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1、 6 0 中学数学月刊 2 0 1 2年第 1 2期 一道高考最值问题的发散性思维及思考 王余娟 ( 江苏省赣榆 高级 中学2 2 2 1 0 0 ) 题 目( 2 0 1 1年浙 江卷 文 1 6题 ) 设 ， Y为 实数 ， 若 z 。 +y + x y一1 ， 则 z+y的最大值是 本题简明扼要 ， 看似平凡 ， 其实是一道可以用 来归纳求解二元条件限制下求最值的方法和技巧 的好题 ， 对启迪学生的发散性思维， 拓宽学生的解 题思路很有帮助 笔者以此题为载体， 在高三二轮 复习课中引导学生进行 了一次发散性思维训练 ， 并引发了几点思考 ， 现记录下来与同行交流 1 问题 解 决 在课堂
2、上 ， 通过教师的点拨和引导 ， 学生集思 广益 、 合作交流 、 积极探究 ， 动态生成了以下 1 2 种 解法( 为节省篇幅， 略去课 堂实录 当然可能还有 其他解法 ， 因此方法不尽完善) ， 达到了一题多解 的 目的 解法 1 因为z + +x y= = = 1 ， 所以( z+ ) 。 一z 一 1 ， 所 以 ( Iz + ) z f 蔓 1 1 解 之 得 ( z+ ) z 了 4 ，即一垒 + 所 以 z n +Y的最大值是 0 解 法 2 因为 z +y 2 x y， 所 以有 1 一 x y 2 x y ， 解 得 z 专 因为 z + y 。一 2 x y， 所 以 有
3、1一 x y 一2 x y, 解得 一1 ， 故有 一1 z 了 1 ，O 1+z 4 因为 ( z+ ) 一z 。 + - F 2 x y= = = z + +x y + x y一 1+ x y， 所 以 0 ( z+ ) 。 4 ，即 一 z+ ， 所以 + 的最大值是 解 法 3 由 z + + x y = 1 ， 得 3 ( 生 ) + ( ) 一 ， 故 3 ( ) 。 一 ( ) 卿3 ( ) 1 ，得 譬 ，所 以 z + 的 最 大 值 是 竽 解法 4 由柯西不等式 c z+ 一(丢 z + ) + z 于 A， B两点 ， 当且仅 当点 P是 AB 的中点时 ， A0 B(
4、 O为原点)的面积最小， 最小值为 2 mn， 此时的直线方程为 + 一1 乙。 f r 乙 ! L 将结论 1 进行推广可得： 结论 2 过角内部一定点的直线与角的两边 相交成三角形， 当过定点的直线被角的两边所截 得的线段以定点为中点时 ， 所成三角形面积最小 本结论 的证 明见文 2 引导学生多角度思考 ， 由特殊猜想一般性结 论 ， 拓宽了思维的渠道 ， 体验了数学发现和创造 的 历程 ， 有助于激发学生学习数学的热情 数学教学应提倡将教材中的例习题进行探究 延伸和拓广 ， 这样就会得到一些综合性强 ， 符合创 新精神的新命题 探究应结合教材的内容和学生 的实际， 在教师的启发和指导下
5、 由学生讨论完成 教师引导下的这种数学探究活动是新课标数学探 究性学习的一种行之有效的方法 ， 有助于培养学 生的创新意识和提 高学生的综合能力 ， 符合新课 程改革与时俱进的要求 参考文献 1 黄顺贵 由一道例题浅谈学生探究能力的培养 J 中学数学 ， 2 0 0 3 ( 8 ) 2 刘建玉 快速求解三角形面积最小值 J 数学通 报 ， 2 0 0 1 ( 3 ) 2 0 1 2年第 1 2期 中学数学月刊 6 1 ( 丢 z + ) 。 + 3 z + ) 一 ， 所 以 一 + 筝故 z + 的 最 大 值 是 竽 解 法 5 构 造 向 量 ，设 m =： ( 号 z + ， z )
6、， n 一( ) ， 则 z + m n I m I l 一 。 + ) 一 竽， 所 以 + 的最大值是 解法 6 令 z+y一 ， 则 Y 一 一z， 代人 z 。 + y 。x y一1 并化简得 X 一tx+t 一1 一O 要使该 方程 有解 ， 必有 根 的判别 式 A一 ( 一 ) 。 一 4 1 ( t2 - 1 ) 。 ，解 得 一 筝 竽 所 以 一 竽 z + ，所 以 z + 的 最 大 值 是 竽 解法 7 由 z +y - - x y一1 ， 得( z+ ) 。 一1 +x y， 设 X+ 一 ， 则 x y一仇 一1 ， 这说明z， Y 是 方 程 t 。 一 mt
7、+m。 一 1 0的两个 根 ， 必 有根 的判 别式 一( 一 ) 一41 ( m 一 1 ) 0 ， 解得 一竽 所 以 一 竽 z + 筝， 所以 z+ 的最大值是 解 法 8 由 z 。 + + z y = l ， 得 ( z + 詈 ) + ( ) 设 z + 詈 一 = s i + 一 +詈+詈-c 刚 + s |n 一 去 (s in + 号 ) ， 所 以 + 的 最 大 值 是 2 3 3 解 法 9 由 z 。 + + z 一 1 ， 得 3 ( 蔓 ) + ( ) 2 _ 1 由 s in 2 a + C O S 2 _ l ， 可 设 半 一 _= -COS ，得 z+
8、y-堑 2 ，所以 z+ 的最大 4 3 3 3 值是 解法 1 0 令 z一口 +b ， Ynb ， 代人 + y +x y一1 ， 整理得3 a 。 一1 一b 。 1 ， 即口 。 ， 所以 l l ， 所以 z+y的最大值是 解法 l l 由实数 z， Y满足3 7 。 +y +x y一1 知， z， Y 应 同时为正时z+y取得最大值 ， 所 以y一 二 二鲨 令z ： = = I n 一 x+44 Tz 3 x( z z 4)， 求 导 有z ， 一 1 ( H志) ， _ O 得 z = ，所 以 +Y的最大值是 解 法 1 2 由实数 z， Y满足z +y +x y= = ：
9、1 ， 知 z， Y应同时为正时z+ 取得最大值 构造三角 形满足 X 。 + 一2 x y c o s l 2 0 。 一1 ， 设 z所对的角为 口 ， 由正弦定理知 i n 一 s n o f 一S l n ， S l LbU J 上 U 故有 x+y一 s i n a+ s i n ( 6 0 。 一a ) 一 s i n ( a 3 3 3 + 6 0 。 ) ， 所 以 z+ 的最 大值 是 2 解 法探 讨 解法 1 ， 2的思路是不等式法 利用基本不等 式 口 +b 。 2 a b ( 口 ， bR)的等价变形求出函数 的最值 ， 进而确定函数的值域 我们特别需要注意 等号成立
10、的条件及是否能取得等号 ； 解法 3的思 路 是 配 方 法 将 原 式 配 成 3 ( 曼 ) + ( ) 一1 ， 再利用不等式 的性质； 解法 4的思路是利用 二维柯西不等式( 口 b +a 2 b ) ( 口 ； +b ) ( n ； + b ； ) ； 解法 5的思路是向量法 由已知函数式结构 与向量数量积的相似性 ， 利用 m n l m 1 I l 求出最大值 构造 向量直观 明了， 但有一定 的难 度 ； 解法 6 ， 7的思路是判别式法 ， 从方程有解的角 度考虑 ， 这是解此类问题常用方法之一 ； 解法 8 1 0的思路是换元法 通过引入一个或多个新变量 或代数式代替原来
11、的变量或代数式或超越式 通 过换元我们常常可 以化高次为低次 、 化分式为整 式、 化无理式为有理式等 ， 这样我们就能将 比较复 杂的函数转化成易于求值域 的函数进行求解 ， 达 到化繁为简、 化难为易的目的， 但要关注新元范围 和注意换元前后 的等价性 ； 解法 1 1的思路是从函 6 2 中学数学月刊 2 0 1 2 年第 1 2期 数的视角 ， 将方程转化成函数 ， 利用函数求最值的 常用方法 求导 但在求解时要分析变量的范 围 ， 以防 出现不 必 要 的错 误 ； 解 法 1 2的思 路 是 构 造法 由等式的特点联想三角形 中的余弦定理 ， 构 造三角形 ， 再利用三角函数 的有
12、界性 构造图形直 观明了， 但有一定的难度 ， 需要认真研究等式的特 点 3 思考 ( 1 ) 解题教学应以整合知识 、 发散思维和提 升 能力 为 目标 本节课通过一题多解 ， 几乎涵盖了在二元二 次条件限制下求最值 的所有方法 ， 整合 了知识结 构 ， 深化 了学生对求最值的思路 、 方法的真正领会 和理解 ， 为学 生从 不 同角 度 、 不同层 次思考 问题 提 供 了多维视角 使学生的思维在灵活性、 广阔性 、 深刻性 、 创新性等方面得到了一定的锻炼 ， 发展 了 学生的思维， 提高了学生的解题能力 众所周知， 学习数学的过程与数学解题紧密联系 ， 而数学能 力的提高在于解题 的
13、质量而非解题数量 显然 ， 分 析和研究高考试题 的解题思路 、 探究解题过程是 学生学会解题和掌握数学技能的有效途径 ， 对发 展学生的思维、 提高学生分析 问题和解决 问题 的 能力大 有裨 益 因而 ， 解 题 教学 应 以整合 知 识 、 发 散思维和提升能力为 目标 ， 注重 引导学生探究解 题的方 向和策略， 帮助学生在解题过程中不 断总 结经验， 积累解题的思维方法； 对问题所涉及的知 识点 、 数学思想和方法予以适 当提炼， 帮助学生构 建知识 网络， 深化学生的理性认识 ， 提高学生的思 维水 平 ( 2 )解题教学应注重挖掘课本例题 、 习题和 高考题的潜在教学功能 本节课
14、 通 过 一 道 高 考 试 题 的发 散 性 思 维 训 练 ， 深入浅 出地把求最值的基本方法提炼出来 ， 并 进一步巩固了相关知识， 深化了教材内容， 达到了 训练思想方法和技巧的 目的 我们常常强调课本 例题 、 习题和高考题在高三复习教学 中的地位和 作用， 认为它是高考命题组集体智慧的结晶和高 考命题的生长点 那么具体怎样实施教学才算抓 住 了教 材 ， 以至 于能 活用 教 材 ?这 是 一个 永 恒 的 话题 我们也知道 ： 每年有许多高考试题都源于课 本例题 、 习题 和以往 的高考题 每次考试过后 ， 总 有学生埋怨 自己没有重视课本 ， 没有复 习好课本 和做好历年高考试
15、题， 也总有教师抱怨学生连课 本习题和一些简单高考试题都不会做 那么 ， 我们 的教 师是 否应该 反思 我们 的教学 呢 ? 新课程倡导教师在教学时重视课程资源的开 发与利用 ， 教材是教师进行教学的主要课程资源 ， 是学生智能的生长点 ， 是高考命题的重要依据 课 本例题、 习题和高考题简明扼要、 难度适 当、 编排 合理 ， 它们在知识上具有典型性 ， 在方法上具有示 范性 因此， 教师在平常的教学中， 应认真钻研教 材 ， 研究高考试题 ， 抓住课本 中的经典例题 和习 题 、 历年高 考题 中的经典例子 ， 精心设计课 堂教 学 注重对课本例题 、 习题 和高考题 的分析 与研 讨 ， 在传授知识过程中充分挖掘课本例题、 习题和 高考题的潜在教学功能 ， 做 到以少胜多 ，
