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1、2 0 1 5年第 9期 中学数学研究 2 l 是 A A BC的边 B C的中点， P是 线段 A O延长线上一 点， 连 P， c P并延长分别交A C， A B或其延长线于点 ，F， 若 A B A C， 则 A A B E周长 0 ， 贝 0 +JB 6 + c 4 ， 当 且 仅 当 南 时等号成立 3 主要结果 定理 在 3 A B C中， 0 ， b ， C分别 为角 A， 日， c的 对边 ， 若 ， 卢， 中至少有 两个正数， A A B C的面积为 ， 且 q +卢 y+ 0 ， 贝 4 ( JB+ ) c o t A +( + ) c o t B+( +卢) c o t
2、C2、 0 ； +卢 + y ( 1 ) ， 当 且仅 当 = = 时等号眦 + + + 。 证明：由余 弦定 理 知 。 s A ：鱼 二 _ ，则 c 。 t A = s i n A = ， 有c 。 ： c 0 =一= ， c o ： 4 其余类推 ， 又 由 ， ， y权 系数 的已知条件推知任意 两个之和为正， 则( 卢+y) c o t A = 理代入即得( 1 ) ， 当且仅 当 ， 即 = = 时取转 卢+ +，y + 令 = =y ， 则得开首结论 推论 1 对任意三角形 A 曰 c， 有 c o t A+c o t B+ e o t C ( 2 ) ， 当且仅 当A A B
3、 C为正三角形时取等号 推论 2 任 意 A B C 与 A A B C 中， ( e o t B 十 e o t C ) c o t A + c o t A + c o t C ) c o t B + ( c o t A + c o t B ) c o t C2 ( 3 ) ， 当且仅 当A A B C 兰A A B C取等 号 证明： 设任意 B c 三内角为 ， B ， c ， 令 =c o t A ， 卢 =e o t B ， =c o t C ， 代入( 1 )则有( c o t B +e o t C ) c o t A+( c o t A +c o t C ) e o t B+(
4、c o t A + c o t B ) c o t C2, c o t A C O t B +e O t A c o t C +e O t B e o t C ( 4 ) 又 由c o t A +c o t B =c o t A c o t B ( t a n A +t a n a ) = e o t A c o t B t a n ( A + B ) ( 1 一 t a n A t a n B ) =一 e o t A c o t B t a n C ( 1 一 t a n A t a n B ) ，贝 4有 ( e o t A + e o t B ) c o t C 一e o t C e
5、o t A c o t B t a n C ( 1一t a n A t a n B ) ， 化 简 即 得 c o t A c o t B + c o t B c o t C + c o t C c o t A =1 ， 代入 ( 4 )即得( 3 )成立当且仅 当 s i n A s i n B s i n C w n ， ： 一 ： 一 ! ： 诲 c o t B + c o t C c o t A + c o t C e o t A + c o t B 蛐，同理 有 ( + ) c 。 t ： A B c 面积为 ， 由 c 。 = ， 其余 ，( + 。 t c： 4 、 一 。 +一
6、 2_ ， 三 式 相 加 得 ( 卢 + y ) C o + 4 一 、 。 ， ( + ) c 。 t +( + ) c 。 t C璺 ， 由引 类推 ， 代入上 式即得 = = ， 故 当且仅 当 “ “ 4 4 4 A A B C 冬A A B C取等号 推论 3 ( N e u b e r gD o e d i e不等式)在任意 C 与A A BC中， 面积分别为 ， ， 对应边长为 2 2 中学数学研 究 2 0 1 5第 9期 a ， b ， c ， 和 a ， b ， C ， 则有 a ( b +C 一a )+b 以 ( a + c 一b )+c ( a +b 一c ) 1 6
7、 A A ( 5 )仅 当 A A B C 兰A A BC取等号 证 明： 由 c o t A = ， c 0 ： 4 ，其余 类 推分 别代 入 ( 3 )式 化简 即得 ( 5 ) 推论 4 在 A A BC中， 面积为 A， 对应边长分别 为 a ， b ， c ， 则有 a ( b +c 一a )+b ( a +c 一b )+ C ( a +b 一C )=1 6 A ( 6 ) 证明 ： 由A A B C 与 A A B C为 同一三角形时， 则 ( 5 )式取等号， 即得( 6 ) 需要说明的是( 6 )式是三角形中一个常见的三 角恒等式 推论 5 对任意三角形A A B C和 B
8、C ， 都有 c。 ( t a n B I + ta n C t) +c 。 t ( t a n C p + ta n 譬 ) + c 。 tG ( ta n 等 + ta n ) 2 ( 7 ) 当 且 仅 当 A A B C 和 A A B C 都为正三角形时取等号 证明： 令 ：t a n ， 卢 ：t a “ B y， ： t 仰 了Ct，代 入 ( ) g C o tA ( ta n 等 + t a n 譬 ) + c 。 t ( t a n 譬 + t an譬 ) + c 。 tc ( ta n 譬 + t a n 譬 ) 2 N ta n A B + ta n n tta n C
9、 P + ta n 等 ta n 譬 “ n + a n n 虿 一t an等 n 等 ， 设 A c 面 积 为 ， 由 ta n 譬 ： ， 其 余 类 推 ， 代 入 上 式 即 得 2 血 口 ( b + C 一a ) 2 2 C c ( a + b 一 C ) 6 一垒 ： ( ： ! ： 二 ： 2 2 ，即A A BC和 A B C 都为正三角形 Z 时取等号 又令 A =B ：C = 7 7 “ ， 代入( 8 )式， 则得 推 论 6 对 任 a A c ， 有 ta n 等 + ta n 等 + t an Ct ( 9 ) ， 当且仅当A A B C为正三角形时取等 号 推
10、论 7 对任 意 A A B C ， 设其 内切 圆半 径为 r，半 周 长 为 p ， 则 有 + 南 + ( 1 o )当且仅 当A A BC为正三角形时取等号 证明： 设 三角形 A A BC内切 圆半径 为 r ， 由三角 形 中 常 见 等 舳n A t = 南 tan 等 = 南 ， r t an ： _7_ _ 了 代入( 9 ) 式，即得( 1 O ) ( 8 ) “ = 代八( )式， p 得( tan ( ) n ( 譬 ) t 譬： 嚣主 长 ( Fins lv - H鳓adw ig为e ， ， 则有 一阻 n 协 n Ct：一 得 阻 n t an譬 ta n 譬 +
11、ta n 譬 ta n 譬 + ta n C tta n 等 = n n + a n an + a n n l 代入( 8 )即得( 7 )成立 当且 仅 当 s i n 2 C t a n等 + ta n s i n z A s i n B B r C A C n + n n + a n 2 ，即 口n + n 6 2 t an争 t a n 譬 n + n c 4 3 + ( a tb ) +( b 一c ) + ( c _ a ) ( 1 1 ) ， 当且仅 当A A B C 为正三角形时取等号 证 明 ： 自 t a n 等 = 其 余 美 推 代 入( 9 )化简 即得( 1 1 )
12、 推论 9 对任意三角形 A A BC和A A B C ， 都有 口 ( p 一口 ) ( b +c 一0 )+6 ( p 一6 ) ( c 十0 一b ) +c ( P 一c ) ( a +b 一C 2 )8 A A ( 1 2 )当且仅 当 A A B C和 A A B C 都为正三角形时取等号 证 明： 记P = ( 0 + b + c ) ， 将t a n = ， t a n譬 = ，ta n 譬 = 等 及c 。 = ，c ot = 2 0 1 5年第 9期 中学数 学研 究 2 3 4 得( 1 2 ) ,c o t C= 同时代入( 7 )化简 参考文献 1 杨克昌 匹多不等式的
13、加权推广 M 初 等数学论丛 ( 8 ) 上海： 上海教育出版社， 1 9 8 5 , 5 6 一道 调 研 试 题的 延 伸 安徽省滁州 I中学 ( 2 3 9 0 0 0 ) 洪玉虎 c n w y m a t h )中就 归纳 了此题 图 1 的9种方 法 本 文拟从 该 问题 的延伸方面做 一些探究 我们知道 ， 椭 圆与圆可通过适 当的伸缩变换进 行相互的转化， 在转化过程 中， 总会保持一些量不 变自然地 ， 本文尝试思考如下更一般 的问题： 设 A， 曰为曲线 + =1 ( 0 b0 )与 轴 的左右两个交点， C， D为该 曲线上 的任意两个点， 求 A C B D的取值 范围
14、? 下面笔者给出上述 一般问题 的一种求解方法， 过程虽然复杂， 却行之有效 与 B D A 喜 一 与 点 重 合 ， 点 与 点 重 合 ， I 时，A C B D取值最小， 为 、 l 一4 ( z 1 由条件可得 A点坐标 为 图2 ( 一a ， 0 ) ， B点坐标为( a ， 0 ) ， 设 C点坐标 为( a c o s ， b s i n c ) ， D 点坐标 为 ( a c o s 3 ， b s i ) ， 则A CB D = ( a c o s a+a ， b s i n c )( a c o 一a ， b s i )=a ( c 0 s +1 ) ( c 0 一1 )+b 2 s i n c s i q 8=a ( c o 一1 ) c 0 s + b 2 s i s i n a+a ( C O 一1 )= 0 ( c o 一1 ) +b 4 s i n 2 s i n ( + )+口 ( c o 一 1 )
