《《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、共 6 页第 页1得分得分得分复变函数与积分变换期末试题（A ）吉林大学南岭校区 2011 年 12 月题号 一 二 三 四 五 六 总分得分一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1 的幅角是（ ） ；23i2. 的主值是（ ） ；)(iLn3. ， （ ） ；21zzf)0(5f4 是 的（ ）极点；04sin5 ， （ ） ；zf1)(),(Ref二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数 的导函数为（ ） ；),(),()yxivuzf（A） ； （B） ；yx yxiuzf)(（C） ； （D） .ivzf)( yv2C 是正向圆周 ，如果函数 （ ） ，则 3)(zf
2、0d)(Czf（A） ； （B） ； （C） ； （D） .2z212)(13z2)(33如果级数 在 点收敛，则级数在1nncz共 6 页第 页2（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i11下列结论正确的是( )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 在 C 所围成的区域内解析，则 0)(Cdzf（C）如果 ，则函数 在 C 所围成的区域内一定解析；)(dzf )(zf（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是,),yxivyxu、 在该区域内均为调和函数),(yxu),(v5下列结论不正确的
3、是（ ） (A) (B) 的 可 去 奇 点 ；为 z1sin的 本 性 奇 点 ；为 zsin(C) (D) ;si的 孤 立 奇 点为 z .si1的 孤 立 奇 点为 z三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设 是解析函数，求)()( 2222 ydxcibyaxzf .,dcba得分共 6 页第 页3（2） 计算 其中 C 是正向圆周： ；Czed)1(2 2z（3）计算 334215d)()z zz共 6 页第 页4（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？322)(sin(1)(zzf，如果有极点，请指出它的级.共 6 页第 页5四、 （本题 14 分）将
4、函数 在以下区域内展开成罗朗级)1()2zf数；（1） ， （2） ， （3）10z0得分共 6 页第 页6五 （本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0()()(45yexyxx六、 （本题 6 分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)()(0tetftedt202cos得分 得分共 6 页第 页7复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1 的幅角是（ ） ；23i2,10,2k2. 的主值是（ ） ；)(iLni43ln3. ， （ 0 ） ，21)(zzf)(5f4 是 的（ 一级 ）极点；0z4sin5 ， （
5、-1 ） ；zf1)(),(Ref二选择题（每题 4 分，共 24 分）1解析函数 的导函数为（B ） ；),(),()yxivuzf（A） ； （B） ；yx yxiuzf)(（C） ； （D） .ivzf)( yv2C 是正向圆周 ，如果函数 （ D ） ，则 3)(zf 0d)(Czf（A） ； （B） ； （C） ； （D） .2z212)(13z2)(33如果级数 在 点收敛，则级数在（C）1nncz（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i1共 6 页第 页8下列结论正确的是( B )（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一
6、定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 在 C 所围成的区域内解析，则 0)(Cdzf（C）如果 ，则函数 在 C 所围成的区域内一定解析；)(dzf )(zf（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是,),yxivyxu、 在该区域内均为调和函数),(yxu),(v5下列结论不正确的是（ D ） 的 可 去 奇 点 ；为、 zA1sin)(的 本 性 奇 点 ；为、 zBsin)(.si)(的 孤 立 奇 点为、 zC的 孤 立 奇 点 ；为、 zDsi)(1三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1） 设 是解析函数，求)()( 2222 ydxcibyaxzf .,dcb
7、a解：因为 解析，由 C-R 条件)(zfyvxuxvuyda22,2dycxbya，,dc1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2） 计算 其中 C 是正向圆周：Czed)1(2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以zezf2)1() 1,021z共 6 页第 页9为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于 c 内21,z 21,c 21 d)(d)(d)( 222 CzCzCz eeeizeizi z)(021无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）
8、 33425d)()zz解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理(f 3z-（5 分）),(Re2d)2()133415 fsizzz -（8 分）Re2fsi2342152)()(1)( zzzf 0,z)1()1)( 3422 有 唯 一 的 孤 立 奇 点zf 1)2()10,)(Re 340202limli zzffs zz-（10 分）334215d)()(z i（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？23)()(sinzzf，如果有极点，请指出它的级.解 ： ，的 奇 点 为 ,32,10,)(sin)3(21)( 22 kzzzf （1） 的 三 级 零 点 ，）
9、为 （03ksin,（2） 的 可 去 奇 点 ，是的 二 级 极 点 ，为， )()( zfzzfz 21共 6 页第 页10（3） 的 一 级 极 点 ，为 )(zfz（4） 的 三 级 极 点 ；， 为 )(4,32zf（5） 的 非 孤 立 奇 点 。为 )(zf备注：给出全部奇点给 5 分 ，其他酌情给分。四、 （本题 14 分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；)1()2zf（1） ， （2） ， （3）10z0z解：（1）当 )1()()1()(2 zzf而 )(0nnn01(1nnz-6 分021)()()(nnnzf（2）当 =)1()(1)(22zzf 02nz-10 分
10、02n（3）当 z1)1()1()(32zzf -14 分0303)()(nnzzf每步可以酌情给分。共 6 页第 页11五 （本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题： 1)0()(45yexxx解：对 的 Laplace 变换记做 ，依据 Laplace 变换性质有)(sL（5 分）14)(5)(2 ssL整理得（7 分）)4(15)(6)1(0 1 )(1)(sssss（10 分）xxeexy)六、 （6 分）求 的傅立叶变换，并由此证明：)(0ttf tedt202cos解： -3 分)()( 0 teFti )()(00 dtdttiti )()()( 000
11、teteii )()( 0 iititi-4 分)()( 021 iiF- -5 分)()()(2 dFetfti )(012 ti共 6 页第 页12)()sin(co012 dtt )(is2202 tidt， -6 分)(co)( 002 ttftedt02s共 6 页第 页13复变函数与积分变换期末试题（B）吉林大学南岭校区 2011 年 12 月题号 一 二 三 四 五 六 总分得分一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1 的幅角是（ ） ；2i2. 的主值是（ ） ；)(iLn3. =（ ） ， 在复平面a )2(2)( 22yxaiyxzf 内处处解析4 是 的（ ）极点；0
12、z3sinz5 ， （ ） ；f1)(),(Ref二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数 的导函数为（ ） ；),(),()( yxivyxuzf（A） ； （B） ；xyi yxiuzf（C） ； （D） .yvzf)( )(2C 是正向圆周 ，如果函数 （ ） ，则 2zf 0d)(Czf（A） ； （B） ； （C） ； （D） .13z132)1(32)1(33如果级数 在 点收敛，则级数在1nciz2共 6 页第 页14（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；2z iz2（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散 i11下列结论正确的是( )（A）如果函数 在 点可导
13、，则 在 点一定解析；)(zf0)(zf0(B) 如果 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则 在 C 所围Cd )(zf成的区域内一定解析；（C）函数 在 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以)(zf0展开成为 的幂级数，而且展开式是唯一的；0（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是 、),(),()yxivuzf ),(yxu在该区域内均为调和函数),(yxv5下列结论不正确的是（ ） （A） 、 是复平面上的多值函数； 是无界函数；lnz cosz)B(、是复平面上的有界函数；（ D） 、 是周期函数si)C(、 e三按要求完成下列各题（每小题 8 分，共计 50 分）（1）设 是解析函数，且 ，求)(),()ygxiyuzf2 0)(f,(fxyg（2） 计算 其中 C 是正向圆周 ；Czizd)(122 2z得分共 6 页第 页15（3） 计算 ，其中 C 是正向圆周 ；Czed)1(12 2z（4） 利用留数计算 其中 C 是正向圆周 ；Czzd)2(1 3z共 6 页第 页16（5）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如321)(sin)(zzf果有极点，请指出它的级.四、 （本题
