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1、第三章剪力滞分析方法及应用3.1 概述1）剪力滞效应的概念和解释初等梁理论中,我们假定离中性轴同一距离的截面,在弯矩作用下沿宽度方向截面的正应力是相等的。实际的带翼缘板的T梁和箱形截面梁，在对称垂直力作用下，翼缘板上的正应力沿宽度方向呈不均匀的分布状态。这种由于腹板处剪力流向翼缘板中传递的滞后而导致翼缘板正应力沿宽度方向呈不均匀分布现象，称为“剪力滞效应”。如果靠近腹板处翼缘板中的正应力大于初等梁理论的正应力，称为“正剪力滞效应”，反之称为“负剪力滞效应”。正剪力滞负剪力滞在宽翼缘梁的设计分析中,如果忽视剪滞效应,将低估结构的实际应力大小,使其应力分布状态与实际不符,从而可能造成结构局部失稳或
2、破坏。1969年11月至1971年11月，在奥地利、英国、澳大利亚和德国相继发生四起钢箱梁重大事故。事故发生后，通过桥梁专家的论证与分析，发现设计方法上存在严重缺陷，其重要问题就是在剪力滞问题上的考虑不周。国内的宁波招宝山斜拉桥在施工中发生严重事故，专家组研究的结论认为设计中没有考虑剪力滞的效应是主要因素。由于剪力滞的影响，宽翼缘的混凝土结构发生开裂、钢结构发生屈曲变形甚至失稳。从后面的分析中我们可以发现，剪力滞效应对宽翼缘梁的应力不均匀性影响相当大。2）剪力滞效应的分析方法A 弹性理论解法 调谐函数法 以肋板结构为基础，取肋板和翼缘板为隔离体，肋板用初等梁理论分析，而翼缘板由平面应力分析，用
3、逆解法求解应力函数，然后根据肋板和翼板之间的静力平衡条件和变形条件，建立方程组，求出未知数，从而导得翼板的应力和挠度解。其代表是T.V.Karman 的经典解法。正交异性板法 将肋板结构比拟为正交异性板，寻求其解，得到剪力滞的结果。折板理论 将箱梁离散为若干矩形板，以弹性平面应力理论和板的弯曲理论为基础，利用各板结合处的变形和静力平衡条件，建立方程组，可用矩阵形式进行计算。板壳理论 梁格法将上部结构等效为梁格来进行计算分析。B 比拟杆法C 变分法D 数值解法有限元法、有限条法和有限段法3.2 T梁剪力滞的比拟杆分析方法简介3.2.1 基本原理(1) 基本假定a） T形梁在竖向荷载作用下，原来由
4、翼板和腹板共同承担的内力，现在模型化为由一块加劲板与一根下弦杆组成的等代结构来承担，而中和轴的位置保持不变。b) 加劲板由加劲杆和系板两者组合而成，并且假定轴向力由加劲杆承受，系板只传递剪力，泊松系数的影响略去不计。c) 作用于T形梁任意截面上的竖向剪力Q（x）完全由腹板承受，并且均匀分布于腹板上。于是与腹板相连的那根加劲杆，作用的剪力流可近似为q q0 0(x)=Q(x)/h(x)=Q(x)/h(2) 加劲板面积的计算在前面假定的基础上，我们首先要把等效结构的面积和板厚计算出来。在初等梁理论中，上翼缘的应力为进行等效变换后，上翼缘变为承受轴向力的杆，由于假定了中性轴不变，因此采用的等效面积应
5、满足：假定等效翼缘板的厚度是原翼缘板的倍，那么等效翼缘板的面积用原截面的面积表示为:等效翼缘板的厚度 bthbthhh hh hIbthhbtbhhItzt ztzzzzAzttzhztzthtwwfwww )12(1)2(1 12)12()2(1212)2(1222 222 22 23 23上 上上 上上上上上上上上为求等效系数、，考察等效关系求出上翼缘的等效面积后，接下来是把面积分配到比拟杆上。分配的方法是假定的,是否合理一般需要根据分析结果与实际测试比较确定。分配的方法是把上翼缘板的等效面积bt按中间杆平均分配、边杆分中间杆的一半的原则进行分配；把腹板的等效面积分配到腹板顶面的中间杆上，
6、写成数学表达式是3.2.2 微分方程组的建立微分方程组的建立建立了等效模型以后，我们需要建立模拟分析的微分方程。采用比拟杆法进行剪力滞分析时，分析结果的精度与上翼缘所采用的杆的数量有关，比拟杆越多，分析过程越复杂。工程上常采用最简单的三杆进行分析，即常说的三杆比拟法。以下以五杆比拟为例，介绍其分析思路与过程。(1)方程组的建立取右图所示的五杆加劲板分析。由于假定剪力作用在对称轴线上，因此结构对称，可取一半进行分析。为分析方便，将各杆的面积分别记为右图所示值。建立微分方程的思路是：在距自由端x截面处截取微段x，取拉力为正，对于每根加劲杆,可建立加劲杆轴力与联系板上剪力流的关系在相邻两加劲杆之间的
7、系板上，任意单元的剪切角变化率则为接下来讨论变形关系根据虎克定律，引入应力应变关系根据材料力学，上翼缘等效板中的剪力可表示为由此我们得到了剪力与剪切变形的关系，对两边取导数，于是对q1有一般式为将上式两边各微分一次，并将各杆的平衡方程代入，可以得到式中各参数符号代表的意义如下q1(x)、q2(x)：两块板中的待定剪力流； q0(x) ：腹板顶面上那根杆的已知剪力流函数；建立了上面的方程组以后，通过求解方程组，就能计算出各板上的剪力。在求解方程组之前，我们需要先研究对应于各种实际状态的边界条件。（2）边界条件a 简支梁在梁的两端，轴向力为0。b 悬臂梁自由端：轴力等于零，悬臂端：剪力流等于零简支
8、梁:悬臂梁：自由端：悬臂端：剪力流等于零，即建立了微分方程和确定了边界条件后,就可以进行通过求解微分方程来解决所讨论的问题。3.2.3 微分方程组的求解微分方程组的求解对于微分方程组的求解，可以采用多种方法。资料中介绍了算子法求解，基本思路是将微分方程转化为代数方程。请自学3.2.4 剪力滞效应与有效宽度1） 应力函数与剪力滞系数求出剪力流以后,可以得到各加劲杆的轴力函数Ni(x)和各杆相应的应力。计算出各杆的轴力根据轴力计算出各杆件的应力2） 挠度曲线考虑剪力滞效应后杆件的挠度，可以取一根杆来分析。例如取腹板顶面的三号杆，其应变函数为：azN zzdxwd EE33333 221上上上 根据
9、对上式进行两次积分，就得到了挠曲线的表达式：积分常数可由边界条件确定。计算出考虑剪滞影响的挠曲线后再与按初等梁理论计算的比较，就可以得到以挠度表示的剪力滞系数。3）翼缘板的有效宽度与单向板和短悬臂板的设计一样，在设计中一般不具体地每一截面地计算剪力滞，而是通过认识到剪力滞并考虑其影响后，采用有效宽度的设计方法来进行设计。对于T形梁截面，有效宽度定义为：工程上常用剪滞系数来表示剪力滞的影响：对于比拟杆法，一般是将计算出的各杆的轴向应力拟合成曲线，然后再积分。对于杆比较少的模拟，则根据等效宽度的定义，可写出具体的计算公式来。在比拟杆法中，比拟杆越多，分析的精度越高。最少、最简单的是三杆比拟法，采用
10、三杆比拟法，得到的剪力流微分方程只有一个,最终结果是一个二阶线性非齐次方程,其求解相对要简单得多。采用三杆比拟法进行分析时，杆间距的选取对计算结果有一定的影响，使用时需注意。3.3 箱梁剪力滞的比拟杆分析方法对于箱梁截面(包括带悬臂的箱梁截面)同样可以用比拟杆法进行剪力滞分析。与T形梁不同的是，箱梁截面有下翼缘，采用比拟杆法分析时，下翼缘也需要模拟为加劲板。对于箱形截面，其模拟分析的思路与T形梁一样。相关内容自学。推荐阅读:1王慧东: 薄壁箱梁剪力滞效应及其对桥梁行为影响的研究，西南交通大学博士学位论文，2006年2程海根：薄壁箱梁剪力滞效应理论分析与试验研究，西南交通大学博士学位论文，200
11、3年3.4.1 基本假定在本节介绍的计算T形梁的剪力滞的变分法中，为改善挠度计算精度，选取三个独立的广义位移、，以考虑腹板剪切变形的影响。)(xU)(xw)(x3.4 T形梁剪力滞的变分方法形梁剪力滞的变分方法( )U x剪滞效应引起的附加纵向位移(x)-截面转角在这里的推导中，放弃了直法线假定，采用了截面转角这样的广义位移。为建立分析方程，引入以下四条假定：（1） T形梁在竖向荷载作用下，截面中和轴仍位于初等梁理论计算的位置；（2） 翼缘板纵向位移沿宽度方向按三次抛物线变化（作此假设的前提一般是根据过去的试验和经验，通过理论分析与实际比较相符）),(yxu（3）翼缘板的竖向纤维无挤压，即,翼
12、缘板平面外剪切变形以及横向应变，均很小，可略去不计。(4) 对于超静定梁，当计算外荷载产生的弯矩M(x)分布时，不考虑翼缘板有效宽度的变化对它的影响，即M(x)沿跨长方向的分布为已知函数。在上述假定下，利用最小势能原理，求变分方程的驻值条件，从而建立广义位移的微分方程，求解微分方程，求出广义位移，从而获得截面实际的应力分布。在上述假定下，剪切应变可写为wwx一般采用直法线假设时，w3.4.3 结构总势能结构总势能由三部分组成，即外荷载势能、腹板应变能和翼缘板应变能。在后面的推导中，计算外荷载势能时，考虑剪力在剪切变形上所做的功腹板的应变能可根据其应变能密度积分求得翼缘板的应变能为上式中的正应变
13、和剪应变可根据u(x,y)的表达式写出将正应变与剪应变的表达式代入翼缘板应变能的表达式中将正应变与剪应变的表达式代入翼缘板应变能的表达式中,对对y积分积分dxEGEdxGdxtGbdydxGdxdyGtdxdyGEtbUIbUIbUhUhbyfxxfxxxxbxxuxxbfffuxxbxuf22212221222121221064 2122102212210259 2159 2159221921221)(221 210121022101)()1 ()1 (2)()1 (22 3333 222 33 212212221xxbxxbxxbxufdydxUbyUbyhUbyhtEtEdydxtEdx
14、UEbGUUEdxUUEdxUUtEdydxUbyUbyUbyUUtExxffffxxfxxbxxIIhh59)(149 23)(21)(149 23)(21)(149 23)(2221)()(22)(2)(22212 22221212221222112 6602 3333 22211221hItbf将外荷载势能、腹板应变能和翼板应变能合并，得结构的总势能将外荷载势能、腹板应变能和翼板应变能合并，得结构的总势能IIwfI3.4.5 基本微分方程的建立写出了结构的总势能后，利用最小势能原理就可以建立利用变分法计算结构剪力滞的基本微分方程。根据变分法则，对包含三个广义位移的能量泛函式求一阶变分，再
15、经过简化可写出关于广义位移的基本微分方程根据变分原理，我们可得到所讨论问题的基本方程和边界条件将上面的（2）、（3）式相加，并去掉负号，得将上式与第（1）式联合，可得到分离的关于广义位移的方程n，k称为瑞斯勒参数。由上面的推导过程得竖向挠度的微分方程为接下来我们考查边界条件对于非固支边，由于U、的任意性，因此在前面的定积分中，应有上面的表达式说明，在两端边界条件位置满足上述方程。对上两式进行整理合并，分别写出两关于两广义位移的表达式的边界条件对于固支边，由于u=0,u=0，由方程可写出“的表达式，再将以上基本方程的建立是按张元海在桥梁结构理论分析一书中所采用的翼缘板位移假定推导的。他采用了三个广义位移来假定位移函数。一般的书上，是采用两个广义位移，即(x)采用dw/dx代替，这样就少了一个广义位移。采用三个广义位移推导的关于U(x)的方程和边界方程是与采用两个广义位移推导的结果一样，所不同的是采用三个广义位移能提高挠度曲线的计算精度。代入，并注意到边界U=0，于是得到边界条件根据同样的思路得到z上是中和轴到上翼缘顶面的距离，即前面推导中用的h1为学习方便，下面我们给出采用两个广义位移推导得到的结果：1） 假定的翼缘板的位移函数2）推导得到的两个关于广义位移的微分方程3）边界
