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1、1根轨迹法根轨迹法一、本章内容提要一、本章内容提要: 1.介绍了系统开环传递函数的极点、零点已知的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；2.根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则；3.根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹、零度根轨迹、时滞系统根轨迹;4. 根轨迹法分析系统性能二、本章教学目的及要求二、本章教学目的及要求: 1.掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；2.掌握控制系统根轨迹的绘制方法；3.正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图4. 能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；5. 明确闭环零、极点的分布
2、和系统阶跃响应的定性关系。三、本章重点、难点本章重点、难点1.重点：根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件3.难点：时滞系统根轨迹的绘制四、本章学习方法四、本章学习方法通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。24-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念本节重点本节重点:：掌握根轨迹的基本概念本节难点：本节难点：根轨迹的正确绘制一问题的提出一问题的提出高阶系统的平稳性、快速性的分析以及暂态指标的估算。引例 Xr(s) XC(s) sK) s (W1 k11 BKSK) s (W特征方程式 ：
3、 S+K =01特 征 根 ： S= -K1当 K1 由 0变化时，闭环特征根在 S 平面上移动的轨迹城根轨迹，不仅直观的表示了 K 变化时间闭环特征根的变化，还给出了参数时闭环特征根在 S 平面上分布的影响。可判定系统的稳定性，确定系统的品质。K1 S3J（） 0 二、二、 定义定义指当系统开环放大倍数 K （通常由 Kg 或 K1表示）由零变到无穷时，闭环极点（系统特征根）在 S 平面上变动的轨迹。根轨迹是根据系统开环传递函数的零、极点，求出闭环极点一般方法,是控制系统分析一种图解方法。 三三 根轨迹法的依据（根轨迹方程）根轨迹法的依据（根轨迹方程）1已知系统已知系统系统开环传函: sDs
4、NK)jp(S)iz(SgK)S(Wg n1jm1iK 闭环系统特征方程式:1+W （S）=0 或 W（S）= -1 ， 即 k1pszsKn1jjm1iig 2. 依据条件依据条件幅值条件 ：1sWk4相角条件： W (S)=180（1+2） ， =0，1，2k或 开环有限零点到 S 的矢量长度方程 1= 开环极点到 S 的矢量长度方程 kgm n m n (s+zi) -(s+pj)=i - j = 180)21 (oi=1 j=1 i=1 j=1 开环有限零点到 S 的矢量幅角 ij 开环极点到 S 的矢量幅角 3. 基本思想基本思想根据幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益， 由相角条件
5、确定根轨迹上的某点位置。小结小结:根轨迹的依据4-2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则本节重点本节重点:：掌握根轨迹的绘制方法本节难点本节难点：根轨迹的出射角和入射角，以及根轨迹和虚轴的交点 一一 绘制常规根轨迹一般法则绘制常规根轨迹一般法则1. 起点起点 （Kg =0）当 Kg =0 闭环系统特征根即由开环系统特征方程式决定 n1iig0psKsN即闭环极点也就是开环极点,根轨迹从开环极点出发。2. 终点（终点（Kg = ）闭环系统特征方程式 11) s (D) s (NgK 0zssNm1ji开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。1 )jP(S)iZ(SKn1jm1ig 5设 N（S）为 m
6、 阶，有 m 个有限开环零点，还有 n-m 个无限零点3 、根轨迹数与对称性、根轨迹数与对称性条数：开环极点数，n 条对称性：对称于实轴，特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴4 、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹在 S 平面实轴上的线段上存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。 5、 分离点和会合点分离点和会合点 满足： 或 0dSdKg 0sDsNsNsD由此求出的要代入 Kg 中，只有 Kg 为正时，才是分离式会合点。s对于阶次较高，可采用图解法确定重根，在复平面若有分离点式会合点，必对称于实轴。6 、渐近线、渐近线（1）渐近线条数： n-m 条，趋
7、向无穷远处分之的渐近线渐近线倾角 mn)21 (180 .)2 . 1 . 0(（2）渐近线交点： 伸向无穷远出与实轴交于一点 坐标（-，j0）mnZPn1jm1iij 7 、根轨迹出射角和入射角、根轨迹出射角和入射角出射角 ： 或 )(180m1ii1n1jjsc180sc：开环有限零点到被测起点的 矢量幅角。i：除被测起点外，所有开环极点的矢量幅角j入射角 ： )j(180n1j1m1iisr 68.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点可用 S=j 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。根轨迹与虚轴的交点出现虚根，系统处于稳定的临界状态。故可由此确定根轨迹与虚轴的交点9 、根轨迹的特性、根轨
8、迹的特性连续性：闭环系统特征方程的根是连续变化的，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。10、 闭环极点特性闭环极点特性（1） 当 n m2 时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为数1nn1jjn1jjaPS （2） 闭环极点之积和开环零、极点之间具有 m1iign1jjn1jjZKPS当开环系统具有等于零的极点时 m1iign1jZKSj即闭环极点之积与轨迹增益成正比。11辅助定性依据辅助定性依据（1） 对应任一 Kg，闭环极点之和保持不变，即一些闭环极点向右移动，另一些极点向左移动（2） 已求得闭环系统的某些极点，可以求出其他极点（3） 由此可以迅速确定根轨迹大致形状。二二.例题例题 例
9、系统开环传递函数， 试绘制系统根轨迹草图3) 1()(SKsWK13 gKK解：1+， ， 0sWk 3g K )1S(K) s (W2 g1sK系统特征方程式 ：0 )1(1)(1 3 SKsWg K71、 起点： （三重极点） ； 终点 ：无开环零点1P3 , 2 , 12 、实轴上根轨迹（,- 1/）3 、渐进线倾角 ： 1 , 0,180,600312180与实轴交点： 1 31*3mnZPn1jm1iii根轨迹三条分支，Kg = 0 从开环极点出发，当 Kg ，沿渐进线趋向 4 、分离点 -3（S+1/）2 = 0可得分离点 S = - 1/ 5 、根轨迹与虚轴交点 系统处于稳定的临
10、界状态特征方程式：0K1sg3 0K11*jw31jw3jwg32230Kw31jww3g3 2 0ww33 2 0Kw31 g23 解得： ， 3w3g8K 8KKg38三三. 常见的几种根轨迹草图常见的几种根轨迹草图9小结：小结：根轨迹的绘制4-3 参数根轨迹及多回路系统根轨迹参数根轨迹及多回路系统根轨迹本节重点本节重点：参数根轨迹及多回路系统根轨迹本节难点本节难点: 时滞根轨迹的确定一一 参数根轨迹（广义根轨迹参数根轨迹（广义根轨迹）101. 概念概念 以不同于 Kg（K1）的参数为参变量的根轨迹称为参数或广义根轨迹.用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零，极点位置，时间常数或反
11、馈参数等对系统性能的影响2. 绘制方法绘制方法 Kg 为可变参量时，特征方程0 )jp(Sn1j)iz(S 1igK 1)(1 mSKW选其他参数时，引入等效传递函数概念把特征方程化为上述形式，以所选参量 a 代替 Kg 位置:1+ 0sQsaP可利用绘制常规根轨迹的各种规则进行绘制。3.例题例题 Xr(s) XC(s) 求： 当 a 由 0闭环系统特征根变动的轨迹？解：1） 系统特征方程：S2 + aS + K1 = 0用不包含 a 的其余项去除方程两边，则有0 KSaS112 2） 等效系统开环传递函数： 12kKSaSsW 也称原系统等效开环传递函数：12kKSaSsW 3） 根轨迹绘制
12、起点：开环极点 ；终点：开环零点 0；1Kj分离点：， SKSa120SKS dsda212 K1S(s+a)11即: 1Ks分离点应在 S= -，在负实轴上 K在分离点处 ： 2 121K2 KKKa系统分析：随着 a 增大，系统特性变化;即从 a=0 时， 无阻尼; =0，等幅振荡21 单调上升1K0195二二 瞬态性能分析和开环系统参数确定瞬态性能分析和开环系统参数确定1、 有 （闭环系统极点张角）超前量因 =cos1 2 、由闭环极点实部调节时间nst3163 、由性能指标要求闭环（主导）极点大致位置4 、由瞬态性能指标开换系统放大系数或其他参数例 6s4ssKsGg k若要求闭环系统等位阶跃响应最大超调量18% ,试确定 Kg。解：分离点时 Kg=17，Kg240 闭环系统不稳定由图查得：60% 做 =60 度直线，交点 A，B 为满足性能指标要求的闭环子系统主导极点：j1 . 22 . 1S2, 1幅值条件：448 .43DACAOAKg83. 16*4KKg由特性 =常数jSjP 640sss321-1.2-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10S3= -10+2.4= -7.6S3为另一闭环系统实极点。小结：小结：根轨迹分析第四章小结习题课第四章小结习题课17例 所示系统同时满足下述条件，限用根轨迹法Xr（
