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1、第一章第一章第一章第一章 概率论基础概率论基础概率论基础概率论基础? ?1.1 1.1 概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量概率公理与随机变量? ?1.21.2多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量多维随机变量与条件随机变量? ?1.3 1.3 随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数随机变量的函数? ?1.4 1.4 数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望数字特征与条件数学期望? ?1.5 1.5 特征函数特征函数特征函数特征函数? ?1.6 1.6 典型分布典型分布典型分布典型分布? ?1.7 1.7
2、随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验随机变量的仿真与实验成都信息工程学院电子工程学院11.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量? ?定义定义定义定义 在某些情况下，随机实验的基本可能实在某些情况下，随机实验的基本可能实在某些情况下，随机实验的基本可能实在某些情况下，随机实验的基本可能实 验结果验结果验结果验结果经过两个或两个以上的实函数经过两个或两个以上的实函数经过两个或两个以上的实函数经过两个或两个以上的实函数 映射，得到两个或两个以上的随机变映射，得到两个或两个以上的随机变映射，得到两
3、个或两个以上的随机变映射，得到两个或两个以上的随机变 量，比如量，比如量，比如量，比如，这些随，这些随，这些随，这些随 机变量组成的向量称为机变量组成的向量称为机变量组成的向量称为机变量组成的向量称为n n维随机变量（或维随机变量（或维随机变量（或维随机变量（或 向量）向量）向量）向量）：()12( ),( ),.,( )nXXX( )( ),1,2, )iX sXin=?成都信息工程学院电子工程学院2n n维随机变量（或向量）维随机变量（或向量）维随机变量（或向量）维随机变量（或向量）1.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随
4、机变量随机变量1122iiX1()X2()Xi()X X1()多维映射1()多维映射X X2()2()X Xi()i()成都信息工程学院电子工程学院31.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量? ?二维随机变量的概率分布函数二维随机变量的概率分布函数二维随机变量的概率分布函数二维随机变量的概率分布函数 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量Z Z的概率分布函数是其分量随的概率分布函数是其分量随的概率分布函数是其分量随的概率分布函数是其分量随 机变量机变量机变量机变量X X与与与与Y Y 的联合概率分布函数
5、。其定义的联合概率分布函数。其定义的联合概率分布函数。其定义的联合概率分布函数。其定义 为为为为 ：这里，这里，这里，这里，X X或或或或Y Y的概率分布函数的概率分布函数的概率分布函数的概率分布函数或或或或称称称称 为为为为的的的的边缘概率分布函数边缘概率分布函数边缘概率分布函数边缘概率分布函数。( )( , ),ZXYFzFx yP Xx Yy=( )XF x( )YF y ( , )XYFx y成都信息工程学院电子工程学院4二维随机变量的概率分布二维随机变量的概率分布二维随机变量的概率分布二维随机变量的概率分布 函数函数函数函数yxXx,Yy成都信息工程学院电子工程学院5联合概率分布函数
6、联合概率分布函数联合概率分布函数联合概率分布函数F FXYXY(x,y(x,y) )的的的的 性质性质性质性质? ?性质性质性质性质1 1：区间概率特性：区间概率特性：区间概率特性：区间概率特性? ?性质性质性质性质2 2：极限取值特性：极限取值特性：极限取值特性：极限取值特性,( , )( , )( , )( , )P aXb c YdF b dF b cF a dF a c=+(,),1 (,),0 (, )0( ,)0FP XY FP XY FyF x+ + = + + = = = = = 成都信息工程学院电子工程学院6联合概率分布函数联合概率分布函数联合概率分布函数联合概率分布函数F
7、FXYXY(x,y(x,y) )的的的的 性质性质性质性质? ?性质性质性质性质3 3：单调递增性：单调递增性：单调递增性：单调递增性? ?性质性质性质性质4 4：边缘概率分布：边缘概率分布：边缘概率分布：边缘概率分布( , )xyF x y 是 、 的单调非减函数( ,)( )(, )( )XYXXYYFxFxFyFy+ =+=成都信息工程学院电子工程学院7二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函 数数数数f fXYXY(x,y(x,y) )? ?定义：二维随机变量的概率密度函数定义：二维随机变量的概率密度函数定义：二维随机变量的概率密
8、度函数定义：二维随机变量的概率密度函数 二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量Z Z的概率密度函数，就是其分量随的概率密度函数，就是其分量随的概率密度函数，就是其分量随的概率密度函数，就是其分量随 机变量机变量机变量机变量X X和和和和Y Y的联合概率密度函数或简称二维概率的联合概率密度函数或简称二维概率的联合概率密度函数或简称二维概率的联合概率密度函数或简称二维概率 密度函数。密度函数。密度函数。密度函数。这里，这里，这里，这里，X X或或或或Y Y的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数或或或或称为称为称为称为 的的的的边缘概率边缘概率边缘概率边缘概率密度密度密度
9、密度函数函数函数函数( (marginal marginal probability density functionprobability density function) )。2 ( )( , )( , )( , )ZXYfzfx yf x yF x yx y= ( )Xf x( )Yf y ( , )XYfx y成都信息工程学院电子工程学院8二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函 数数数数f fXYXY(x,y(x,y) )的性质的性质的性质的性质? ?性质性质性质性质1 1：区间概率特性：区间概率特性：区间概率特性：区间概率特
10、性? ?性质性质性质性质2 2：非负性：非负性：非负性：非负性( )(, ,(, ( , )( , )( , )( , )xyDP Xx YyF x yf x y dxdyP X YDf x y dxdy = ( , )0XYfx y 成都信息工程学院电子工程学院9二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函 数数数数f fXYXY(x,y(x,y) )的性质的性质的性质的性质? ?性质性质性质性质3 3：归一性：归一性：归一性：归一性? ?性质性质性质性质4 4：边缘概率特性：边缘概率特性：边缘概率特性：边缘概率特性( , )1f x y
11、dxdy+= ( )(,)()(,)( )( ,)( ,)()(,)( ,)xXyYXYFxfddFyfddfxFxfx y dyxfyFyfx y dxy +=+= =+= 成都信息工程学院电子工程学院10二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函二维随机变量的概率密度函 数数数数f fXYXY(x,y(x,y) )的性质的性质的性质的性质? ?D.r.vD.r.v联合分布律来描述，联合分布律来描述，联合分布律来描述，联合分布律来描述，? ?密度函数由多维冲激函数组成，形如密度函数由多维冲激函数组成，形如密度函数由多维冲激函数组成，形如密度函数由多维冲激函数组成
12、，形如? ?联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如,1ijijij ijP Xx Yypp=( , )(,)XYijij ijfx ypxx yy=( , )(,)XYijij ijFx yp u xx yy=成都信息工程学院电子工程学院11多维随机变量多维随机变量多维随机变量多维随机变量? ?类似的，对于多维随机变量类似的，对于多维随机变量类似的，对于多维随机变量类似的，对于多维随机变量? ?n n维联合概率分布函数和密度函数分维联合概率分布函数和密度函数分维联合概率分布函数和密度函数分
13、维联合概率分布函数和密度函数分 别为：别为：别为：别为：123,nXXXXX=?12112212 12 12( ,),( ,)( ,)Xnnnn Xn Xn nFx xxP Xx XxXxFx xxfx xxx xx= ?成都信息工程学院电子工程学院121.2 1.2 多维随机变量与条件随机变多维随机变量与条件随机变多维随机变量与条件随机变多维随机变量与条件随机变 量量量量 给出观察系统工作情况的样本空间给出观察系统工作情况的样本空间给出观察系统工作情况的样本空间给出观察系统工作情况的样本空间和随机向量和随机向量和随机向量和随机向量 ( (X X1, 1, X X2)2)的联合样本空间的联合样
14、本空间的联合样本空间的联合样本空间S SJ J，并指出，并指出，并指出，并指出和和和和S SJ J中事中事中事中事 件的对应关系；件的对应关系；件的对应关系；件的对应关系； 计算的计算的计算的计算的( (X X1, 1, X X2)2)概率密度函数。概率密度函数。概率密度函数。概率密度函数。成都信息工程学院电子工程学院131.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)JS =成都信息工程学院电子工程学院141.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条
15、件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量成都信息工程学院电子工程学院151.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量成都信息工程学院电子工程学院16x2F(x1,x2)x1(0,1)(1,0)(0,0)(1,1) q21成都信息工程学院电子工程学院171.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量成都信息工程学院电子工程学院181.2 1.2 多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件多维随机变量与条件 随机变量随机变量随机变量随机变量成都信息工程学院电子工程学院19例例例例1.8 1.8 二维正态分布二维正态分布二维正态分布二维正态分布? ?二维正态分布二维正态分布二维正态分布二维正态分布的二的二的二的二 维概率密度函数为维概率密度函数为维概率密度函数为维概率密度函数为: : 求求求求f f ( ( x x ) ) 与与与与f f ( ( y y ) )。22 1122 211222 ()()12(1)2 121( , ) 21xxyyf x ye
