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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇天津四中：刘晖天津四中：刘晖 一、四心的概念介绍 （1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合（1 1）是是的重心的重心. .0OCOBOAOABC 证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO是的重心.0OCOBOA 0)()()(0)()()(321321
2、 yyyyyyxxxxxx 33321321yyyyxxxx OABC证法 2：如图QOCOBOA 02ODOAODAO2 三点共线，且分为 2：1DOA、OAD 是的重心OABC（2 2）为为的垂心的垂心. .OAOCOCOBOBOAOABC 证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB 同理，BCOA ABOC 为的垂心OABC（3 3）设）设, , ,是三角形的三条边长，是三角形的三条边长，O O 是是ABCABC 的内心的内心abc为为的内心的内心. .OOCcOBbOAa0ABC
3、证明：分别为方向上的单位向量，bAC cAB、QACAB、平分,bAC cABBAC)，令( AObAC cABcbabc （)cbabcAObAC cAB化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）为的外心。OCOBOAOABC典型例题：典型例题：例 1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，OCBA、P)(ACABOAOPOABCDEOABCDE，则点的轨迹一定通过的（ ）, 0PABCA外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的ABCED、ACBC、中点.ADACAB2QADOAOP2APOAOPQADAP2/APAD点的轨迹一定通过的重心，即选.
4、PABCC例 2：（03 全国理 4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足OCBA、P， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）)( ACACABABOAOP, 0PABCA外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量， ACACABAB、QACAB、平分, ACACABABBAC点的轨迹一定通过的内心，即选.PABCB例 3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足OCBA、P， ，则点的轨迹一定通过的（ ）) coscos( CACACBABABOAOP, 0PABCA外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC， D、E 是垂足
5、.) coscos( CACACBABABBC= CACBCACBABBCABcoscos= CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos =+=0BCBCABCDEABCDE点的轨迹一定通过的垂心，即选.PABCD练习：练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：ABCCBA、P0PCPBPA，则的值为（ ）APACABA2 B C3 D6232若的外接圆的圆心为 O，半径为 1，则( )ABC0OCOBOAOBOAA B0 C1 D21 213点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）OABC022OCOBOAABCABOCA0 B C D235 4344的外接圆
6、的圆心为 O，若，则是的（ ）ABCOCOBOAOHHABCA外心 B内心 C重心 D垂心5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则OCBA、222OBBCOA222ABOCCA是的（ ）OABC A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，ABC)(OCOBOAmOH则实数 m = 7 （06 陕西）已知非零向量与满足(+)=0 且= , 则ABC 为( )ABACAB|AB|AC|AC|BCAB|AB|AC|AC|1 2A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）ABCCBA、CABCCBABACABAB2ABCA等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形9.已知点 P 是的内心（三个内角平分线交点） 、外心（三条边的中垂线交点） 、重心（三条中线交点） 、垂ABC心（三个高的交点）之一，且满足，则点 P 一定是的（）222AP BCACABuuu r uuu ruuu ruuu rgABCA外心 B内心 C重心 D垂心练习答案：1C、2D、3C、4D、5D、1、7D、8C 9.A
