巧用导数“导”出参数

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1、圆 一 一 【 解题方略】 巧用导数 “ 导 出参数 曾安雄 导数是初等数学与高等数学 的重要衔接点 ， 是 高考的热点 ， 高考对导数的考查定位于作为解决初 等数学问题的工具出现 对于一些有关切线、 单调性 逆向题中， 求参数或参数范围， 这时可借助于导数工 具“ 导” 出参数 一 、已知相切或切线， 用导数“ 导” 出参数值 例 1 ( 2 0 0 9年高考北京文科卷) 设 函数f ( ) = 一3 a x+ b ( o 0 ) ， 若曲线Y= ) 在点( 2 ) ) 处与直线 Y=8相切 ， 求 口 、 b的值 分析由已知直线 Y= 8与曲线相切， 则切点处 的导数值 为 0， 故对 函

2、数求导 即可解 决 解求导 ， 得厂( )= 3 x 一 3 o 因为曲线 Y= ， ( ) 在点( 2 ) ) 处与直线Y= 8 相切 ， 所 以 评注关键是根据已知条件， 列出关于 o 、 b的 方程组 ， 用方程的思想解决 例 2 ( 2 0 0 9年 高考全国卷 I)已知直线 Y= +1与 曲线 Y= I n ( +口 ) 相切 ， 则 a的值为 A1 B 2 C一】 D一2 会创新 ， 依赖现成的解答 ， 越来越远离学生的思维起 点， 无视学生的需求， 有时还会感到学生比较“ 笨” 而学生每天都面对着新面孔 的问题 ， 每次考试 ( 包 括高考) 都考新问题 ， 如果教师不改变拿来主

3、义 的 做法， 不掌握接受新问题、 创造新解法的招式 ， 就无 法给学生支招， 学生就无法应对新挑战 ， 只有当教师 改变生搬硬套现成解答的习惯 ， 自主探究， 不断创 新 ， 才能教会学生创新 2 解题是 思维训练 ， 不是技 术 数学是门科学， 可是很多人基本上是把它当 作技术来学的， 解题是思维训练 ， 不能把解题作为程 序、 技能教给学生目前教师进行解题教学的模式 是： 遇到问题一查找解答一掌握方法一课堂讲解一 学生解题， 这一程序其实质就是把解题当作 固定不 变的技术加以传授， 其中的核心环节就是教师套用 现成解答， 不是把解题分析当作是再创造， 作为发现 问题 、 解决问题的过程

4、， 而是把解题方法当作一门技 术， 一成不变、 千篇一一 律地复制给学生 ， 不 同的学生 一种模式 ， 不同的时期一种解法， 最终学生掌握的是 解题技术和技能 ， 获得的不是能力的提高、 思维品质 的优化， 因而解题越多， 技术也许越熟练， 但能力未 5 2 能相应提高， 教师教得苦， 学生学得累， 考试考不好 3 站在学生的角度思考教学 学 生学 习数学 的过 程是学 习新知 识 、 发现新 问 题 、 解决新问题的过程 学生在学习过程中往往没有 现成的答案 ， 甚至没有现成的问题， 因此教师要依据 学生的年龄特点和学习基础、 兴趣 、 态度等情况来备 课， 设想自己处在学生的地位会怎样学

5、习教材上的 内容， 在解题思维 中会遇到什么困难?怎样运用所 学知识解决问题?哪些思路适合学生的思维发展规 律?哪些解法学生可以自行探究?哪些解法可以让 学生讨论解决?哪些解法学生喜欢， 能激发学生兴 趣 ， 提高学习积极性?哪些解法背离学生的思维发 展规律?当教师的角色与学生的角色融为一体， 当 教与学有机统一时， 学生的数学能力就能提上去， 学 生的负担就可以减 下来 ， 数学课堂教学就会高质 高效 【 作者简介】 王成杰， 刘新春， 江苏省扬 中高级 中学( 2 1 2 2 0 0 ) 【 原文出处】 中学数学月刊 ( 苏州) ， 2 0 0 9 1 2 9一l 1 S E NI OR数

6、 H I G H SCIM A TEACH I N G AND LEARNI N G I N S ENI OR H I GH SCH与 O O学 L 鬟 册 1；EB 分析显然切线的斜率为 1 ， 由此利用导数， 可 求出切点的坐标， 从而使问题获解 解由题意， 知 曲线 Y=I n ( +n ) 与直线 Y= +1相切时， 斜率为 I 设 切 点 为 ( 。 ， y o ) ， 又 ) ， I_， 有 ， 。 去 ， 得 0 +口=1 又 Y o = 0 +1=I n ( 0 +n )=l n l= 0 ， 解得 = 一1 ， Y 0 = 0 ， 0= 2 故选 B 点评对于曲线的切线问题，

7、 常常是先求导 ， 从 而使问题解决 例 3( 2 0 0 9年高考 江西文科卷 ) 若存在过 点 ( 1 ，0 ) 的 直 线 与 曲 线 )， = 和 y = 似 2 + 萼 一 9 都 相 切 ， 则 口等于 A _域一 B -1 或 c 一 或 一 筹D 一 或 7 分析过点( 1 ， 0 ) 的切线， 该点未必是切点 ， 故 应先设切点， 再求切点 ， 即用待定切点法 解设过( 1 ， 0 ) 的直线与 Y： 相切于点( ， ) ， 所以切线方 程为 Y = 3 02 ( o ) ， 即 Y=3 X 2o x一2 X 3o 又( 1 ， 0 ) 在切线上， 则 = 0 或=一 当 。

8、 = 0 时 ， 由 ， = 0 与 y = 似 2 + 萼 一 9 相 切 ， 可 得 。 = 一 箬 当 = 一 丢 时 ，由 = 一 与 = I f,2 + 一 9相切， 可得 0=一1 所 以选 A 评注本题关键是求出切点 二、 已知存在切线 。 用导数“ 导” 出参数范围 例 4 ( 2 0 0 9年 高考福 建卷 ) 若 曲线f( )= 似 + l 似 存在 垂 直 于 Y轴 的切 线 ， 则 实数 取值 范 围是 分析存在垂直于 Y轴的切线， 则切线 的斜率 是 0， 利用导数法来解决 解由题意可知 厂( )=2 a x + ， 又 因为存 在垂直于 Y轴的切线， 所 以 2 a

9、 x + 1 = 0 n=一 ( 0 ) 8的取 值范围是(一。 。， 0 ) 评注注意“ 已知相切” 与“ 存在切线” 不同， 用 导数“ 导” 出的参数， 往往前者是具体的一个值或两 个值 ， 而后者是范围 例 5( 2 o o 9年高考重庆文科卷 ) 已知_厂 ( )= + + c为偶 函数 ， 曲线 Y： ( ) 过 点( 2 ， 5 ) ， g ( x )= ( +n ) 若曲线 Y= g ( ) 有斜率为 0的切线， 求 实数 0的取值 范 围 分析先由偶 函数， 得到 b ， 再由过点( 2， 5 ) ， 求 得 c ， 得到 g ( x ) 的解析式， 用导数再导出 。的范围

10、解因为f ( )= + +c为偶函数 ， 故恒有 ， ( 一 )= ) ， 即恒有 (一 ) +b (一 )+C = +6 +c ， 也即 b x= 0恒成立， 故 b =0 又曲线 Y= ， ( ) 过点( 2 ， 5 ) ， 得2 +c = 5， 有 C= 1 此时 g ( )=( +o ) L 厂 ( ) = 3 + 似 2 + + 0 从 而 g ( )= 3 x + 2 a x+1 因为曲线Y= g ( ) 有斜率为0的切线， 故g x )= 0有实数解 ， 即3 +2 a x+1 = 0有实数解 因此应有 =4 a 一1 2I0 ， 解之可得 实数 。 的取值范围 是( 一 ， 一

11、 3 u ， + ) 评注对 于 “ 曲线 Y=g( ) 有 斜 率 为 0的 切 线” ， 可利用导数转化 为“ g ( )：0有实数解” ， 即 i0 ， 体现了转化的思想 三、 已知极值或最值， 用导数“ 导” 出参数值 例 6 ( 2 0 0 9年高考辽宁文科卷) 若函数 ， ( )= ， 在 =1在处取极值， 则 。= 分析求出导数， 利用厂( 1 )= 0 ， 求得参数 o 解 )= t 十l J 由于在 =1处取极值 ， 则 5 3 高中数学教与学 e O l a ； s 。 M A TI t S TEA Ct t l NG AND LEARNI N G I N SENI OR

12、HI GH SCH OOl, ( 1 )= = 0 ， 解得 n=3 评注本题是运用导数解决极值问题 一般地 ， 当函数 ) 在 。 处连续， 判别 。 ) 为极大( 小) 值 的方法是 ： ( 1 ) 如果 在 附近 的左 侧 厂( )0 ， 右侧 _厂( ) 0 ， 那么_厂 ( 。 ) 是极小值 四、 已知实根个数， 用导数“ 导” 出参数范围 例 7 ( 2 0 0 9年高考江西文科卷) 设函数 )= ， 一 z+6 一。 ( 1 ) 对 于任意 实数 ( ) m恒成 立， 求 m的 最 大值 ； ( 2 ) 若方程l厂 ( )= 0有且仅有一个实根 ， 求。的 取 值范 围 分析第(

13、 1 ) 小题， 先求导 ， 再利用 O ， 求出 m的范围， 得 m最值； 第( 2 ) 小题 ， 方程f ( )=0只 有一个实根， 知与 轴只有一个交点， 可求导 ， 利用 单调性及极值来解决 解( 1 ) 厂( )= 3 x 一 9 x +6 =3 ( 一1 ) ( 一 2 ) 因为对 (一。 。， + ) ( ) m， 目 口 3 一 9 +( 6一m) 10 恒成立， 所 以 x= 8 11 2 ( 6一m) O， 得m 一 ， 即m的最大值为一 ( 2 ) 可知当 0； 当 1 2时 ( ) 0 所以当 =1时 ( ) 取极大值 0或 1 ) 二 评注方程-厂 ( )= 0只有一

14、个实根 ， 画一个草 图， 结合极值及单调性比较容易看出 5 4 五、 已知单调 性 。 用导数“ 导” 出参数 范围 例 8 ( 2 0 0 9年 高考 浙江文科 卷)已知 函数 ， ( )= +( 1 一n ) 一r 上 ( 口+ 2 ) + 6 ( 、 6 R) (I) 若函数 ) 的图象过原点， 且在原点处的 切线斜率是 一 3 ， 求0 、 b的值； ( ) 若函数， ( ) 在 区间( 一1 ， 1 ) 上不单调， 求 n的取值 范围 分析第( 1 ) 小题是已知切线斜率 ， 可先求导 ； 而第( 2 ) 小题是不单调 ， 可转化_厂( ) 为在(一1 ， 1 ) 上存在零点， 利

15、用零点存在定理来解 解(I) 由题 意得 厂( )= 3 x + 2 ( 1 一。 ) 一 。 ( n+2 ) 0 ) =b= 0 ， 义 i 厂 ( 0 ) ： 一 8 ( 0 + 2 ) ： 3 ， 解得 b= 0 ， 0=一3或 。=1 ( ) 函数 f ( ) 在区间(一1 ， 1 ) 上 不单调 ， 等 价于 导函数f( x ) 在(一1 ， 1 ) 上既能取到大于 0的实 数 ， 又能取到小于0的实数 ， 即函数厂( ) 在(一1 ， 1 ) 上存在零点 根据零点 存在定理 ， 有 厂(一1 ) 厂( 1 ) 0 ， 即 3+ 2 ( 10 )一。 ( 0+ 2 ) 32 ( 10 )一 n ( 。+ 2 ) 0 整理得 ( + 5 ) ( n+1 ) ( 01 ) 0， 解得 一5 0 一 1 评注若已知函数在某区间上是单调的， 求参 数的范围， 常常转化为导函数恒成