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1、高中版高中版2014 年 9 月考试 研究考卷解析考试 研究考卷解析定值着眼于变量在变化过程中的不变量，反映变量在变化过程中的特定状态.定值问题是中学数学解题中碰到的最普遍、最重要的题型之一，并且表现的形式与解决的方法也是千变万化的.定值问题一直是近几年各地数学高考试题中出现较多的题型，定值题选用的知识载体也是纷繁复杂、多种多样，包括代数、三角、立体几何、解析几何等.不难看出，命制定值问题能较好地体现数学高考试题的命题原则，因此，分析和解决定值问题是有效教学多种呈现方式的重要形式.2014年高考已经落下帷幕许久，对高考试题的探究解析悄然萌芽.重温考题，笔者对广东卷第20题产生了浓厚的兴趣，现对
2、其结论进行推广，敬请批评指正.题目：已知椭圆C：x2 a2+y2 b2=1 （ ab0）的一个焦点为（5摇姨，0），离心率为5摇姨 3（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）若动点P （ x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.一、原题解析（ 1）x29+y2 4=1.（ 2）当过点P的两条切线有一条平行于x轴时，那么另外一条必垂直于x轴，此时P （ 3，2），满足方程x20+y20=13.当过点P的两条切线都不平行于x轴时，可以设过点P的切线方程为y=k （ x-x0）+y0，与椭圆方程4x2+9y2=36联立，消去y得 （ 4+9k2）x2+18k （
3、y0-kx0）x+9k2x20+9y20-18y0kx0-36=0，则= 18k （ y0-kx0） 2-4 （ 4+9k2） （ 9k2x20+9y20-18y0kx0-36）.因为该直线与椭圆相切，所以=0，即 18k （ y0-kx0） 2-4 （ 4+9k2） （ 9k2x20+9y20-18y0kx0-36）=0，即 18k （ y0-kx0） 2=4 （ 4+9k2） （ 9k2x20+9y20-18y0kx0-36），化简整理可得 （ x20-9）k2-2y0x0k+y20-4=0.因为过点P有两条切线PA和PB，所以上述关于k的二次方程有两解k1、k2， 根据韦达定理， 有k1
4、k2=y2 0-4 x2 0-9.又因为PA和PB相互垂直，所以y2 0-4 x2 0-9=-1，整理得x2 0+y2 0=13， 即点P的轨迹方程为x2+y2=13， 它是以原点为圆心、半径为13摇姨的圆.二、延伸拓展由题中的数据可知13=9+4，那这个数据的获得是不是偶然的呢？ 经过探究我们不难发现，这是必然的.由此可得命题1.命题1：若T1、T2是椭圆C1：x2 a2+y2 b2=1 （ ab0）上不同两点，过点T1、T2的两条切线相交于点P，若PT1PT2，则动点P的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.证 明 ：如图1，设P（ x0，y0）.当直线PT1、PT2的斜率均存在且不为0时，设
5、直线PT1的斜率为k， 则直线PT2的斜率为-1 k.切线PT1的方程是y-y0=k （ x-x0），代入椭圆方程，消去y得 （ b2+a2k2）x2+2a2k （ y0-kx0）x+a2 （ y0-kx0）2-b2=0.由PT1是椭圆的切线，得= 2a2k （ y0-kx0） 2-4a2（ b2+a2k2） （ y0-kx0）2-b2=0圯 （ y0-kx0）2=b2+a2k2.类似可得 （ x0+ky0）2=a2+b2k2.+消去参数k得x20+y20=+a2+b2.即P的轨迹方程为：x2+y2=a2+b2.直线PT1的斜率为0时，直线PT2的斜率不存在；直线PT1的斜率不存在时，直线PT
6、2的斜率为0，对应情况的四个点P （ a，b）或P （ -a，b），其坐标也适合.研究完命题1， 就很自然地想到这个结论在双曲线和抛物线中是否也成立呢？ 答案是肯定的.由此可得命题2和命题3.高考试题中的定值 “ 情结”筅江苏省栟茶高级中学缪瑞红y T1PT2 xO图 135高中版高中版2014 年 9 月命题2：若T1、T2是双曲线C2：x2 a2-y2 b2=1 （ ab0）上不同两点，过点T1、T2的两切线相交于点P，若PT1PT2，则 动点P的轨迹方程为x2+y2=a2-b2.命题3：若T1、T2是抛物线y2=2px （ p0）上不同两点，过点T1、T2的两切线相交于点P，若PT1PT
7、2，则动点P的 轨迹方程为2x+p=0. 上述两个命题的证明从略. 上述命题1的逆命题成立吗？ 经过探究发现可得以 下命题.命题4：设点P是椭圆x2 a2+y2 b2=1 （ ab0）的 “ 准圆”x2+y2=a2+b2上的一个动点，过点P任作两条直线l1、l2，如果l1、 l2与椭圆C都只有一个公共点，那么l1l2. 命题4的证明在命题1的证明中稍作调整即可，此处 不再赘述 类似命题4的结论在双曲线和抛物线中是否成立？ 上述圆锥曲线的结论能否统一？ 从这两个设问中，我们 可得下列命题.命题5：若动点P为曲线C：mx2+ny2=1 （ m0，n0且1 m+1 n0）外一点，过点P作曲线的两条切
8、线，则两条切线相互垂直的充要条件是点P的轨迹方程为x2+y2=1 m+1 n.证明：若两条切线的斜率均存在，设过P （ x0，y0）的切线方程为y-y0=k （ x-x0），代入mx2+ny2=1，消去y得 （ m+ nk2）x2+2nk （ y0-kx0）x+n （ y0-kx0）2-1=0. 从而=4k2n2（ y0-kx0）2-4 （ m+nk2） n （ y0-kx0）2-1=0. 整理得 （ mnx20-n）k2-2mnx0y0k+mny20-m=0. 设两条切线的斜率分别为k1、k2，则k1、k2分别是方程的两根，且k1k2=mny20-m mnx20-n=-1，即x20+y20=
9、1 m+1 n.若两切线中有一条切线的斜率不存在， 则易得x20=1 m，y20=1 n ，经检验满足条件x20+y20=1 m+1 n.所以点P的轨迹方程x2+y2=1 m+1 n.进而我们又想，当直线PA与直线PB的夹角为定值 （ 一般性的角）时，可以得到怎样的结论？命题6：设P为椭圆x2 a2+y2 b2=1 （ ab0）外一点，过点P作椭圆的切线，切点分别为A、B，当直线PA与直线PB的夹角为定值时，P点的轨迹方程为tan2 （ x2+y2-a2-b2）=4a2y2+4b2x2-4a2b2其中当=90时即为命题1.证明：设直线PA与直线PB的斜率分别为k1、k2（ 斜率不存在的情况较易
10、，此处略去讨论），则直线PA的方程为y=k1x+m.联立y=k1x+m和x2 a2+y2 b2=1，可得 （ b2+a2k2）x2+2k1ma2x+a2m2-a2b2=0.根据相切可得=0，解得m2=b2+a2k2 1，从而直线PA的方程可写为y=k1xa2k2 1+b2摇姨. 又P （ x0，y0），于是y0=k1x0a2k2 1+b2摇姨，故 （ y0-k1x0）2=a2k2 1+b2，即 （ x2 0-a2）k2 1-2x0y0k1+y2 0-b2=0.同理由切线PB可得 （ x2 0-a2）k2 2-2x0y0k2+y2 0-b2=0.于是k1、k2是方程 （ x2 0-a2）k2-2
11、x0y0k+y2 0-b2=0的两根，故k1+k2=2x0y0 x2 0-a2，k1k2=y2 0-b2 x2 0-a2.当=90时，k1k2=y20-b2 x20-a2=-1， 所求方程为x2+y2=a2+b2.当90时，tan2=k1-k2 1+k1k2姨姨2=（ k1+k2）2-4k1k2（ 1+k1k2）2=2x0y0 x20-a2姨姨2-4 （ y2 0-b2） x20-a21+y20-b2 x20-a2姨姨2=4a2y20+4b2x20-4a2b2x20+y20-a2-b姨姨22， 故所求方程为tan2 （ x20+y20-a2-b2）2=4a2y20+4b2x20-4a2b2.三
12、、结束语圆锥曲线是高考数学中的热点、难点、重点，其中定值问题在平时的练习中经常遇到并会反复训练.定值问题与圆锥曲线有着不可分割的渊源情结.解决该类题运用的知识涵盖了高中数学中的直线、圆锥曲线等诸多主干知识，同时考查学生的运算变形能力、逻辑推理能力等.在平时的教学中，要加强学生综合能力的培养，让学生学会对习题进行一题多变，才能逐渐实现 “ 讲一题一归纳、解一题晓一类、懂一类能贯通”，培养学生善于动脑的优良品质.作为高中数学教师，在解题过程中，我们要尝试换位思考，善于从学生的角度出发，进入题型，简化问题，教给学生分析问题，追本溯源，抓住解决问题的方法，从而形成常规的转化意识和解题思维.只有引导学生领略“ 出入”思想，善于跳进题海，然后跳出题海，走出个性化思路，才能做到胸有成竹，运筹帷幄.只有师生在共同探究中达成数学思维的“ 自然化”， 才能从本质上理解知识、进入常态，进而形成数学解题的合力，并做到触类旁通，游刃有余，从而对我们数学高效课堂的起承与创新产生裨益. WG考试 研究考卷解析数坛 在线命题感悟36
