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1、09 级毕业论文答辩稿级毕业论文答辩稿辅助函数在数学中的应用辅助函数在数学中的应用学 号： 组 别： 内容提要内容提要高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，在数学中的应用是非常 重要的.当我们遇到特殊的题目时，用常规方法可能比较复杂.这时我们就需要构造 辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.因此，学习构 造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的.本论文是从证明定理与解题两方面 分别来阐述辅助函数的作用，通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用.关键词：辅助函数 定理 证明AbstractSummary：The auxiliary function is
2、 applied to higher mathematics as adding auxiliary line in geometry. Its applications of mathematics is very important. Use the conventional method may be complicated when we encounter special problems. Then we can construct the auxiliary function like a bridge do not need a lot of algorithm to get
3、the result. Therefore, it is very helpful for us to study the structure of auxiliary function to prove and solve problem. This paper expounds the application of auxiliary function respectively from two aspects of theorem proving and problem solving. Through this paper we will know better in mathemat
4、ics. Keywords: auxiliary function theorem testify 目录目录 一、 绪论.1 二、 辅助函数在定理证明中的应用.1 (一) 构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式 .1 (二) 构造辅助函数证明泰勒公式 .2 (三) 构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 .4 三、 辅助函数在解题中的应用.5 (一) 构造辅助函数证明恒等式 .5 (二) 构造辅助函数证明不等式 .7 (三) 构造辅助函数讨论方程的根 .9 (四) 构造辅助函数证明中值问题 .10 (五) 构造辅助函数求极限 .11 四、 总结.12参考文献.13后记.13辅助函数在数学中的应用辅助函数在数
5、学中的应用一、一、 绪论绪论辅助函数是一种让我们更好的，更简单的学习数学知识的方法，.我在本文讨论了 一下辅助函数的应用，发现它在数学中的应用是非常广泛的.我们学习数学不只是探索 与发现，还有找到最简单的方法解决问题，本文主要内容是关于一些定理的证明，如 牛顿-莱布尼兹公式的证明，泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明.这三个定理是 我们在学习数学过程中经常用到的，掌握它们的证明非常关键.当然它们的证明有很多 方法，这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明.另外还有关于解题时运用构造辅 助函数的方法，有关于不等式的证明，恒等式的证明等.我们可以知道在解题方面，辅 助函数也是比较适用的，本文就辅
6、助函数的构造举例来说明.二、二、 辅助函数在定理证明中的应用辅助函数在定理证明中的应用(一)构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使 得定积分的计算更加简洁和完善，关于它的证明是我们必需要掌握的，学好牛顿-莱布 尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.定理定理 1 若在上是连续的，且是在上的一个原函数，( )f x, a b( )F x( )f x, a b那么( )( )( )baf t dtF bF a分析分析 首先我们来构造辅助函数，现在，我们来研究这个( )( )xaxf t dt函数的性质.(
7、)x我们定义函数，那么连续，若连续，则有( )( )xaxf t dt( )x( )f x.( )( )xf x证明：让函数获得一个增加的量，则对应的函数增量( )xx( )( )( )( )xxxaaxxxxf t dtf t dt 那么可以根据区间的可加性，( )( )( )xxxxxaaxf t dtf t dtf t dt假设、分别是在上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一mM( )f x, a b中值定理，则存在实数，使得 ,m M( )xxxf t dtx当连续时，存在，使得( )f x( ,)x xx ( )f于是当趋近于 0 时，趋近于 0，即是连续的.x( )x若连续，当，
8、则( )f x0x x( )( )ff x. 0lim( ) xf xx 从而我们得出( )( )xf x现在，我们来证明牛顿-莱布尼兹公式.证明证明 我们在上面已经证得，所以，( )( )xf x.( )( )xCF x显然，（因为积分区间为，故面积为 0） ，所以.( )0a, a a( )F aC于是有, ( )( )( )xF xF a当时xb.( )( )( )bF bF a此时，我们就得到了牛顿-莱布尼兹公式. 证毕. (二)构造辅助函数证明泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式，在函 数某一点的各阶导数值已知的情况下，泰勒公式可以将这些导数值的
9、相应倍数作系数 构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来 直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日 余项型）.定理定理 2 若函数在开区间有直到阶导数，则当函数在此区间内时，( )f x, a b1n可以展开为一个关于的多项式和一个余项的和，即 0()xx分分( ) 2000 0000()()()( )()()()()1!2!n n nfxfxfxf xf xxxxxxxRn析析 我们知道， 000( )()+ ()()f xf xfxxx那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理，得到 0000lim()()() xf x
10、xf xfxx 当，则时，误差.因此，在近似计算时时不够精确，lim0x 0limxx0那么我们就需要构造一个足够精确的能把误差估计出来的多项式，这个多项式是2 010200( )()()()nnP xAA xxA xxA xx来近似表示函数，并且，还要写出误差的具体表达式.这时，我( )f x( )( )f xP x们开始证明.证明证明 设函数满足， ( )P x00()()P xf x 00()()P xfx 00()()P xfx，依次求出( )( ) 00()()nnPxfx012,nA A AA显然，则；00()P xA00()Af x,； 01()P xA 10()Afx， 02(
11、)2!P xA 0 2()=2!fxA,;( ) 0()!nPxnAn( ) 0() !nfxAnn至此，这个多项式的各项系数都已经求出，得( ) 200 00000()()( )()()()()()2!n nfxfxP xf xfxxxxxxxn接下来，我们需要求出误差的具体表达式.设，则 ( )( )( )nR xf xP x000()()()0nR xf xP x故得出( ) 0000()()()()0n nnnnR xRxRxRx由柯西中值定理可以得到，. 01 11 0010( )( )()( ) ()()0(1)()nnnn nnnR xR xR xR xxxxnx 10(, )x
12、 x继续使用柯西中值定理得， 102 1 102( )()() (1)()0(1)()nnn nnRRxR nxn nx 这里在与之间；连续使用此后，得出210x1n，(1) 2 1 0( )() ()(1)!n nn nR xR xxn但是，因为，(1)(1)(1)( )( )( )nnn nRxfxPx ( )!nPxnAn是一个常数，所以，!nAn(1)( )0nPx于是得.(1)(1)( )( )nn nRxfx综上所述，余项，(1) 1 0( )( )()(1)!n n nfR xxxn 这样，泰勒公式得证. (三)构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，
13、也是柯西中值定理的特殊情况.它的应用非 常广泛，像洛必达法则，泰勒展开式都是它的应用.对于它的证明，我们知道有很多的 方法来证明它，现在我们做辅助函数来证明.定理定理 3 设函数在上连续，在内可导，则在至少存在一点( )f x, a b, a b, a b，使得( )( )( )f bf afba分析分析 从结论中可以看出，若将换成变量，则可得到一阶微分方程x( )( )( )f bf afxba其通解为.( )( )( )f bf af xxCba若将函数变为函数，那么得到一个辅助函数，Cx( )C x.( )( )( )( )f bf aC xf xxba现在我们来开始证明 证明证明 做辅助函数，( )( )( )( )f bf aC xf xxba有.( )( )( )( )bf aaf bC aC bba则满足罗尔定理的三个条件，故在至少存在一点使( )C x, a b
