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1、1每周一计第二计每周一计第二计由递推关系求数列通项公式由递推关系求数列通项公式给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。1.1. 形如形如 an+1-an=f(n)型型（1）若 f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则 an=a1+(n-1) d. （2）若 f(n)为 n 的函数时，用迭加法.例 1. 已知数列an满足,证明)2(3, 111 1naaann n213 nna证明：由已知得：an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1= .213 nna练一练 1：已知数列
2、an满足，求此数列的通项公式. 31a)2() 1(11nnnaann2.2.形如形如 型型 (答案： )（1）当 f(n)为常数，即：（q0） ，此时数列为等比数列，=.qaann1 na1 1nqa（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 例 2.设an是首项为 1 的正项数列，且(n+1) a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an=_. 解：已知等式可化为：(an+1+an)(n+1) an+1-nan=0()(n+1), 即时，Q0na*Nn01nnnaa11 nn aann2nnn aann11=.1 12211aaa aa aaannn
3、n nL121 121Lnn nn n1评注：本题是关于 an和 an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 an与 an+1 的更为明显的关系式，从而求出 an.练一练 2:已知 an+1=nan+n-1，a1-1,求数列an的通项公式.(-1.)na) 1() 1(1an！3.3.形如形如 an+1=can+d( (c0 且 c1,d0 其中其中 a1=a) )型型用待定系数法待定系数法构造辅助数列.规律：将递推关系化为,构造成公比为 c 的等比数列dcaann1)1(11cdaccdann从而求得通项公式1cdan)1(111 1 cdaccdan n例例 3 3
4、已知数列an中，求通项.,21 21, 211nnaaana.213133321n nnL)(1nfaann nan142分析：两边直接加上,构造新的等比数列。1cd解：由得,21 211nnaa) 1(2111nnaa所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列1na111a21所以,即 . 1)21(1n na1)21(1n na4 4形如形如 an+1=pan+f(n)型型(1)若(其中 k,b 是常数，且) 用构造法bknnf)(0k例 4在数列an中，a1=1，an+1=3an+2n 求通项 an. 解：设 an+1+p(n+1)+d=3(an+pn+d) 则 an+1=3an+2pn+
5、2d-pan+1=3an+2n 2p=2 2d-p=0 则 p=1,d=Q1 2令 cn=an+n+ 则 cn+1=3cn ， cn是等比数列，公比为 31 2c1= 则 5 21532n ncg151322n nan练一练 3：在数列an中，,2an-an-1=6n-3 求通项 an.(.)231a96)21(9nan n(2)若 f(n)=qn (其中 q 是常数，p1 且 n0,1) 方法（i）. 两边同除以 pn+1.即： ,令，则,变型为类型 1，累加求通项.nn npab 11()nnnqbbpp（ii）.两边同除以 qn+1 .即： ,令,则可化为.然后转化为类型 3 来解，nn
6、 nqab qbqpbnn11(iii).待定系数法： 设 an+1+qn+1=p(an+qn). .则 an+1=pan+(p-q)qn)， ，令 则 cn+1=pcn cn是等比数列，可求cn通项。 例 5.设 a0为常数，且 an=3n-1-2an-1 求通项 an. 解：设 an+3n=-2(an-1+3n-1), 即: an=-2an-1-53n-1,比较系数得：,所以 所以,1551)351(23511 1 n nn naa所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 3 5nn a13 5a 即 .).()2)(5321 (531 0Nnaannn012) 1(2) 1(351aann
7、nnn n5 5、形如、形如 （）型）型 取取倒数法0, 0,qsrp例 6. 已知数列an中，a1=2， ，求通项公式 an。 1 11() nnn nnaaq pqppqqa qp qann nn111)(Nnsrapaann n11)2(1211naaann n1 pq1n nncaqpq3解：取倒数：2111nnaa2111nnaa.342 2322) 1(111nannaan n6 6、形如形如 f(Sn,n)=0 型型 可利用公式： 直接求出通项 （别忘了讨论 n=1 的情况！） 11 SSSann n) 1()2( nnna例 7：已知数列an的前 n 项和为Sn=2n2-n S
8、n=n2+n+1， 分别求数列an的通项公式。解析：当 n=1 时，a1=S1=1当 n2 时，an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3经检验 n=1 时，a1= 1 也适合 an=4n-3当 n=1 时，a1=S1=3当 n2 时，an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n 经检验 n=1 时，a1=3 不适合 nan23 )2() 1( nn7 7、形如、形如 f(Sn,Sn+1)=0 型型方法（i）.看成Sn的递推公式，求 Sn的通项公式，再转化成类型 1-5 （ii）.利用 an=Sn-Sn-1转化成关于 an和 an-1的关系式再求。例 8已知数列an的首项
9、 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t 为常数且 t0，n=2,3,4）（1）求证：数列an是等比数列； （2）设数列an的公比为 f(t)，作数列bn，使 b1=1，11()n nbfb，求 bn(2,)nnN解析：（1）由，得,111Sa21221Saaa 23 (1)(23)3tatt223 3tat ，又，13(23)3nntStSt123(23)3nntStSt得，得13(23)0nnt ata123,3,4,3nnatnatL是一个首项为 1，公比为 的等比数列。 na（2）由，有2321( )33tf ttt1 112()3nn nbf
10、bb 是一个首项为 1，公差为的等差数列，。 nb2 32211(1)33nnbn 8 8、形如、形如 f(Sn,an)=0 型型2123 3at at23 3t t4利用 an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型例 9.数列an的前 n 项和记为 Sn，已知).3 , 2 , 1(2, 111LnSnnaann证明：数列 是等比数列. 方法（1）,2,111nnnnnSnnaSSa 整理得 ),()2(1nnnSSnSn,) 1(21nnSnnS所以 ， 故 是以 2 为公比的等比数列.方法（2）：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，121nn SSnn由=1 12211SSS SS SSSnnnn nL111 111222221231nnnnnnanannnnL得 ， 下面易求证。12nnS n nSn.211 nS nSnn nSn
