《广东高考理数大二轮 专项训练【专题8】(2)数形结合思想(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东高考理数大二轮 专项训练【专题8】(2)数形结合思想(含答案)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 广东高考理数大二轮广东高考理数大二轮 专项训练专项训练第第 2 讲讲 数形结合思想数形结合思想1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完
2、整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(
3、4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何模型研究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调
4、整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例 1 (2014山东)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )A(0， ) B( ，1)1212C(1,2) D(2，)答案 B解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为 ，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为( ，1)1212思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的
5、解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数设函数 f(x)Error!若 f(4)f(0)，f(2)2，则关于 x 的方程 f(x)x 的解的个数为( )A1 B2C3 D4答案 C解析 由 f(4)f(0)，f(2)2，解得 b4，c2，f(x)Error!作出函数 yf(x)及 yx 的函数图象如图所示，由图可得交点有 3 个热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例 2 (1)已知奇函数 f(x)的定义域是x|x0，xR，
6、且在(0，)上单调递增，若 f(1)0，则满足 xf(x)0，|m1|2所以 m1，2故 m 的取值范围是 m1.2(2)令 y1，9x2y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)29x2的解集为a，b且 ba2.2结合图象知 b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)2又因为点(2，)在直线上，2所以 k.2 2 2122热点三 利用数形结合思想解最值问题例 3 (1)已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_(2)已知点 P(x，y)的坐标 x，y 满足E
7、rror!则 x2y26x9 的取值范围是( )A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案 (1)2 (2)B2解析 (1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRtPAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而 S四边形 PACB也越来越大；当点1212P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时，S四边形 PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，|3 14 18|3242从而|PA|2.|PC|2|AC|22所以(S四边形 P
8、ACB)min 2 |PA|AC|2.122(2)画出可行域如图，所求的 x2y26x9(x3)2y2是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为 Q 到射线 xy10(x0)的距离 d 的平方，最大值为|QA|216.d2()2()22.|301|12122取值范围是2,16思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解(1)(2013重庆)设 P 是圆(x3)2(y1)24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，
9、则|PQ|的最小值为( )A6 B4 C3 D2(2)若实数 x、y 满足Error!则 的最小值是_yx答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为 2，|PQ|的最小值为圆心到直线x3 的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min3(3)24.故选 B.(2)可行域如图所示又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k.yx由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小联立Error!得 A(1,2)，所以 kOA2.所以 的最小值为 2.2010yx1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助
10、数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1(2013重庆)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( )A54 B.1217C62
11、D.217答案 A解析 设 P(x,0)，设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.2323422而|PM|PN|PC1|PC2|454.22(2014江西)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为( )A. B. 4534C(62) D. 554答案 A解析 AOB90，点 O 在圆 C 上设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，点 C 在以 O 为焦点，以直线
12、 2xy40 为准线的抛物线上，当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，|2 004|545圆 C 的最小半径为，25圆 C 面积的最小值为 ()2 .25453(2013课标全国)已知函数 f(x)Error!若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是( )A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案 D解析 函数 y|f(x)|的图象如图当 a0 时，|f(x)|ax 显然成立当 a0 时，只需在 x0 时，ln(x1)ax 成立比较对数函数与一次函数 yax 的增长速度显然不存在 a0 使 ln(x1)ax 在 x0 上恒成立当 a0，且 x1x2a30，且 x3x4
13、a32，x3x4a1，联立可得 a9，综上知，09.押题精练1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 (数形结合法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有两个交点2不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案 A解析 f(x)|x3|x1|Error!画出函数 f(x)的图象，如图，可以看出函数 f(x)的最大值为 4，故只要 a23a4 即可，解得 a1 或 a4.正确选项为 A.3经过 P(0，1)作直
14、线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为_，_.答案 1,1 0， ，)434解析 如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则kPAkkPB，而 kPB0，kPA0 时， 为锐角又 kPA1，2110kPB1，1k1.1102又当 0k1 时，0 ；4当1k0，即 g(x)在(1，)上单调递增，1x所以当 x1 时，g(x)取得极小值 g(1) ；12当 a0 时，方程 F(x)a2不可能有四个解；当 a0，即 f(x)在(1,0)上单调递增，所以当 x1 时，f(x)取得极小值 f(1)2a，又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出 F(x)a2不可能有四个解当 a0，x(，1)时，f(x)0，即 f(x)在(，1)上单调递增，x(1,0)时，f(x)0，即 f(x)在(1,0)上单调递减，所以当 x1 时，f(x)取得极大值 f(1)2a.又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程 F(x)a2有四个解，则 a22a，12所以，实数 a 的取值范围是.(22，2)
