第第 1 页页 第一讲 幻方 第一讲 幻方 【知识要点】 在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 1～9 这九个连续的自然数，使每行、 每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方 如果在在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 1～9 这九个连续的自然数，使每行、 每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方 如果在44×（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44×方格内填上 16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方 一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上 n×n 个连续自然数， （注意这些 连续自然数不一定非要从 1 开始） ，每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的 n 个自然数和均相 等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做 n 阶幻方 中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数 任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于 n (n方格内填上 16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上 n×n 个连续自然数， （注意这些 连续自然数不一定非要从 1 开始） ，每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的 n 个自然数和均相 等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做 n 阶幻方 中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数 任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于 n (n2 2 +1) ÷2 幻和=总和÷阶数 幻积=中间数的 3 次方1) ÷2 幻和=总和÷阶数 幻积=中间数的 3 次方 二、幻方的特征： 1、对称性 2、轮换性 三、幻方的种类： 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方 （1）单偶数阶幻方，阶数是 2 的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是 4 的倍数，形如：2n+4 二、幻方的特征： 1、对称性 2、轮换性 三、幻方的种类： 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方 （1）单偶数阶幻方，阶数是 2 的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是 4 的倍数，形如：2n+4 四、幻方的构造方法 1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方） 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 四、幻方的构造方法 1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方） 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 第第 2 页页 九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足 2、罗伯法 适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方 口诀： 1居下行正中央，依次斜填切莫忘； 下出框时往上写，左出框时往右放； 排重便往上格填，左下排重一个样 3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方） 要点，构造五阶具体操作： (1)九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足 2、罗伯法 适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方 口诀： 1居下行正中央，依次斜填切莫忘； 下出框时往上写，左出框时往右放； 排重便往上格填，左下排重一个样 3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方） 要点，构造五阶具体操作： (1) 画图:构造楼梯 (2)画图:构造楼梯 (2) 按顺序填数（数字按顺序斜排） (3)按顺序填数（数字按顺序斜排） (3) 平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻方就平移几个格。
4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方 总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂但因为四阶阶数不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法 平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻方就平移几个格 4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方 总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂但因为四阶阶数不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法 第第 3 页页 【典型例题】 【典型例题】 例题 1：请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４ 基本型三阶幻方的幻和是１５幻和增加了２４－１５＝９， 每个数应该增加９÷３＝３ 三阶幻方的基本型的拓展： 每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３ 幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！ 例题 2：在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于 18. 2 5 例题 3：请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方 这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好： １１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７ １、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９ （１）先写出基本型 （２）再对应的数填在对应的位置。
例题 4：小华需要构造一个 3×3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等； 现在他已经填入了 2、3、6 三个数（右图） ，那么小华的乘积魔方构造完毕后，x 等于________ 方法一：老师讲过幻和，也讲过幻积，但幻积不是重点，如果知道幻积和中间数的关系，题目就简单了， 幻积=中间数的 3 次方 幻积=6例题 1：请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４ 基本型三阶幻方的幻和是１５幻和增加了２４－１５＝９， 每个数应该增加９÷３＝３ 三阶幻方的基本型的拓展： 每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３ 幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！ 例题 2：在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于 18. 2 5 例题 3：请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方 这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好： １１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７ １、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９ （１）先写出基本型 （２）再对应的数填在对应的位置 例题 4：小华需要构造一个 3×3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等； 现在他已经填入了 2、3、6 三个数（右图） ，那么小华的乘积魔方构造完毕后，x 等于________。
方法一：老师讲过幻和，也讲过幻积，但幻积不是重点，如果知道幻积和中间数的关系，题目就简单了， 幻积=中间数的 3 次方 幻积=63 3，2·3·x=6，2·3·x=63 3，所以 x=36 方法二：我再给出一种不用列方程的方法，不用求出来右边竖列的 3 个数， 中间竖列的 3 个数是可求的 （下图） 从 B 看对角线和横行，有：2×6=3×j，j=4 从 A 看对角线和横行，有：3×6=2×i，i=9 如图所示 这样，就有 2·x·3 = 9×6×4，所以 x=36 ，所以 x=36 方法二：我再给出一种不用列方程的方法，不用求出来右边竖列的 3 个数， 中间竖列的 3 个数是可求的 （下图） 从 B 看对角线和横行，有：2×6=3×j，j=4 从 A 看对角线和横行，有：3×6=2×i，i=9 如图所示 这样，就有 2·x·3 = 9×6×4，所以 x=36 第第 4 页页 【习题：】 【习题：】 1、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方 2、把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？ 3、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８。
（1） （2） （3） 4、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方 5、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方， （4） （5） 6、小华需要构造一个 3×3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在 他已经填入了 2、4、8 三个数（如下图） ，那么小华的乘积魔方构造完毕后，x 等于________ 1、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方 2、把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？ 3、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８ （1） （2） （3） 4、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方 5、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方， （4） （5） 6、小华需要构造一个 3×3 的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在 他已经填入了 2、4、8 三个数（如下图） ，那么小华的乘积魔方构造完毕后，x 等于________。