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1、 第 1 页 共 14 页 三角函数三角函数总结总结 一、角的概念和弧度制：一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的 终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）与角终边相同的角的集合：,2|,360|0ZkkZkk或 与角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与角终边关于x轴对称的角的集合： ； 与角终边关于y轴对称的角的集合： ； 与角终边关于xy 轴对称的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边
2、在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： 象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； 写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角：）正确理解角： 要正确理解“oo900间的角”= ； “第一象限的角”= ； “锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由的终边所在的象限，通过 来判断2所在的象限。来判断3所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角的弧度数的绝对值rl |，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）
3、弧长公式：）弧长公式： ；半径公式：；半径公式： ； 扇形面积公式：扇形面积公式： ； x y O x y O 第 2 页 共 14 页 二、任意角的三角函数：二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP，点P到原点的距离记为r，则sin ；cos ；tan ；cot ；sec ；csc ； 如：角的终边上一点)3,(aa ，则sin2cos 。注意注意 r0 （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线； 比较比较)2, 0(x，xsin，xtan，x的大小关系：的大小关系： 。 （3）
4、特殊角的三角函数值： 0 6432 23sin cos tan cot 三、同角三角函数的关系与诱导公式：三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 （2）诱导公式： k2： ， ， ； ： ， ， ； ： ， ， ； ： ， ， ； 2： ， ， ； x y O a x y O a x y O a y O a 平方关系 sin2+ cos2=1， 1+tan2=2cos1， 1+cot2=2sin1倒数关系 tan cot=1 商数关系 cossin=tan 第
5、 3 页 共 14 页 2： ， ， ； 2： ， ， ； 23： ， ， ； 23： ， ， ； 诱导公式可用概括为： 2K,-,2,23的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数 作用：作用：“去负“去负脱周脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即利用三化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角函数的周期性将去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间任意角的三角函数化为角度在区间00o o,360,360o o) )或或00o o,180,180
6、o o) )内的三角函数内的三角函数脱周；利用诱导公脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐化锐. . （3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用： 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。 求任意角的三角函数值。 步骤： 已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个 步骤： 确定角所在的象限； 如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对 应的锐角1； 根据角所在的象限，得出20间的角如果适合已知条件的角在第二限；则它
7、是1；如果在第三或第四象限，则它是1或12； 如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。 如mtan， 则s i n ，cos ；)23sin(；)215cot(_。 注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度： （注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度： （3 3，4 4，5 5） ； （） ； （6 6，8 8，1010） ； （） ； （5 5，1212，1313） ； （） ； （8 8，1515， 1717） ；） ； 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 0o360o角的 三角函数 求值 公式三、一 公式一 0o90o角的 三角函数
8、公式二、 四、五、 六、七、 八、九 第 4 页 共 14 页 四、三角函数四、三角函数图像和性质图像和性质 1 1周期函数定义周期函数定义 定义定义 对于函数( )f x，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()( )f xTf x都成立，那么就把函数( )f x叫做周期函数周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期周期 请你判断下列函数的请你判断下列函数的周期周期 xysin xycos |cos|xy |cos xy |sin|xy y=tan x y=tan |x| y=|tan x| |s in xy 例例 求函数 f(x)=3sin )35(xk()0k的周
9、期。并求最小的正整数 k,使他的周期不大于 1 注意 理解函数周期这个概念， 要注意不是所有的周期函数都有最小正周期， 如常函数f(x)c（c为常数） 是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期 结论：如函数结论：如函数)()(kxfkxf对于对于Rx任意的，那么函数，那么函数 f(x)f(x)的周期的周期 T=2k; T=2k; 如函如函数数)()(xkfkxf对 于对 于Rx任意的， 那 么 函 数， 那 么 函 数f(x)f(x) 的 对 称 轴 是的 对 称 轴 是第 5 页 共 14 页 kxkkxx2)()(2 2图像图像 3 3、图像的平移图像的平移 对函数yAsin(x
10、)k (A0, 0, 0, k0) ,其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短 (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长 (3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的0,左移；0，右移 第 6 页 共 14 页 (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移 四、三角函四、三角函数公式：数公式： 五、三角恒等变换：五、三角恒等变换： 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三 角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：
11、 （1）角的变换）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和 差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的 变形如：变形如： 2是是的二倍；的二倍；4是是2的二倍；的二倍；是是2的二倍；的二倍；2是是4的二倍；的二倍；3是是23的二倍；的二倍；3是是6的二倍；的二倍；22是是4的二倍。的二倍。 两角和与差的三角函数关系 sin()=sin coscos sin cos()=cos cossin sin tantan1tantan)tan(倍角公式 sin2=2sin cos cos2=cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2 2tan1tan22tan 和差化积公式 sin+sin= 2cos2sin2
