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1、 2 20 01 14 4 届届本本科科毕毕业业生生毕毕业业论论文文 题目：剩余类环题目：剩余类环上的多项式环及因式分上的多项式环及因式分2z解和可约性解和可约性学 院： 专业班级学生姓名：指导教师： 答辩日期： 大学教务处 目目 录录1 引言.12 群，环的相关理论.12.1 交换群，环的定义 .12.2 多项式环.22.3 剩余类环和模为 2 的剩余类环的证明.32.4 剩余类环上的多项式环.53 剩余类环上的因式分解及可约性.53.1 模为 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性.54 结论.10附录.11参考文献.11致 谢.12剩余类环剩余类环上的多项式环及因式分解和可约
2、性上的多项式环及因式分解和可约性2z摘要：摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环为环，构造剩余类环上的多项式环，给出剩余类环上的多项式环2z2z2z的因式分解及判断可约性。关键字：关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。Factorization of polynomial ring and the residue class ring decomposition and reducibility2zAbstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determi
3、nation of invertible elements; prove the residue class ring ring, polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility.Keywords:Keywords: ring；residue class ring；polynomial ring over residue class rings；the ring of po
4、lynomials factorization；polynomial ring reducibility.11 1 引言引言19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著 Moderne Algebra(近世代数)1。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位,也在解决生活实际n问题时有一定的应用,学者们就对各种环进行了深入系统
5、的的研究，并开辟了许多新的研究领域，取得了许多有意义的研究成果。模剩余类环就是其中研究n比较透切的一种特殊的环。模的剩余类环为有限可换环，整环及域都提供了n丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为 剩余类环，模为的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。222 2 群，环的相关理论群，环的相关理论2.12.1 交换群，环的定义，可逆的判定交换群，环的定义，可逆的判定2.1.12.1.1 群，交换群群，交换群定义定义 4 42 设是非空集合，在上有一个代数运算，叫做乘法，对的GGG任意两个元，其运
6、算的结果称为与的积，记为,如果还满足,a bababc 1. 结合律:,. cabbcaGcba,2. 有单位元单位元 ,使得,eaaeeaGa3. 对每个,有,使,称为的一个逆元逆元. .GaGbebaabba则称为一个群群. .G当群的运算满足交换律时，成为交换群交换群，这时也常把其运算记成加法，GG并称它是一个加（法）群（注意注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元）2。2.1.22.1.2 环的定义环的定义定义定义3 一个集合叫做一个环环.假如 R1. 是一个加群，换句话说，对于一个叫做加法的代数运算来说做成RR一个交换群；2. 对于另一个叫做乘法的代数运算来
7、说是闭的；R3. 这个乘法适合结合律； cabbca不管是的哪三个元；cba,R4. 两个分配律成立： a bcabacbc abaca不管是的哪三个元.cba,R2.22.2 多项式环多项式环假定是一个有单位元的交换环，是的子环，并且包括的单0RR0R0R位元。我们在里取出一个元来，那么0Rxn nn nxaaxaxax.a01 10 0iaR定义定义5 一个可以写成 n nxaaa.10,0iaR n形式的表达式，称为上的的一个多项式多项式。叫做多项式的系数系数。Rxia现在我们把所有的上的 的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我Rx3们用来表示.我们要注意，对于， R xmn1 00
8、a.0.0mmmn mma xaa xxxL所以当我们只看的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都 R x是一样的。因此，的两个元相加相乘适合以下公式： R x 0000a.nnn nnnna xbb xababx000a.b.mnm n mnm na xb xccx 这里 kjijikkkkbabababa0110.c这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。由于我们也有 R x- 00a.nn nna xaa xR x 所以是一个环。显然是包括和的最小子环。 R x R x0RRx定义定义5 叫做上的的多项式环。 R xRx2.32.3 剩余类环的定义和模为剩余类环的定义和模
9、为的剩余类环的证明的剩余类环的证明22.3.12.3.1 剩余类环的定义剩余类环的定义本小节给出了剩余类环的定义，为证明模的剩余类为环提供了理论基22Z础。给了一个环和的一个理想附录 若我们只就加法来看，作成一个RRR群，作成的一个不变子群。这样的陪集 作成的一RK,cbaR个分类。我们现在把这些类叫做模的剩余类。剩余类。这个分类相当于的元间的一R个等价关系这个等价关系现在我们用符号来表示9。)(ba 定理定理 1 19 假定是一个环，是它的一个理想，是所有模的剩余RR类做成的集合。那么本身也是一个环，并且与同态。RRR定义定义9 叫做环的模的剩余类环。这个环我们用来表示。RR/R2.3.22
10、.3.2 证明模证明模的剩余类的剩余类是环是环22Z证明：证明：已知模的剩余类由= =构成的一个集合.对加法和乘法满足22Z0,12Z下列运算表：为方便记：，00,110 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1 0 1对12,Zcba成立 (对加法是封闭的）2Zcba 对2,Zcba成立 (对加法满足结合律）cbacba 对2,Zcba成立 （存在零元）20Zba 对2,Zcba（对加法满足交换律）abba由可知对加法满足交环群.2Z 对2,Zcba（对乘法的代数运算是封闭的）2Zcba 对2,Zcba（对乘法满足结合律） cabbca5 对2,Zcba（对乘法满足两个结合律） ca
11、baacbacabcba 由可知是环。2Z2.42.4 剩余类环上的多项式环剩余类环上的多项式环我们已得出是环而且是交换环。2Z定义定义2 为交换环，交换环R正是0a,.,.,.,10100inRaaaaaR且只有限个为非负数，称为上 10.n nnR xa xaanRaan0,.R的多项式环。所以可知，模为的剩余类环上的多项式环的形式为：22Z为非负数, ,. 01.xaaxaZnn nn20,.Zaan1 , 02Z3 3 剩余类环上的因式分解及可约性剩余类环上的因式分解及可约性3.13.1 模为模为 2 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性
12、设 ，有， 0,)(cFcxFxf)()(, )(xfxcfxfc所以我们有以下面定义. 定义定义 2.5.12.5.14 设，我们称与为多 0,)(cFcxFxfc)(xcf项式的平凡因式.)(xf定义定义 2.5.22.5.2 4设 ，如果在中有非平凡因式， xFxf)( xf xF则称在中可约，否则称在中不可约. xf xF xf xF定理定理 2.4.32.4.3 7 在中都可以 0,0,f xF xf xn xf xF分解为不可约多项式的乘积.证证 若在中不可约，则结论成立。若在中可约，则 xf xF xf xF ”且“xfxfxfxfxfxFxfxf20 10 21210,此时迹有 . xfxf0 200若都不可约，则结论成立. xfxf21,若都不可约，则继续分解。因为分解
