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1、浅谈学生数学能力的培养一、新知识，新方法一、新知识，新方法在新课标中增加一定数量的新知识，包括算法，统计中参数估计，概率中的几何概型，解析几何中向量的数量积，不等式中的线性规划等必修内容；拓扑，对称性等选修内容。例如在统计教学过程中，教师应该把统计概念的阐述应该放到实际问题中，不需要明确的给出某个名次的具体含义。如果要确切给出每个统计概念也是不现实的，在人教社的 B 版教材中，每个统计的概念都是通过实例来阐述的。教师在教学过程中要正确的引导学生来正确的理解统计的概念，通过不同的实例来区分不同的统计概念。教学中要想使学生接受统计基本思想，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中去：提出问题，
2、收集、整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进等。学生避免在学习之前，大量的记忆一些计算公式，在学习的过程中亲身接触学习的知识和实际问题。学生学习的不是统计学中的计算公式，而是应用统计思想来处理实际问题，锻炼学生的用数学方法来思考实际问题，提高学生的数学能力和创新能力。同时，统计教学中突出了研究性学习的方式，通过自主参与类似于科学研究的学习活动，获得亲身体验，逐步形成善于质疑、乐于探究、勤于动手、努力求知的积极态度，产生积极情感，激发他们探索、创新的欲望。在数据收集过程中，学生可以亲手采取随机抽样或通过计算机网络获取数据等多种方式。在学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解
3、决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。但是，教师要时刻注意把握学习的总体方向。二、培养学生发散性思维二、培养学生发散性思维在传授知识为主的数学课堂教学中，教师的目的是让学生更多的学习数学知识，训练学生通过数学解题的训练来通过应试。学生获得了很多的数学知识却感觉不会用数学，数学与考试划上了等号。例如：2010 年 1 月武汉大学冬令营的数学试题中有如下一题。题目: 如图, 已知分别为椭圆 ()的左右两个顶点, 点是直线(为常数)上的一点, 直线, 分别交椭圆于两点, 求四边形面积的最大值。分析分析: : 根据图形的对称性可知， 点的位置可以假设在轴。 进而，如图
4、四边形面积其中分别表示两点的纵坐标。题目要求在点的纵坐标变动时,出四边形的面积的最大值。 由此，求出上述目标函数的的最大值, 即需要找到描述点的纵坐标与之间的联系。 事实上， 若点的纵坐标决定了直线与的斜率。 从而， 我可以假设其确定的斜率值来寻求它们之间的关系， 这样可以减少一些复杂的计算。 当然, 两直线的斜率是有关系的。当假设可设直线方程 ; .通过均值不等式得到面积取得最大值是当切仅当。当然化简的过程是有些繁复的。上述方法激发了对解答方法的探讨。 是否还有更简便的作法吗？出题人又是如何编制该题目的呢？事实上， 通过仿射变换把上述题目中椭圆转化成圆问题又怎样呢？ 在高等几何学中, 通过仿
5、射变换将椭圆转化为圆, 以此来将椭圆与圆互化, 可参见1中的类似作法. 本题中作如下替换:那么椭圆的标准方程就成为了单位圆的标准方程. 经过上述仿射变换, 原坐标系下的直线仍旧是直线, 点线的关联关系仍旧保持. 我们可以通过计算变换后图形的值再反演变换可得目标函数值. 注意到类似于原四边形的面积, 变换后四边形面积, 这里为的纵坐标. 于是, 我们可得到. 目标函数的取得最大值等价与取得最大值. 在新的坐标系下, 我们有更简便的方法来计算四边形面积的最大值. 于是, 有以下的解法二:解解: : 因为是直径, 所以是直角, 又, 故来计算两个直角三角形的面积差. 记, 那么同理. 从而,若假设,
6、 则. 那么, .进而, .故根据 取值范围(必为锐角), 当时, 上述函数取得最大值. 于是, , 且取得最大值当切仅当. 此时,直线的斜率为,直线的斜率为, 代入两直线夹角公式可得. 于是, . 根据求根公式, 可知.由假设, 又, 而, 故此时, 其中. (后者 的条件在题设中只要求了, 并没有后者的范围, 事实上, 本题严格讨论能否取到最大值是需要给出的范围条件的.)上述解法思路清晰， 运算简便， 可以看出试题的原始的思想和构造过程， 解决以特殊代替一般，再由特殊推广到一般，这是解决数学问题的一种思维方式。而且，通过两直线夹角公式的计算可知取得最大值时，点的坐标应满足的条件。由此题不难看出从特殊到一般是数学解题的一种重要方法。在近些年的高考试题中，不难发现压轴题目越来越倾向于检测学生的数学能力。所以，在高中数学教学中加强学生的数学能力的训练将是必然趋势。
