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1、1. 求下列微分方程的通解 (1)yy2y0 解 微分方程的特征方程为r2r20 即(r2)(r1)0 其根为 r11 r22 故微分方程的通解为yC1exC2e2x (2) 02520422xdtdx dtxd解 微分方程的特征方程为4r220r250 即(2x5)20 其根为 故微分方程的通解为25 21rr 即 ttxeCeCx252251tetCCx2521)(2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)y4y3y0 y|x06 y|x010 解 微分方程的特征方程为r24r30 即(r1)(r3)0 其根为 r11 r23 故微分方程的通解为yC1exC2e3x 由 y|x06
2、 y|x010 得 10362121 CCCC解之得 C14 C22 因此所求特解为y4ex2e3x(2)4y4yy0 y|x02 y|x00 解 微分方程的特征方程为4r24r10 即(2r1)20 其根为 故微分方程的通解为21 21rr )(2121 xCCeyx由 y|x02 y|x00 得 0212211 CCC解之得 C12 C21 因此所求特解为)2(21 xeyx3.求微分方程通解 (1)yxex 解 12Cexedxxeyxxx 21122)2(CxCexedxCexeyxxxx 3221213)22(CxCxCexedxCxCexeyxxxx原方程的通解为 32213CxC
3、xCexeyxx(2) 211 xy 解 12arctan11CxdxxyxCdxxxxxdxCxy1211arctan)(arctan 212)1ln(21arctanCxCxxx原方程的通解为 2121lnarctanCxCxxxy4. 判定下列级数的收敛性 (1) 12!nn nn n 解 因为 12)1(lim2!2) 1()!1(2limlim111 enn nn nn uunnnnnnnnnn所以级数收敛 (2) )43( )43( 3)43( 24332 nn解 这里 因为nnnu)43( 143 431lim )43()43)(1( limlim1 1 nnnnuunnnnnn
4、n所以级数收敛(3) ! 33 ! 22 ! 114444 nn解 这里 因为!4nnun 10)1(1lim! )!1() 1(limlim3 441 nn nnn nn uunnnnn所以级数收敛(4) 1) 2(1nnnn解 因为 而级数发散 121lim1) 2(1limnnnnnnnn11nn故所给级数发散5判定下列级数是否收敛？如果是收敛的 是绝对收敛还是条件收敛？(1) 41 31 211 解 这是一个交错级数 其中 11111) 1() 1( nnnnn nunun1因为显然 unun+1 并且 所以此级数是收敛的 0lim nnu又因为是 p1 的 p 级数 是发散的 111
5、1|) 1( | nnnn nu所以原级数是条件收敛的 (2) 111 3) 1( nnnn解 11111 3|3) 1( | nnnnnnn因为 所以级数是收敛的 131331lim1 nnnnn 113nnn从而原级数收敛 并且绝对收敛 (3) 21 31 21 31 21 31 21 31 432 解 这是交错级数 并且 11 21 31) 1( nnn 111 21 31|21 31) 1( | nnnnn因为级数是收敛的 所以原级数也收敛 并且绝对收敛 121 31nn5求下列幂级数的收敛域 (1)x2x23x3 nxn 解 故收敛半径为 R1 11lim|lim1 nn aannn
6、 n因为当 x1 时 幂级数成为 是发散的 1nn当 x1 时 幂级数成为 也是发散的 1) 1( nnn所以收敛域为(1 1) (2) ) 1( 21222 nxxxnn解 故收敛半径为 R1 1) 1(lim1) 1(1lim|lim22221 nnnn aannnn n因为当 x1 时 幂级数成为 是收敛的 当 x1 时 幂级数成为 221) 1( nn n 也是收敛的 所以收敛域为1 1 1211 nn(3) )2( 4264242232 nxxxxn解 故收敛半径为 R 收敛域0) 1( 21lim)!1(2!2lim|lim11 nnn aannnnnn n为( ) (4) 333
7、32313322 nnnxxxx解 故收敛半径为 R3 31 131lim3) 1(3lim|lim11 nn nn aannnnnn n因为当 x3 时 幂级数成为 是发散的 当 x3 时 幂级数成为11nn 也是收敛的 所以收敛域为3 3) 11) 1( nn n6. 求两平面 xy2z60 和 2xyz50 的夹角 解 n1(A1 B1 C1)(1 1 2) n2(A2 B2 C2)(2 1 1) 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 21 1122) 1(1| 121) 1(21 |222222 所以 所求夹角为 37. 求直线 L1:和 L2:的夹角
8、13 411zyx 122 2zyx解 两直线的方向向量分别为 s1 (1 4 1)和 s2 (2 2 1) 设两直线的夹 角为 则 22 21 ) 1() 2(21) 4(1| ) 1(1) 2() 4(21 |cos222222 所以 48. 一个平面过两点 M1(1 11 1)、M2(0 1 1)，且垂直于平面 x+y+z=0,求其方程 解从点 M1到点 M2的向量为 n1(1 0 2) 平面 xyz0 的法线向量为 n2(1 1 1) 设所求平面的法线向量 n 可取为 n1 n2 因为 kjikji nnn211120121所以所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0 即 2xyz0
9、 9. 求与两平面 x4z3 和 2xy5z1 的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程 解平面 x4z3 和 2xy5z1 的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s 因为 )34(512401)52()4(kjikji kjikis 所以所求直线的方程为 15 32 43zyx10. 函数的定义域为 。 )1ln(4222yxyxZ2224001xyxy(x,y)且11. 求下列函数的全微分 (1) 设，则为 3ln(2)zxydz2323 2dxy dy xy (2) ，则为 yzeyxu2sindudzyedyzeydxduyzyz)2cos21(12. 设 zu2ln v 而 v3
10、x2y 求 yxuxz yz 解 xv vz xu uz xz 31ln22vu yvu222)23 (3)23ln(2 yyxxyxyx yv vz yu uz yz ) 2()(ln222vu yxvu2232)23 (2)23ln(2 yyxxyxyx 13. 设 zex2y 而 xsin t yt3 求dtdz解 dtdy yz dtdx xz dtdz2223) 2(costeteyxyx )6(cos)6(cos22sin223ttettettyx14. 求下列函数的 22xz 22yz yxz 2zx4y44x2y2 解 2384xyxxz22 22812yxxz yxyyz23
11、8422 22812xyyz xyyxyyyxz16)84(23215. 设 求及022xyzzyxxz yz 解 令 则xyzzyxzyxF22),( xyzyzFx1xyzxzFy2xyzxyFz1 xyxyzxyzyz FF xzzx xyxyzxyzxz FF yzzy 216. 设 x2y2z24z0 及xz yz 解 设 F(x y z) x2y2z24z 则 Fx2x Fy2z4 zx zx FF xzzx 242217. 求曲线 xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程 解 因为 xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数 t1 所以T (1
12、 2 3) 于是 切线方程为 31 21 11zyx法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0 即 x2y3z6 18. 求旋转抛物面 zx2y21 在点(2 1 4)处的切平面及法线方程 解 设 f (x y,z)x2y2z1 n(fx fy fz)(2x 2y 1) n|(2 1 4)(4 2 1) 所以在点(2 1 4)处的切平面方程为4(x2)2(y1)(z4)0 即 4x2yz60 法线方程为 14 21 42 zyx19. 求函数 f(x y)(6xx2)(4yy2)的极值解 解方程组 0)24)(6(),(0)4)(26(),( 22yxxyxfyyxyxfyx得 23 yx 00 yx 40 yx 06 yx 46yx
