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1、2014 届高三数学寒假作业三（函数届高三数学寒假作业三（函数 3）姓名_学号_ 一、填空题1设6( )f xx 在1,2上的平均变化率为_，在1x处的瞬时变化率为_ 2若函数32( )31f xxxax 在2 , 1上单调递增，则实数a的取值范围是_3过点( 1,0)与函数( )xf xe(e是自然对数的底数)图象相切的直线方程是_.4已知函数( )yf x在点(2,(2)f处的切线为21yx，则函数2( )( )g xxf x在点(2, (2)g处的切线方程为_.5已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm_.6函数xxyln211的单调减区间为
2、_.7设直线xt与函数2( ), ( )lnf xxg xx的图象分别交于点,M N，则当 MN 达到最小值时t的值为_.8设 P 是函数(1)yx x图象上异于原点的动点，且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 9分别在曲线xye与直线1yex上各取一点M与N,则MN的最小值为_.10已知定义在R上的可导函数( )yf x的导函数为( )fx，满足( )( )fxf x且(0)1f，则不等式( )xf xe的解集为_.11已知函数)(ln)(Rmxmxxf 在区间 e, 1（e为自然对数的底数)上取得最小值 4,则m_.12曲线2(1)1( )e(0)e2xff xfxx在点(
3、1,(1)f处的切线方程为_.13已知322( ), ( )9f xxg xxxa ，若存在01,(0)3axa ，使得00()()f xg x，则实数a的取值范围是_.14已知函数321,112( )111,0,362xxxf xxx ，函数( )sin()22(0)6g xaxaa，若存在120,1xx 、，使得12()()f xg x成立，则实数a的取值范围是_.二、解答题15设3211( )232f xxxax （1）若( )f x在2,3上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当02a时，( )f x在1,4上的最小值为16 3，求( )f x在该区间上的最大值 16某商店经销一种
4、青奥会纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部 门上交a元（a为常数，25a）的税收.设每件产品的日售价为 x元（3541x） ，根据市场调查，日销售量与xe (e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的 日售价为 40 元时，日销售量为 10 件.(1)求该商店的日利润( )L x元与每件产品的日售价 x的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润( )L x最大，并求出( )L x的最大值.17已知函数ln( )ln, ( )xf xxx h xx.(1)求( )h x的最大值；(2)若关于 x的不等式2( )212xf xxax 对一切0,x
5、恒成立,求实数a的取值范围；(3)若关于 x的方程 3220f xxexbx恰有一解,其中e为自然对数的底数,求实数b的值18设函数2( )(1)ln ()2af xxaxx aR (1)当0a 时，求函数( )f x的极值；(2)当0a 时，讨论函数( )f x的单调性；(3)若对任意(2,3)a及任意12,1,2x x ，恒有2121ln2()()2amf xf x成立，求实数m 的取值范围2014 届高三数学寒假作业三（函数届高三数学寒假作业三（函数 3）参考答案参考答案13,62), 9 31 xy4650xy5326)2 , 1 (),1 ,21( 7228,3 2 9221 1e
6、e 10(0,).解答：法一：根据所求( )xf xe和已知( )( )fxf x可知构造函数，( )( )( ),( )0( )xxxf xfxeP xP xP xee 在R递减，所求为( )1(0)0P xPx .法二：特殊化函数，例如可令( )1f x 113e提前限制m 的范围，减少讨论情况可令(1)4 ( )4f f e ，3me ，2( )1,( )0xmfxxefxx，( )43f eme 121 2yex所求切线方程中需要求出(1),(0),(1)fff ，两个函数值，一个导数值，函数解析式已知，导数解析式可求，列出三个方程组成方程组，可解133210,2 .存在01,(0)3
7、axa ，使得00()()0f xg x，所以构造( )( )( ), 1,(0)3aP xf xg xxa ，使得( )0P x ( )(1)(31)P xxx，0a 1 33( )03aaP 或1 33 1( )03aP 32102x 141 4 , 2 3.解答：可通过导数得32( )1xf xx在1,12是递增的，所以( )f x的值域0,1，( )g x在0,1的值域为322 ,2(0)2aa a存在120,1xx 、，使得12()()f xg x成立等价于两值域有交集，可考虑反面：即3202a或221a15解：（1）( )f x在2( ,)3上存在单调递增区间，即存在某个子区间2(
8、 , )( ,)3m n 使得.由2211( )2()224fxxxaxa ，( )fx在区间2,3上单调递减，则只需2( )03f 即可 （主要看图象主要看图象）由22( )2039fa解得1 9a ，所以，当1 9a 时，( )f x在2( ,)3上存在单调递增区间. （2）令( )0fx，得两根，121181+ 18,22aaxx.所以( )f x在12(,),(,)xx 上单调递减，在12( ,)x x上单调递增（同理可以研究同理可以研究( )fx 的图象的图象）当02a时，有1214xx ，所以( )f x在1,4上的最大值为2()f x又27(4)(1)602ffa ，即(4)(1
9、)ff所以( )f x在1,4上的最小值为4016(4)833fa ，得21,2ax，从而( )f x在1,4上的最大值为10(2)3f.16解：（1）设日销售量为xk e，则4010k e，4010ke，则日销售量为4010xe e件.日售价为 x元时，每件利润为(30)xa元，则日利润4010( )(30)xeL xxae.（2）4031( )10xaxL xee当24a时，333135a，而3541x，( )0L x，( )L x在35,41上是单调递减函数.则当35x 时，( )L x取得最大值为510(5)a e.当45a时，353136a.令( )0L x，得31xa.35,31x
10、a时，( )0L x，( )L x在35,31a 上是单调递增函数.31,41xa时，( )0L x，( )L x在31,41a 上是单调递减函数.( )L x在35,41连续，当31xa时，( )L x取得最大值为910ae.5max910(5),(24)( )10,(45)aa eaL xea17解：(1)因为 ln,0xh xxx,所以 21ln xh xx,由( )0h x,且0x,得0xe,由( )0h x,且0x,xe, 所以函数 h x的单调增区间是(0, e,单调减区间是 ,)e , 所以当xe时, h x取得最大值1 e；无最小值 (2)因为2( )212xf xxax 对一
11、切), 0( x恒成立, 即22ln212xxxxax 对一切), 0( x恒成立, 亦即12lnaxxx对一切), 0( x恒成立, 设xxxx12ln)(,因为222)4)(3(12)(xxx xxxx, 故)(x在3 , 0(上递减,在), 3 上递增, 3ln7)3()(minx, 所以7ln3a (3)因为方程02)(23bxexxxf恰有一解,即02ln23bxexxxx 恰有一解,即2ln12xbxexx 恰有一解, 看成yb与2ln( )12xg xxexx 图象有 1 个交点，21ln( )2()xg xexx而函数2ln( )12xg xxexx 在, 0(e上单调递增,在
12、), e上单调递减, （需用极限说明无渐近线）( )g eb，即112eeb （法二）：因为方程02)(23bxexxxf恰有一解,即02ln23bxexxxx 恰有一解,即12ln2bexxxx恰有一解, 由(1)知,)(xh在ex 时,exh1)(max, 而函数 122bexxxk在, 0(e上单调递减,在), e上单调递增, 故ex 时, 2 min1ebxk, 故方程12ln2bexxxx恰有一解当且仅当eeb112, 即112eeb 18解：(1)由题，定义域为(0,)，当0a 时，( )lnf xxx，11( )1xfxxx 由( )01fxx；( )001fxx，函数( )f
13、x在区间(0,1)上递减，在(1,)上递增1x 时极小值为(1)1f(2)0a 时，1()(1)1( )1a xxafxaxaxx 当( )0fx时，1x 和1xa当1a 时，2(1)( )0xfxx 恒成立，此时( )f x在(0,)上递减； 当11a即01a时，1( )01;( )001fxxfxxa 或1xa；f (x)在(1， )上递增，在(0，1)和( ，)上递减；1 a1 a当11a即1a 时，f (x) 0 x 1；f (x) 00 x 或 x 1；1 a1 af (x)在( ，1)上递增，在(0， )和(1，)上递减1 a1 a(3)由() a(2，3)时， f (x)在区间1，2上递减，由条件mln212max()()f xf xf (1) f (2) 1ln2 对任意 a(2，3)成立，a21 2a 2m 1 对任意 a(2，3)成立 m对任意 a(2，3)成立a21 2a 2a2 a21由 g(a)，( )g a 0 对 a(2，3)恒成立，g(a)在 a(2，3)上递增，a2 a21(a
