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1、第? ?卷第期? ?年 月河海大学学报! # %尸气一端,一“若+ 第? ?卷第刁期任权等方差分量估计和多余观测分量计算方法探讨?:?=? 件子曰 了叮了+5入尹厂,%。6 一?5%厂%。656尽5% 厂八了?69? 5%厂%,%厂八6名5万厂%,%厂%。6尽%厂%。八了厂5%。%口6.5%厂八厂,6故泞尸5%厂,%,%厂%=6 刀5%厂%,6 一?5%厂%,69一.85%厂,入2%矛入了7656.85%厂%。%厂%6 .85%厂%69万85%厂八厂。%厂%=6召尸5刃厂刃刃厂5刃2万。%。6尸5八了厂万。6故.5%厂%八了厂%。6. 5%厂%6 一. 5% 矛%矛69一.5%厂%,% 厂%6
2、56名尸5% 厂刃。% , ,%。6尸5%厂,%万厂%=6习85% 奋%=69. %厂%!厂5%,%口6泞5八, %。6顾及 式5 =6,5 6,5 6,上式可写 成尽尸5八厂厂%。69二一.5%厂%,6 一.5%厂%6?5%, %。69. 尸5八厂厂%6. 5八了厂%,%厂%6将5 =6一5 6式代入56式,可 得一.5%厂刃,6.5%厂%。6. 5%厂%,%厂%6对。一9万5%厂,%6尽5八厂厂,%。69称一+! ?!. 5%厂%。6一尽5%厂%69一. 5%厂%2%厂八厂6.85八了, %6 一. 5八厂, %。69一万5%厂%=% , %、6忍。一十占85入厂, %,69十.5八了厂%
3、769.85% 厂%一%入6由式56知,只要算出朋协厂厂%,6,. 85%, %。6,. 85%厂%6,. 85%厂叭了69,. 85%厂%,%厂%76,即可由式5 =6一5 6求出. + ,5%厂认。6,. 85八厂%。69,朋5%厂%。%, %。6,. 85入7%厂%=6,亦 即只要 算 出., ,.,;,9;,.阵中的其 他元素.,尽9, 均可由以上关系式求出2计算朋5刃厂,6,朋5万厂。6,朋5%厂%76,. 85刃厂%、6及朋5刃厂。%, %。6,仍可采用矩 阵迹 运算规则来处 理2. 5八了厂八不。6 .85%, 可, =6 万5,%厂刀丁8 =65=6.5%矛%,69.85%厂叮
4、,%百8, = 6名尸5,%厂刀丁。6 5。%厂,丁只656同理可得.85八厂, 一6.85、% 厂丁8656泞5%厂%69.57%厂刀丁765、%厂刀丁656. 5万厂八,%, %6 .5人厂厂丁8 =6 5,八了厂丁6256式5? =656将矩阵与矩阵相乘,转化为向量与矩阵相乘,由于 在机 内 总是保留着% 厂,计算时只要调用一个观测值的误差式 系数与万厂相乘,即可计算出矩阵的迹2929消去定向角未知数 后 的方差 分 量估 计公式按照分块矩 阵求逆的原理,%矛的逆阵为、;?一一%夕石云孟八厂9 +%石?一%石%;9夕云方元?一降。门吼;心。5?:6?:9河海大学学报? ? ?年月式中方石
5、万,刃石? 9万云,%成石,5?=6方云, 5万9 ;一万; ?万石,万? 96一5? 6万粼儡即为消去定向角未知数后的约化法方程系数 阵的逆阵2顾 及53=6一5。6及式5? :6,式5 =6一5 6可写成5=6胆5%矛,%26一朋5公% 墨;6一. 85仇%茎;65? 9=656朋5%矛,%2% 厂+%。6一. 85公%墨96 一即5认,%基969一. 85仇%签 二%盛965? 656朋5%矛,%7%厂,%。6. 85讥%茎;6一. 85公%茎;69一. 85儡%呈9乳%主965? 9656. 85%厂%。69二一? 51%呈;6一9即5乳%茎;6即5吼;%垦969十召尸5儡%茎969.
6、 851%呈2%皇;65? 6将式5 9 =6一5 6式代入式5 6,可得消去定向角未知数后方差分量估计的.阵为 “一. 5“% ,. 85 %,96“5公%,9么%亥96一“一? 85儡%谋尸5。“%,”.85口韶八 亥96一召851%墨;69一. 85儡% 冬,69一. 85公% 呈9儡%茎96召尸5“八产茎96 一. 85 4%茎969一.85儡% 垦;1%茎96;。一十. 85 4%墨969十.85吼;%茎9699召85认二%呈 %茎965?6同样,式5 ? 6中的各元素求迹,仍然可采用式5=656中的方法,将矩阵与矩 阵相乘,转化为向量与矩 阵相乘以简化计算292负方差情况讨论为使问
7、题简化,现以二维网为例进行讨论2此时“一“一9“尸5%厂%26 . 85刃厂,%269. 85%厂,%2%矛,%。6对称。一. 5%厂,%。6万5%厂,%。695?36因为?85% 厂%2%矛%。6并令朋5%矛%2%厂%。6召尸5% 矛%,6一。,则式5刁6. 5% 厂%269一5% 丁%。6 一召5% 厂%,69可写成;一尹一“ “于。一从5?6式中,2,几距离和方向的多余观测数,全网的多余观测数,一 2十几2详哄叽为全 网的残差平方和2则 咚?一卫卜 沙晶子尹。一/ 4赵一“6少 2一召! 叮。5?6由式5?6可知二三竺竺_;,黔勺,半_ 45? 6全部成立,或全部不成立时,由式5? 6计
8、算的结果才不会出现负方差,从而使赫尔默特方差分量估计有效2为了说明这一情况,下面举一简单例子某边角网图形为五角形,有两个固定点,共观测?条边和9 :个方 向,采用先验中误差礼士:? , 2:,一:2 ?2?2最后得,22 9,。一?92?3 ,一?2:3?,巩一?29? ?,巩第? ?卷第3期任权等方差分量估计和多余观测分量计算方法探讨?,?,由式5? 6可得沙二一:2?:9,硫?2: 由式5? 6可得,。,。,一,一八了厂叮。5?=6由于刀,:刀,则。一,一+吼丁8,5?656。 、 、一7%厂李7。、一、%厂万5?=6由于一:,则7一刀二;刀歹、5?656。一万厂百。一 。一。一!厂厌59
9、:6式5?=6,5?=6,59: 6的主对角线元素就是 未 消去定向角未 知数时,距离、天顶距及 方向的多余观 测分量229消去 定 向角未知 数时多余观测分量 的 计算此 时计算距离、天顶距的多余观测分量2,的公式为式5? 65? 6,现推 导 方向多余观测分量的计算公式2由式5?: 6,方向平差值的权 倒数 阵 为。乙。一;,”一7了石云万9?八了石一人叹“一几6们 八元刀人一9了云叨丁一场了云%9?刃 石;一心;5。一阵 各相应元素之倒 数2由于尸。一。,故59?65996系对角阵,河海大学学报?年月。一 2护一5。一为去掉定向角未知数后方向误差式系数阵,%石为对角阵,如设%5,9, 6
10、为第测站的方 向数,则5凡一月刃五一吕59 36式5 6第块子矩阵由%个元素组成2因此式59 6按测站进行计算比较方便,对于第测站,只 要调出该站%个方向观测值,组成误差式系数阵姚,并与夕粼相乘组成如下矩阵刃2刀229口?,一名尸万云,5万乡,一刃9 ?八了石万, 965?6将式 5 6计算的? 85凡6代入 式596即为消去定 向角未知 数后方差分量估计的近 似 公式2将式5?匕6,5?匕6中刀,7求迹,并与式5?6相加万5,6十. 576十. 5几。6.85,一 母?9万垦96.85,一 万皇96,。一;一万尸;5入呈9一万9 、%石八厂,96,、。一;一. 口; ;5八盖9%茎9% 79
11、一刃92%石%965 96因为八7,万主9八飞9一万9,入丽,%; 9一%,一%;刃;,%; 9一夕9 9所以名5 ;夕9 96 名尸5百6二56将其代入式5 9 6,可 得召5,6 .576十. 5=6,林、十。一;一;升一,一536式5 钓与59? 6完全相同,说明 消去定向角未知数与不消去定向角 未知数方差分量估计的近似 公 式计算结果完全相同2如平 差时 只 要进 行方差分量估计,不 要求计算多余观测分量,则式59 6中的. 85 力可利用式59? 6或式5 ?6即 下式求得. 85=6;一.85=6一.8565 6经过以上 处理,则 用近似公 式进行方 差分量估 计可节省大量机 时,
12、且估值无偏23分析与结论未消去定向角未 知数时,简化后 的精确公式5式5 6 6较之赫尔默特原公式5式5 6 6为优,因为只要计算?阵 中的?, ,凡9,凡9,利用矩阵迹运算规则,即可求出 ?,姚及. =在计算名5一矛万。6,名尸5万厂2 。6,名8 5人万、6,? 尸5万厂叹6及? 85万厂戈万厂万。6时,将矩阵间的相乘转变为 向量与矩阵相乘,可节省计算机 内存2 9消去定 向角 未知 数时,简 化后的 方差分量 估计精 确公式5式5 66,较 未 消去 定 向角未知数的简化后的严 密公式 更能 节 省机时2以上 两种情况均 可求出?一,从而 可按 文献估计方差分量估值的精度,但有时 会出现
13、 负方差,河海大学学报? ?年 月32消去定向角未知数前后,方差分量估计的近似公式均比前面的相应公式更节省机时,其最大优点是在方差分量估计的同时可计算出多余观测分量,从而节省了多余观测分量的计算时间2323监测 网平差时,如只需进行方差分量估计,则式59 6中的? 85凡6宜采用式5 6计算,这样更节省机时232如删除与天顶距有关的内容,则上述公式与结论完全适用于二维网2参考文献于正林2李德仁2于 正林2边角网平差中的方差分量估计2地壳变形与地震,误差处理与可靠性理论2北京;测绘出版社,? 方差分量估计中的精度评定2测绘学报,?5 6?596;9 :9 ; 9;9 ?9 9,=181?=1= 4=?=1181=4=14=0 =8=04 ?5。,21 夕如八犷峋枷邝吻吻,月“ 铂4林切26& ?= & 1 1 = 4=1 1= = ,1 4=1) = = 181 ?=1 1 =1=4 1?1曰1= ?8 2/ 1?8
