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1、考前解答题冲刺训练考前解答题冲刺训练-函数、导数与不等式函数、导数与不等式1、设函数)1ln(2)1()(2xxxf . (1)求f (x)的单调区间；(2)若当1, 11 eex时，不等式f (x)0；由/( )0fx ，得10x . 3 分 f (x)的递增区间是(0,)，递减区间是（-1, 0）. 4 分 （） 由/2 (2)( )01x xfxx，得x=0,x=-2（舍去）由（）知f (x)在11, 0e上递减，在0, 1e上递增. 6 分又 211(1)2fee， 2(1)2f ee, 且2 2122ee. 当11,1xee时，f (x)的最大值为22e .故当22me时，不等式f
2、(x)1 或x-1（舍去）. 由/( )0gx , 得11x . g(x)在0,1上递减, 在1,2上递增. 10 分 为使方程2( )f xxxa在区间0, 2上恰好有两个相异的实根，只须 g(x)=0 在0,1和(1, 2上各有一个实数根,于是有(0)0, (1)0, (2)0.g g g 22ln232ln3, a(2-ln2,3-2ln3 12 分 2、已知,12( ) |31|,( ) |39|(0),xxf xfxaaxR且.112212( ),( )( )( )( ),( )( )f xf xfxf xfxf xfx ()当时,求在处的切线方程；1a ( )f x1x ()当时,
3、设所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间29a2( )( )f xfxl的长度定义为),试求 的最大值； , m nnml()是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的a2,x2( )( )f xfxa取值范围；若不存在，请说明理由. 解: ()当时,.1a 2( ) |39|xfx 因为当时,3(0,log 5)x1( )31xf x 2( )93xfx 且,3log 5 12( )( )2 3102 3102 5 100xf xfx 所以当时,且3(0,log 5)x( )31xf x 31(0,log 5)由于,所以,又,( )3 ln3xfx(1)3ln3kf (1)2f故所求切线方
4、程为,2(3ln3)(1)yx (3ln3)23ln30xy() 因为,所以,则29a33990loglog2a 当时,因为,39logxa390xa310x 所以由,解得,21( )( )(39)(31)(1)380xxxfxf xaa38log1xa从而当时, 3398loglog1xaa2( )( )f xfx 当时,因为,390logxa390xa310x 所以由,解得,21( )( )(93 )(31)10(1)30xxxfxf xaa310log1xa从而当时, 33109loglog1xaa2( )( )f xfx当时,因为,从而0x 21( )( )(93 )(1 3 )8(1
5、)30xxxfxf xaa一定不成立2( )( )f xfx综上得,当且仅当时,33108log,log11xaa2( )( )f xfx故 33381042logloglog (1)1151laaa从而当时, 取得最大值为2a l312log5 ()“当时,”等价于“对恒成2,x2( )( )f xfx21( )( )fxf x2,x立”, 即“(*)对恒成立” |39| |31| 31xxxa2,x 当时,则当时,则(*)可化为1a 39log2a2x 39log39390xaaa,即,而当时,3931xxa813xa 2x 8113x所以,从而适合题意1a 1a 当时,.01a39log
6、2a1当时,(*)可化为,即,而,39logxa3931xxa813xa 8113x所以,此时要求1a 01a0)21(2)1(af0)21(2)1(af0)21(2)1(af0)21(2)1(af2当时,(*)可化为,39logxa90311x a 所以,此时只要求aR01a(3)当时,(*)可化为,即,而,392logxa9331xxa1013xa 101139x 所以,此时要求1 9a 119a由,得符合题意要求.119a综合知,满足题意的存在,且的取值范围是aa119a3、已知函数)( 1332)(23R Raxaxxxf()若在区间上为减函数，求的取值范围；)(xf) 1 , 1(a
7、()讨论在内的极值点的个数。)(xfy ) 1 , 1() 1332)(23xaxxxf (2 分)322)(2axxxf在区间上为减函数)(xf) 1 , 1(O 在区间上恒成立 (3 分)(xf ) 1 , 1(是开口向上的抛物线322)(2axxxf ) 1( f0322 a0 只需 即 (5 分) ) 1 (f 0322 a0 (6 分)21a21()当时， 21a存在，使得) 1 , 1(0x0)(0 xf在区间内有且只有一个极小值点 (8 分)(xf) 1 , 1(时 21a存在，使得) 1 , 1(0x0)(0 xf在区间内有且只有一个极大值点 (10 分)(xf) 1 , 1(
8、当时，由()可知在区间上为减函数21a21)(xf) 1 , 1(在区间内没有极值点)(xf) 1 , 1(综上可知，当时，在区间内的极值点个数为21a21a)(xfy ) 1 , 1(1当时，在区间内的极值点个数为 (12 分)21a21)(xfy ) 1 , 1(04、已知,函数.kR( )(01,01)xxf xmk nmn(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相,m n1,1mmn( )f x 应的 k 值,如果没有，说明为什么? (2) 如果判断函数的单调性；10,mn ( )f x(3) 如果，且，求函数的对称轴或对称中心.2m 1 2n 0k ( )yf x（1）
9、如果为偶函数，则( )f x()( ),fxf x恒成立， （1 分）xxxxmk nmk n即： （2 分）,xxxxnk mmk n()()0,xxxxnmk mn()(1)0xxnmk由不恒成立，得（3 分）0xxnm1.k 如果为奇函数，则( )f x()( ),fxf x 恒成立， （4 分）xxxxmk nmk n 即：（5 分）,xxxxnk mmk n ()()0,xxxxnmk mn由恒成立，得（6 分）()(1)0,xxnmk0xxnm1.k （2），10,mn Q1m n 当时,显然在R上为增函数；（8 分）0k ( )xxf xmk n当时，0k ( )lnln() l
10、nln )0xxxxmfxmmknnmkn nn由得得0,xn () lnln0,xmmknnln()log,lnx mmnkknnm 得.（9 分）log (log)mm nxkn当时, ,为减函数; （10 分）(,log (log)mm nxkn ( )0fx( )f x当时, ,为增函数. （11 分）log (log),)mm nxkn( )0fx( )f x(3) 当时，12,2mn( )22,xxf xk如果， （13分）0,k 22log ()log ()( )222() 222222kkxxxxxxxxf xkk 则 2(log ()( ),fkxf x 函数有对称中心（14
11、 分）( )yf x21( log (),0).2k如果（15 分）0,k 22loglog( )2222222,kkxxxxxxf xk则 2(log)( ),fkxf x函数有对称轴.（16 分）( )yf x21log2xk5、设函数，其图象在点处的切321( )()3f xaxbxcx abc(1,(1),( ,( )AfB m f m线的斜率分别为0,a（）求证：；01b a（）若函数的递增区间为，求的取值范围；( )f x , s t|st（）若当时（是与无关的常数） ，恒有，试求的最小xkk, ,a b c( )0fxak值答：（1），由题意及导数的几何意义得2( )2fxaxb
12、xc， （1）(1)20fabc， （2） 3 分2( )2fmambmca 又，可得，即，故 5 分abc424aabcc404ac0,0,ac由（1）得，代入，再由，得2cab abc0a ， （3） 6 分 113b a将代入（2）得，即方程有实2cab 2220ambmb2220axbxb根故其判别式得，或， （4） 7 分 2480bab 2b ab a0由（3） ， （4）得；8 分 01b a（2）由的判别式，2( )2fxaxbxc2440bac 知方程有两个不等实根，设为，2( )20( )fxaxbxc12,x x又由知，为方程（ ）的一个实根，则有根与系数的关(1)20fabc11x 系得， 10 分 122122,10bbxxxxaa 当或时，当时，2xx1xx( )0fx21xxx( )0fx故函数的递增区间为，由题设知，( )f x21,xx21, ,xxst因此，由（）知得的取值范围为；122| | 2bstxxa01b a|st2, 4)12 分 （3）由，即，即，( )0fxa220axbxac2220axbxb因为，则，整理得，0a 2220bbxxaa2(22)0bxxa
