。两个均匀的圆柱电流产生场的叠加。设，场点对大圆柱中心设，场点对大圆柱中心o的位矢为的位矢为1rv场点对小圆柱中心场点对小圆柱中心o的位矢为的位矢为2rv16ooJvdv1rr2rv222010JrBJrB=小圆柱大圆柱由安培环路定理分别求得两个 圆柱电流产生场的由安培环路定理分别求得两个 圆柱电流产生场的大小大小是是考虑磁感强度的方向考虑磁
11、感强度的方向，两个磁感 强度分别写成：，两个磁感 强度分别写成：20 10)(22rJBrJBrrvvvv=小圆柱大圆柱)(2210rrJBvrvv=如果引入如果引入ood=vdJBvvv=20结果说明：结果说明：该场均匀，该场均匀，方向：方向：在截面内垂直两柱轴连线在截面内垂直两柱轴连线Bv176(教材教材P151/18.23).一一无限长无限长薄壁金属圆筒，沿轴向均 匀通有电流，薄壁金属圆筒，沿轴向均 匀通有电流，面电流密度面电流密度为为j，求：，求：1)邻近表面邻近表面处的磁 感强度；处的磁 感强度；2)薄壁薄壁单位单位面积电流受的磁力大小及方向。面积电流受的磁力大小及方向。jvjv解：
12、1) 由解：1) 由安培环路定理安培环路定理得，邻近表面 处的磁感强度是：得，邻近表面 处的磁感强度是：圆筒内一点圆筒内一点B = 0，B = 0，圆筒外一点圆筒外一点jRRjB00 22=R方向如图示方向如图示BvBv2)取宽度为取宽度为dx、长为、长为 dy的面元的面元dxdy电流强度是电流强度是 j dx18首先需求，在首先需求，在面元电流面元电流附近附近，面元电流之外的其余电流产生的磁感强度，面元电流之外的其余电流产生的磁感强度圆筒外侧圆筒外侧，面元电流自己产生的磁场强度是，面元电流自己产生的磁场强度是20jB=对场点来讲对场点来讲，面元电 流视为，面元电 流视为无限无限大面电流大面电
13、流 方向与合场相同方向与合场相同同样，同样，圆筒内侧圆筒内侧，面元电流自己面元电流自己产生的磁感强 度也是产生的磁感强 度也是根据根据叠加原理叠加原理得其余电流产生的磁感强度是得其余电流产生的磁感强度是20jB=其余方向如图方向如图20jB=其余Bv其余BvjvjvRdxdy方向与方向与B其余其余相反。相反。jB0外=邻近表面19其余电流在面元电流出产生的磁感强度方向如图其余电流在面元电流出产生的磁感强度方向如图其余BvjvjvRdxdy其余Bv其余Bv其余Br20jB=其余总结总结面元电流自己在两侧面元电流自己在两侧产生的磁感强 度大小相图，方向相反产生的磁感强 度大小相图，方向相反20jB
14、=(无限大面电流磁场)(无限大面电流磁场)符合符合邻近表面处的总磁感强度：邻近表面处的总磁感强度：圆筒内一点圆筒内一点B = 0，圆筒外一点圆筒外一点jRRjB00 22=20面元电流视为面元电流视为电流元电流元ydjdxv)(处在外场中，由安培定律，得处在外场中，由安培定律，得电流元电流元所受磁力所受磁力其余Bydjdxf dvvv=)(2)(0jdyjdxdf=指向柱轴(收缩力)指向柱轴(收缩力)f dv其余Bv其余BvjvjvRdxdy20jB=其余21则单位面元受力为：则单位面元受力为：22 0j dxdydf=收缩磁力收缩磁力注意：注意：视具体问题合理使用模型同样是视具体问题合理使用
15、模型同样是面元电流面元电流，在计算，在计算它在附近场点它在附近场点产生的场时将其视为产生的场时将其视为无限大载流平面无限大载流平面；而在计算其受力时，又将其视为；而在计算其受力时，又将其视为电流元电流元。同样都是合理的。同样都是合理的。227.试证明不存在7.试证明不存在下述形式的磁场下述形式的磁场rrfB)v)(=r)；r方向的单位矢量 证明：如图；r方向的单位矢量 证明：如图, 设磁场以设磁场以O点为球对称分布，在场中 取一以点为球对称分布，在场中 取一以O为中心的球面为中心的球面(高斯面高斯面)，orSBvrdSSd)v=SSrdSrrfSdB)vv)(=SSdSrfdSrf)()(04)(2=rrf与高斯定理与高斯定理0= SSdBvv 矛盾矛盾23本题知识点：本题知识点：只要是磁场必须满足磁场的性质方程；或说，判断某种场只要是磁场必须满足磁场的性质方程；或说，判断某种场是否是磁场，必须用看它是否满足磁场的性质方程是否是磁场，必须用看它是否满足磁场的性质方程=ii LSIl dBSdB内00vvvv24（书（书P129 思思17.
