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1、倒立摆系统的研究现状及发展1 绪论1.1 课题的来源与意义自动控制自从其产生以来，广泛地应用在工业、农业、交通运输和国防各个方面，凡是控制性能要求较高的场合，都离不开自动控制。倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。然而倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统，必须采用十分有效地控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制，非线性控制，目标定位控制，智能控制等控制方法理想的试验平台1。研究倒立摆系统除了较强的理论意义，同时还具有广泛的实践意义。控制理论中许多抽象的概念如稳定性，能控性
2、，快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，同时其动态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。1.2 国内外研究现状对倒立摆的控制研究主要是稳定问题和起摆问题的研究，目前对稳定问题的关注比较多。1.2.1 倒立摆稳定问题的研究倒立摆稳定的研究就是设计控制器使倒立摆系统在稳定点保持稳定，并且在一定限度内的干扰下可以回复到稳定状态。倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪 50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭
3、发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。控制目的一般是使摆杆在垂直位置倒立。而后世界各国都将一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的典型方案。后来人们参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备。最常见的典型倒立摆有三种：它们是直线型倒立摆，平面型倒立摆，环型倒立摆等，它们是目前国内外广泛采用的模型，这也是研究各种控制算法的基础，分别简述如下:(l)直线型倒立摆它是最常见倒立摆系统，也称车摆装置，根据目前的研究它又分为 1、2、3、4 级车摆，典型结构图如图 1 一 1 所示，图中以一级车摆为例，它是由可以沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车之上的匀质长杆组成的系统，小车可以通过转动装置由
4、力矩电机、步进电机、直流电机或者交流伺服电机驱动，车的导轨一般有固定的行程，因而小车的运动范围都是受到限制的。(2)环型倒立摆环型倒立摆也称摆杆式倒立摆，如图 1 一 1 所示，图中以二级为例，一般是由水平放置的摆杆和连在其端接的自由倒摆组成，原理上也可以看成是车摆的轨道为圆轨情况，摆杆是通过传动电机带动旋转的。此摆设计好了可以摆脱普通车摆的行程限制，但是同时带来了一个新的非线性因素:离心力作用。(3)旋转式倒立摆环型摆也叫旋转式倒立摆，但是这里的旋转式倒立摆不同于第二种的环型摆，它的摆杆(旋臂)是在竖直平面内旋转的，而环型摆摆杆是在水平面旋转的。(4)复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆
5、，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是(2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转 90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。图 1-1 各种倒立摆系统国外对倒立摆系统的研究可以追朔到六十年代，1966 年，Scheafer 和 Cannon 应用 Bang-Bang 控制理论首先将一个曲轴稳定于倒置位置上。在 60 年代后期，作为一个典型的不稳定、严重的非线性证例提出了倒立摆的概念，并将其用于对一类不稳定、非线性和快速性系统控制能力的检验。由于倒立摆系统的典型性，对它的控制引起了各国科学家的普遍重视，从而使得用多种方法对倒立摆的控制成为具有
6、挑战性的世界性课题。当时主要集中在直线倒立摆系统的线性控制上面。到 70 年代初，各国学者用状态回馈理论对不同类型的倒立摆控制问题进行了广泛的研究，1976 年 Morietc2发表的研究论文，首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器,实现了一级倒立摆的稳定控制。1980 年，Furuta etc3等人基于线性化方法，实现了二级倒立摆的控制。1984年，Furuta 等人首次实现双电机三级倒立摆实物控制4。1984 年，Wattes 研究了 LQR(Linear Quadratic Regulator)法控制倒立摆5。LQR 方法主要基于系统的线性模型和二次性能指
7、针:(1.1)dtRuuQXXJTT)( 0实际上是寻找一个最优的状态回馈向量 K，从而设计一个最优回馈控制器。Wattes 验证了改变权重矩阵可以得到不同的状态回馈向量，从而产生不同的控制效果。八十年代后期开始，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出了一系列基于非线性分析的控制策略。1992 年，Furuta 等人6提出了倒立摆系统的变结构控制。1995 年，Fradkov等人7提出的基于无源性的控制。另外 Wiklund 等人8应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆，Yamakita 等人9给出了环形二级倒立摆的实验结果。近年来随着智慧控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊
8、控制、神经网络、拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能算法应用到倒立摆系统的控制上。1997 年，T.H.Hung 等10设计了类 PI 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具有系统结构简单对硬件依赖小的特点。1995 年，Li11利用两个并行的模糊滑模来分别控制小车和摆杆偏角。1996 年张乃尧等12采用模糊双死循环控制方案成功地稳定住了一级倒立摆。Deris13利用神经网络的自学习能力来整定 PID 控制器参数。1997 年，Gordillo14比较了 LQR 方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比遗传算法控制效果更好。1993 年，Bouslama15利用一个简单的神经
9、网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。1994 年，北京航空航天大学张明廉教授16将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智慧控制理论” ，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。北京师范大学李洪兴17教授采用变论域自我调整模糊控制理论研究四级倒立摆控制问题，成功实现了四级倒立摆实物系统控制18。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以
10、充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。随着控制理论的不断向前发展，越来越多的理论被成功运用于倒立摆系统的控制：如基于状态空间极点配置、二次型最优控制1921、基于能量的控制22、基于滑模控制的方法23、基于模糊逻辑的控制3646、基于神经网络理论2425、模糊逻辑与神经网络相结合的控制26、基于遗传算法的控制27以及基于遗传算法的神经网络控制28等等。常见的控制策略与算法有以下几种：(1)状态回馈 H控制方法(2)智慧控制理论的方法(3)鲁棒控制方法1.2.2 起摆问题的研究倒立摆起摆问题是指设计控制器，能够将摆杆从竖直向下的自然状态摆动到竖直向上的位置。对于倒立摆起摆问题的研究主要方法有能
11、量控制、启发式控制、拟人智慧控制等。较早研究起摆问题的文献有：1976 年，Mori2等人提出包含两个控制器，一个控制器用来自起摆，另一个控制器用来使摆杆稳定在平衡态附近。1996 年，K.J.Astrom32研究了用能量控制策略，实现了一级倒立摆的起摆。朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性控制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制33。李祖枢等人利用拟人智慧控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题34。目前用于倒立摆起摆的控制方法主要有：能量控制，启发式控制，拟人智慧控制等。社会化的大生产使工业生产规模越来越大，生产装置越来越复杂，工业对象成为高阶次、非线性、多输
12、入多输出的复杂对象，而且控制精度要求越来越高。这就对控制理论提出了新的更高的要求。倒立摆系统是一个典型的多输入多输出、非线性、高阶次的不稳定系统。研究倒立摆的精确控制对复杂工业对象的控制有着不可估量的工程应用价值。1.2.3 倒立摆控制存在的主要问题倒立摆系统是一个非线形、不稳定、单输入多输出的多变量系统，对它进行稳定控制，其控制方法大致可分为两类:(1)现代控制理论方法:在非线形模型的平衡点附近对其进行线性化，再根据近似线性模型，设计出控制规律。常见的有状态回馈的极点配置法，二次型性能指针的最优控制和基于非线性观测器的控制方法等。(2)智慧控制方法:其主要特点是不依赖于系统数学模型，通过模拟
13、人的智慧或利用专家的经验较为直接地对倒立摆进行控制。有模糊控制、神经网络控制、规则控制和模糊神经网络控制等。应用现代控制理论方法设计出的倒立摆的控制规律存在以下几个问题:(1)由于系统本身是一个非线性系统，经过线性化后，所得到的模型与原模型只能在很小的范围内接近，从而限制了系统的稳定范围；(2)对于二级倒立摆系统来说，线性化后得到一个六阶的状态方程，如果采用状态回馈的方法，则必须测量出系统的六个状态变量，由于其中三个速度变量测量起来很困难，这样就必须设计状态观测器，而状态观测器的引入对系统的稳定性和鲁棒性都有一定的不良影响；(3)倒立摆系统是一个灵敏度很高、变化很快的系统，要求控制器有很决的响
14、应速度。据计算倒立摆系统的采样周期应在5ms 左右，因此，不能进行在线控制规律的适应性调整，也就是说，只能预先根据系统模型求出一个不变的控制规律固定在控制器中，这样就对系统的模型精度要求很高。而模型参数中的一些非线性因素是容易变化的，例如转动摩擦系数，水平摩擦系数及皮带的滞后，使基于模型的控制规律难以严格符合系统实际模型，这会导致系统的鲁棒性和稳定性较差。智慧控制可以部分地解决上述问题。首先智能控制不依赖系统数学模型，所以就不存在因简化模型所带来的稳定范围减小的问题。其次智慧控制规律的建立并不以预先确定的系统模型为基础的，而是基于专家的经验或人们的常识，只要该经验或常识基本反映系统的特性，那么
15、被控对象的参数变化对控制系统的收敛问题的影响就很小。最后，智能控制规律的修改要方便得多，要修改基于数学模型的控制规律，整个算法结构都得变动，而修改智能控制中的规则只需修改某一或某几个规则，便可达到修改的目的。因此，智能控制系统维护起来较为简单易行，其稳定性和鲁棒性较好。另外，倒立摆在实现方面还需要解决许多具体控制问题，如传感器的线性度执行电机的死区、外围电路的零点漂移、信号采集的速度和精度等问题，这些问题的解决是成功地稳定倒立摆的关键。2 倒立摆系统数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其
16、可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。采用拉格朗日法建立二级倒立摆系统的数学模型。2.1 直线一级倒立摆的数学模型2.1.1 运动方程的推导2.1.1.1 牛顿力学方法在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 2-1 所示。图 2.1 直线一级倒立摆模型为了建立倒立摆系统的数学模型，做以下假设：M 小车品质m 摆杆品质b 小
