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1、第一章第一章1-1 有一个连续信号)2cos()(+=fttxa，式中Hzf20=，2=，（1）求出)(txa的周期；（2）用采样间隔sT02. 0=对)(txa进行采样，写出采样信号)(txa的表达式；（3）画出对应)(txa的时域离散信号（序列）)(nx的波形，并求出)(nx的周期。解：解：（1）)(txa的周期是sfTa05. 01=（2） =+=nanTtfnTtx)()2cos()(=+=nnTtnT)()40cos(（3）)(nx的数字频率为8 . 0=，252=周期5=N。)28 . 0cos()(+=nnx，画出其波形如题 1-1图所示。 题 1-1 图1-2 设)sin()(
2、ttxa=，( )()sin()assx nx nTnT=，其中sT为采样周期。（1）)(txa信号的模拟频率为多少？（2）和的关系是什么？（3）当sTs5 . 0=时，)(nx的数字频率为多少？1-1解：解：（1）)(txa的模拟频率srad /=。（2）和的关系是：sT=。（3）当sTs5 . 0=时，rad5 . 0=。1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）)873cos()(=nAnx，A为常数；（2）)81()(=njenx。解解： （1）73=，3142=，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T；（2）81=，162=，这是无理数，因此是非周期序列。
3、1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(nuanhn=，10bzaz bza bzzzH=)(，bz 所以， bzzzHzXzY=)()()(，bz 其Z 反变换为)()()()()(1nubzYnhnxnyn=显然，在az =处，)(zX的极点被)(zH的零点所抵消，如果ab ，极点为0jzre=，0jre，零点为0z=，cos)cos(0r。其对应的零极点图如题1-6图所示。 利用MATLAB 画出其零极点,如题 1-6图(b)所示： A=1; r=1; w0=4*pi; w=2*pi; x=2*r*cos(w0); y=A*r*cos(w0-w); b=A*cos
4、(w) -y ; a=1 -x r*r;1-5zplane(b,a);题 1-6 图(b) 零极点图 讨论 讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z变 换定义式求起对应的Z变换和收敛域。对于Z变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其Z变换的收敛域是保证等比小于 1，如本例中要保证011jqz re=。题 1-6 图 零极点示意图1-7 已知,0( ),1nnanx nbn= ， 求其 Z变换及其收敛域。并用 MATLAB 求解。解解：这是一个双边序列，其Z变换为nnnnnnnnzbzaznxzX=10)()(bzz azzbzaz+= + =1111111-
5、6)()2( bzazbazz =，bzaz时，系统因果不稳定，)(3383)(nunhnn=；当ROC：331。利用 MATLAB 画出其零极点，程序及运行结果如题1-15 图(a)所示： b=1 0; a=1 -0.2; zplane(b,a);题 1-15 图(a) 零极点示意图（2）利用Z变换公式可得：其Z变换为011 1jez, 0jzeMATLAB 画出零极点如下题1-15 图(b)所示： w0=2*pi; x=exp(j*w0); b=1; a=1 -x; zplane(b,a);1-18题 1-15图(b) 零极点示意图（3） 因为000cos()2jnjneen +=，由（2
6、）知0( )jneu n的Z变换为011 1jez0( )jneu n的Z变换为011 1jez所以得出0cos() ( )n u n的变换经化简得：1 0 12 01cos 1 2cosz zz +, 1z 利用 MATLAB 画出其零极点如下题1-15 图(c)所示:w0=pi/4; b=1 -cos(w0); a=1 -2*cos(w0) 1; zplane(b,a);题 1-15 图(c) 零极点示意图1-191-16 已知系统函数如下：432(8)(2)( )22.90.12.31.5zzH zzzzz+=+，用 MATLAB 编程判断 系统是否稳定. 解： 解： MATLAB 程序
7、如下： A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5 P=roots(A); M=max(abs(P); if(M = =1-28/2()( )12cos2jj njjnH eh n eee = +=29 试用定义计算周期为 5，且一个周期内( )2,1,3,0,4x n =的序列( )x n%的DFS。解：解：2 540( )( )knjnX kx n e=%248 555234kkkjjjeee+210 求出周期序列( )0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,x n =%LL的 DFS。 解：解：由题知( )x n%周期为42 430( )( )knjnX kx n e=%230(
8、 )knjnx n e=% 3 2223kkjjj keee=+3 2222( 1)2()kkkjjjkj keeee=+211 已知周期为N的信号( )x n，其 DFS为( )X k%，证明 DFS 的调制特性( )nl NDFS W x n%()X kl=+%。证明证明：210( )( )kn NNjnlnl NN nDFS W x nW x n e=%2210( )knnl NNNjjnx n ee=%2()10( )k l n NNjnx n e=%1-29()X kl=+%命题得证。212 设=其他, 01 , 0, 1)(nnx将( )x n以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序
9、列)(nx，画出)(nx和)(nx的波形，求出)(nx的离散傅里叶级数)(kX和傅里叶变换。解：解： 23 40( )( )( )jknx kDFS x nx n e=%kjnknjee21021=+=444424jkjkjkjkeeecoske=+=( )x k%以4 为周期。22()( )( ) ()44jkX eDTFT x nx kk =%( ) ()22kx kk =%4cos()()42jkkk ek =)(nx和)(nx波形图如下题 2-12图所示：1-30题 2-12 图 )(nx和)(nx波形图213如果( )x n%是一个周期为N的周期序列，其DFS为1( )X k%，将(
10、 )x n%看作周期为 2N的周期序列，其DFS 为2( )Xk%。试利用1( )X k%确定2( )Xk%。解解： 按照题意，可以写出：1( )X k%=10)(Nnkn NWnx=102 )(NnknNjenx122 0( )( )N kn N nXkx n W=%=1022 )(Nnnk Njenx +=12 22 )(NNnnk Njenx令Nnn=，则21 2 2 0( )( )kNjnNnXkx n e=%+=+102)(2 )(NnkNnNjeNnx=+=1022 )()1 (Nnnk Njjknenxe1-311(1)2jknkeX=+%所以1 22,( )2 0kXkeven
11、Xk kodd= =%，214 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号( )x n。（1）2()11166j jjjeX e ee = +（2）()( 1)()2jkkkX e =解： 解： （1）26()11(3)(2)166jj j jjjjeeX eeeee =+66 55 111132jjee= +因此)()21()31(56)(nunxnn=（2）因为()jX e含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为( )x n%，其周期为N，DFS为( )kX ka=%，则有：2101( )( )( )NjknNkx nIDFS X kX k eN=%1-32( )x n%的
12、DTFT()jX e，有22()( ) ()jkX eX kkNN =%即21()0122()NjknN kk kka eakNNN =21()022()NjknN kk kka eakN =而已知()( 1)()2jkkkX e =可见, 4=Nk ka) 1(2=即2) 1(kka=所以33 220011( 1)( )442kjknjknk kkx na ee=%3 22118jnjnj neee =+，0n =，1，2，3得( )x n%是以10,0,02为周期的周期函数。215 计算以下诸序列的N点 DFT，在变换区间01nN内，序列定义为1-33（1）( )1x n = （2）( )
13、( )mx nRn=，0mN时，( )0dh n =，试利用(1)中给出的()j dHe求理想脉冲响应( )dh n。(4)当21M=时该系统的延迟是多少？若采用矩形窗，试画出在这种情况下的 FIR 逼近的频率响应之幅度曲线。解： 解： （1）,0(),0jjH ej=（2）只能用，型 FIR 去进行逼近，因为( )h n必然是奇对称的。（()jH e是虚奇对称的）（3）0011( )22j nj nh njednjedn=2sin (/2)2,00,0nnn n = =1-100（4）当21M=时，系统的延迟为10.52M=个样本，采用矩形窗的 FIR 逼近频响幅度，相位曲线如题 3-26图
14、所示。补充一个采用 21 点（20M =），2.63=的 Kaiser 窗设计结果，以便与（3）中所得结果进行比较。12 22 0sin ()/22 (1 ()/ ) ,0( )0,d dd dnnInnnnMnnh n = 其它20M =，2.63=%320 clear all;close all; M=21; n1=0:M; h1=(n1-(M/2)*pi/2).*(sinc(n1-(M/2)/2).2); n11=0:(100*(M+1)-1); H1=fft(h1,100*(M+1); figure subplot(3,1,1) stem(n1,h1,.); grid on title(M=21 点时 FIR 逼近的时域特性) subplot(3,1,2) plot(n11,abs(H1) grid on title(M=21 点时 FIR 逼近的幅度特性) subplot(3,1,3) plot(n11,angle(H1) grid
