《高考数学一轮复习讲义—14.直线与圆的位置》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习讲义—14.直线与圆的位置（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一一 【课标要求课标要求】 1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标； 2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距 离； 3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 二二 【命题走向命题走向】 本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置 关系（特别是弦长问题） ，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在 解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识 预测 2010 年对本讲的考察是：
2、（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察； （2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系， 注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向； （3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力 三三 【要点精讲要点精讲】 1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 （1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若0:, 0:22221111CyBxAlCyBxAl若 A1、A2、B1、B2都不为零。l1/l2212121 CC BB AA；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与 l2相交2121 B
3、B AA；l1与 l2重合212121 CC BB AA；注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。两条直线的交点: 两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2 距离（1）两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则2 122 12)()(yyxxAB特别地：x/AB轴，则AB|21xx 、y/AB轴，则AB|21yy 。（2）平行线间距离：若0:, 0:2211CByAxlCByAxl， 则： 2221BACCd 。注意点：x，y 对应项系数应相等（3）点到直线的距离：0CByAx: l),y,x(Poo，则 P 到 l 的距离为：
4、22BACByAxd oo3直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若 22BACBbAad ，0交交rd；（2）0交交rd；（3）0交交rd。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 0022FEyDxyxCByAx 求解，通过解的个数来判断： （1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点） ，直线与圆相交； （2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点） ，直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点） ，直线与圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为 ，圆心 C 到直 线 l 的距离为 d
5、,则直线与圆的位置关系满足以下关系： 相切d=r0； 相交d0； 相离dr0。 4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。交交交交交交421rrd；交交交交交交321rrd；交交交交交交22121rrdrr；交交交交交交121rrd；交交交交交交210rrd；外离 外切相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：直线间的位置关系例 1 （全国全国文文 15）已知圆 O：522 yx和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解
6、析】由题意可直接求出切线方程为 y-2=21(x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和25，所以所求面积为425525 21。【答案】 25 4【总结点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类 讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.（2）已知两条直线12:330,:4610.laxylxy 若12/ll，则a _ _。解析：（1）答案：1 2；（2）2。点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证ACABkk；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例 2已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂
7、直，则a等于（ ）A2 B1 C0 D1 （2） （2007 安徽理，7）若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（ ）A430xy B450xy C430xy D430xy解析：（1）答案为 D；（2）与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为 4，而34yx ，所以4yx在(1，1)处导数为 4，此点的切线为430xy，故选 A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为 零和不存在两种情况。 题型 2：距离问题例 3 将直线20xy沿x轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆22240xyxy 相切，则实数的值为 （ ）
8、 （A）3 或 7 （B）2 或 8 （C）0 或 10 （D）1 或 11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直 线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线20xy沿x轴向左平移 1 个单位后的直线l为：2(1)0xy.已知圆的圆心为( 1,2)O ，半径为5.解法 1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有|2 ( 1 1)2|55 ，得3 或 7.解法 2：设切点为( , )C x y，则切点满足2(1)0xy，即2(1)yx，代入圆方程整理得：225(24 )(4)0xx， （*）由直线与圆相切可知， （*）方程只有
9、一个解，因而有0 ，得3 或 7.解法 3：由直线与圆相切，可知COl，因而斜率相乘得1，即2211y x ，又因为( , )C x y在圆上，满足方程22240xyxy，解得切点为(1,1)或(2,3)，又( , )C x y在直线2(1)0xy上，解得3 或 7.（2） （湖北文（湖北文 14）过原点 O 作圆 x2+y2-6x8y20=0 的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。【解析】可得圆方程是22(3)(4)5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ .例 4。 ( (圆、向量与三角函数圆、向量与三角函数) )设 A、B 为圆221xy上两点，O 为坐标原
10、点（A、O、B 不共线）（）求证：OAOBOAOBuu u ruuu ruu u ruuu r与垂直.（）当3,(,),44 45xOAxOBOA OB uu u r uuu rg且时.求sin的值.解：（）由22| | 1|1OAOBOAOBuu u ruuu ruu u ruuu r得则221OAOBuu u ruuu r220OAOBuu u ruuu r() ()0OAOBOAOBuu u ruuu ruu u ruuu rg则OAOBOAOBuu u ruuu ruu u ruuu r与垂直（）由(cos,sin)444xOAOAuu u r得又(cos ,sin )xOBOBuuu
11、 r由33coscossinsin5445OA OBuu u r uuu rg得即3cos()4540sin()444245 Qsinsin()sincos()cossin()444444=23242 252510 点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重 学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决 问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。 该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简 能力要求也较高，有较好的区分度 题型 3：直线与圆的位置关系 例 5
12、 （2009 江苏卷江苏卷 18） （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆22 1:(3)(1)4Cxy和圆22 2:(4)(5)4Cxy.（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直线l的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标解解 (1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离222 34()12d ，结合点到直线距离公式，得： 2
13、| 31 4 |1, 1kkk 化简得：272470,0,24kkkor k 求直线l的方程为：0y 或7(4)24yx ，即0y 或724280xy(2) 设点 P 坐标为( , )m n，直线1l、2l的方程分别为： 1(),()ynk xmynxmk ，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。 故有： 2241|5| 31| 111nmknkmkk k k ，化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20, 30mn mn m -n+8=0或m +n-5=0解之得：点 P 坐标为3 13(,)2 2或51( ,)22。例 6已知圆 M：（xcos）2（ysin）21，直线 l：ykx，下面四个命题： （A）对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 相切； （B）对任意实数 k 与，直线 l 和圆 M 有公共点； （C）对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与和圆 M 相切； （D）对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号） 解析：圆心坐标为（cos，sin） d222|kcossin |1k |sin|1k1k |sin|1（） （）故
