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1、高高 中中 数数 学学 基本知识基本知识基本思想基本思想基本方法基本方法一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？ 还是曲线上的点？还是曲线上的点？ ； 2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或 韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的 思想方法解决；思
2、想方法解决； 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断一个语句是否为命题，关键要看能否判断 ，陈述句、反诘问句都是命题，而，陈述句、反诘问句都是命题，而 祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；祁使句、疑问句、感叹句都不是命题； 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其 是等价命题是等价命题 ，逆命题，逆命题 与其与其 是等价命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时， 可考虑判断其等价命题的真假；可考虑判断其等价命题的真假； 5.判断命题充要条件的三种方法：（判断命题充要条件的三种
3、方法：（1）定义法；（）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，）利用集合间的包含关系判断，若若，则，则 A 是是 B 的的 条件或条件或 B 是是 A 的的 条件；若条件；若 A=B，则，则 A 是是 BBA的的 条件；（条件；（3）等价法：即利用等价关系）等价法：即利用等价关系判断，对于条件判断，对于条件“ABBA“或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法； 6.（1）含）含 n 个元素的集合的子集个数为个元素的集合的子集个数为 ,真子集（或非空子集）个数为真子集（或非空子集）个数为 ；（2） ;BBAABABAUI（3）;)(
4、,)(BCACBACBCACBACIIIIIIUIIU二、函数二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复合函数的有关问题复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：若已知）复合函数定义域求法：若已知 f(x)的定义域为的定义域为a，b,其复合函数其复合函数 fg(x)的定的定 义域由不等式义域由不等式 解出即可；若已知解出即可；若已知 fg(x)的定义域为的定义域为a,b,求求 f(x)的定义域，的定义域， 相当于相当于 xa,b时，求时，求 g(x)的值域（即的值域（即 f(x)的定义域）的定义域） ； （2）复合函数的单调性由
5、）复合函数的单调性由“同同 异异 ”判定；判定； 2.函数的奇偶性函数的奇偶性（1）若）若 f(x)是是 ，那么，那么 f(x)=f(x)=;)( xf（2）定义域含）定义域含 0 的奇函数必过的奇函数必过 （可用于求参数）（可用于求参数） ；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)= 或或 （f(x)()(xfxf0）;(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； （5）奇函数在对称的单调区间内有）奇函数在对称的单调区间内有 的单调性；偶函数在对称的单调区间内有的单调性
6、；偶函数在对称的单调区间内有 的单调性；的单调性； 3.函数图像（或方程曲线的对称性）函数图像（或方程曲线的对称性） (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点 仍在图像上；仍在图像上； （2）证明图像）证明图像 C1与与 C2的对称性，即证明的对称性，即证明 C1上任意点关于对称中心（对称轴）的上任意点关于对称中心（对称轴）的 对称点仍在对称点仍在 C2上，反之亦然；上，反之亦然； （3）曲线）曲线 C1：f(x,y)=0,关于关于 y=x+a(y=x+a)的对称曲线的对称曲线 C2的方程
7、为的方程为 f(ya,x+a)=0 (或或 f(y+a,x+a)=0); （4）曲线）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（关于点（a,b）的对称曲线）的对称曲线 C2方程为：方程为：f(2ax,2by)=0; （5）若函数）若函数 y=f(x)对对 xR 时，时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则恒成立，则 y=f(x)图像关于直线图像关于直线 对称；对称； （6）函数）函数 y=f(xa)与与 y=f(bx)的图像关于直线的图像关于直线 对称；对称； 4.函数的周期性函数的周期性 (1)y=f(x)对对 xR 时，时，f(x +a)=f(xa) 或或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成
8、立恒成立,则则 y=f(x)是周期是周期 为为 的周期函数；的周期函数； （2）若）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则对称，则 f(x)是周期为是周期为 2a的的 周期函数；周期函数； （3）若）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则对称，则 f(x)是周期为是周期为 4a的周的周 期函数；期函数； （4）若）若 y=f(x)关于点关于点(a,0),(b,0)对称，则对称，则 f(x)是周期为是周期为 2|a-b|的周期函数；的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=a, x
9、=b(ab)对称，则函数对称，则函数 y=f(x)是周期为是周期为 2|a-b|的周的周 期函数；期函数；（6）y=f(x)对对 xR 时，时，f(x+a)=f(x)(或或 f(x+a)= ，则，则 y=f(x)是周期为是周期为 2的的 )(1 xfa周期函数；周期函数； 5.方程方程 k=f(x)有解有解kD(D 为为 f(x)的值域的值域)；6.af(x)恒成立恒成立 ; af(x) 恒成立恒成立 ; af(x)有解有解 ; af(x)有解有解 ;7.（1） (a0,a1,b0,nR+); n aabbnloglog(2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);aNbb logl
10、og(3) l og a b 的符号由口诀的符号由口诀“同正异负同正异负”记忆记忆;（a, b 同在（同在（0，1）或（）或（1，）上）上 l og a b 的符号为正）的符号为正）(4) a log a N= N ( a0,a1,N0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且中元素不一定都有原象，并且 A 中不同元素在中不同元素在 B 中
11、可以有相同的象；中可以有相同的象； 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的）定义域上的 必有反函数；必有反函数； （2）奇函数的反函数是）奇函数的反函数是 ；（；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函 数数;（4）周期函数不存在反函数；（）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有）互为反函数的两个函数具有 的单调的单调 性；性；(5) y=f(x)与与 y=f-1(x)互为反函数，设互为反函数，设 f(x)的定义域为的定义域为 A，值域为，值域为 B，则有，则有 ff-1(x)=x(x ),
12、f-1f(x)=x(x ). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题 用用“两看法两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 12.恒成立问题的处理方法：（恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分）转化为一元二次方程的根的分 布列不等式布列不等式(组组)求解；求解； 13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：依据单调性，利用一次函数在区间上
13、的保号性可解决求一类参数的范围问题：；)0f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u(a0( 0)()()( 或）或xhuxguf14.掌握函数掌握函数的图象和性质；的图象和性质；) 0();0( c xcxyacb cxacba cxbaxy函函 数数cxacbacxbaxy(b ac0,a0,c0)）0(axaxy图图 象象定定 义义 域域),(),(cc), 0()0 ,(值值 域域),(),(aa),22,(aa奇奇 偶性偶性非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数Xooyx X=-cY=ay单单调调性性当当 b-ac0 时时:分别在分别在上单调递减；上单调递减；),(),(cc当当
14、b-ac0,b0)时要符合时要符合“ ab2” ；注意均值不等式的一些变形，如；注意均值不等式的一些变形，如；2222 )2( ;)2(2baabbaba七、直线和圆的方程七、直线和圆的方程 1.设三角形的三个顶点是设三角形的三个顶点是 A（x1,y1） 、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则则ABC 的重心的重心 G 为（为（ , ） ； 2.直线直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ； 3.两条平行线两条平行线 Ax+By+C1=0 与与 Ax+By+C2=0 的距离是的距离是 ； 4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件表示圆的充要条件 ：A=C0, B=0 且且 ； 5.过圆过圆 x2+y2=r2上的点上的点 M(x0,y0)的切线方程为：的切线方程为： ;6.以以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是：（求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式，写出目）根据实际问题的约束条件列出不等式，写出目 标函数；（标函数；（2）作出可行域；（）作出可行域；（3）确定目标函数的最优
