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1、第 1 页第第 4 4 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质【2013 年高考会这样考年高考会这样考】考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性【复习指导复习指导】1要熟记本节的基础知识，并会将 x 看作一个整体进行解题2解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等3注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点4注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用基础梳理基础梳理1 “五点法”描图(1)ysin x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2，1)(32，1)(2)ycos x 的图象在0,2上
2、的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1) (2，0)(32，0)2三角函数的图象和性质函数性质 ysin xycos xytan x定义域RRx|xk2，kZ对称轴：xk (k2Z)对称轴：xk(kZ)无对称轴对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：(k(k2，0)Z)对称中心：(kZ(k2，0)周22期单调性单调增区间Error!Error!，2kErroError!r!(kZ)；单调减区间Error!Error!，2kErroError!r!(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间Error!Error!，kErroError!r!(kZ
3、)奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 (1)周期性函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.2|(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为 yAsin(x)k 的形式逐步分析 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题双基自测1(人教 A 版教材习题改编)函数 ycos
4、，xR( (x3)A是奇函数 B既是奇函数又是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数 D 是偶函数答案 C第 2 页2函数 ytan的定义域为( )(4x)A.Error!Error! B.Error!Error!C.Error!Error!D.Error!Error!答案 A3(2012成都质检)函数 y4sin x，x，的单调性是( )A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是2，2，2 2，减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在上是增函数，在上是减2， ，22，2函数解析 由 ysin x 的单调性可知 B 正确 答案 B4ysin的图象的一个对称中心是( )(x4
5、)A(，0) B. C. D.(34，0)(32，0)(2，0)解析 ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)，令x k(kZ)，xk (kZ)，由44k1，x 得 ysin的一个对称中心是34(x4).(34，0)答案 B5(2011合肥三模)函数 f(x)cos的最小正周期(2x6)为_解析 T.22答案 考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】(1)求函数 ylg sin 2x的定义域9x2(2)求函数 ycos2xsin x的最大值与最小(|x| 4)值审题视点 (1)由题干知对数的真数大于 0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求 x 的范围(2)将余弦化为正弦，再换元处理
6、，转化为关于新元的一元二次函数解决解(1)依题意Error!Error!Error!Error!Error!Error!.(2)设 sin xt，则 t.22，22y1sin2xsin x2 ，t，(t12)5422，22故当 t ，即 x 时，ymax ，12654当 t，即 x 时，ymin.2241 22【方法总结方法总结】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin2xbsi
7、n xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)【训练 1】 (1)求函数 y的定义域sin xcos x(2)已知函数 f(x)cos2sinsin，求(2x3)(x4)(x4)函数 f(x)在区间上的最大值与最小值12，2解 (1)要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为
8、， ，再结合正弦、454余弦函数的周期是 2，所以定义域为Error!Error!.(2)由题意得：f(x) cos 2xsin 2x(sin xcos 1232第 3 页x)(sin xcos x) cos 2xsin 2xsin2xcos2x cos 1232122xsin 2xcos 2xsin.32(2x6)又 x，2x ，12，263，56sin.(2x6)32，1故当 x 时，f(x)取最大值 1；3当 x时，f(x)取最小值.1232考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例 2】(2011大同模拟)函数 y2cos21 是( (x4)A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数
9、C最小正周期为 的奇函数 2D最小正周期为 的偶函数2审题视点 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性解析 y2cos21cossin 2x 为奇函数，(x4)(2x2)T. 答案 A22【方法总结方法总结】求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期求解公式进行【训练 2】 已知函数 f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则 f(x)的最小正周期是_解析 由 f(x)(sin xcos x)sin xsin2xsin xcos x sin 2xsin .1cos 2
10、x21222(2x4)12最小正周期为 答案 考向三 三角函数的单调性【例 3】已知 f(x)sin xsin，x0，求 f(x)的(2x)单调递增区间审题视点 化为形如 f(x)Asin(x)的形式，再求单调区间解 f(x)sin xsinsin xcos xsin.(2x)2(x4)由 2kx 2k，kZ，242得：2kx 2k，kZ，344又 x0，f(x)的单调递增区间为.0，4 【方法总结方法总结】求形如 yAsin(x)k 的单调区间时，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数【训练 3】 函数 f(x)sin的单调减区间为(2x3)_
11、解析 f(x)sinsin，它的减区间是(2x3)(2x3)ysin的增区间(2x3)由 2k 2x 2k ，kZ，得：232kxk，kZ.故所求函数的减区间为12512(kZ) 答案 k12，k512(kZ)k12，k512考向四 三角函数的对称性【例 4】(1)函数 ycos图象的对称轴方程可能(2x3)是( )Ax Bx Cx Dx612612(2)若 0 ，g(x)sin是偶函数，则 的2(2x4)值为_审题视点 (1)对 ycos x 的对称轴为 xk，把第 4 页“x”看作一个整体，即可求(2)利用 k (kZ)，求解限制范围内的 .42解析 (1)令 2x k(kZ)，得 x (
12、kZ)，3k26令 k0 得该函数的一条对称轴为 x .本题也可用代6入验证法来解(2)要使 g(x)cos为偶函数，则须(2x4)k ，kZ，k ，kZ，0 ，4242 .4答案 (1)A (2)4【方法总结方法总结】正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用【训练 4】 (1)函数 y2sin(3x)的一条对称轴(|2)为 x，则 _.12(2)函数 ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则 _.解析 (1)由 ysin x 的对称轴为 xk (kZ)，2即 3k (kZ)，得 k (kZ)
13、，1224又| ，k0，故 .24(2)由题意，得 ycos(3x)是奇函数，k ，kZ.答案 (1) (2)k ，kZ242难点突破 9利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析一、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】 (2011泉州模拟)已知 f(x)cos(x)3sin(x)为偶函数，则 可以取的一个值为( 33)A. B. C D6363二、根据三角函数的单调性求解参数【示例】 (2011镇江三校模拟)已知函数 f(x)sin(0)的单调递增区间为(kZ)，(x3)k512，k12单调递减区间为(kZ)，则 的值为k12，k712_三、根据三角函数的周期性求解参数【示例】 (2011合肥模拟)若函数 ysin xsin(0)的最小正周期为 ，则(x2)
