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1、文登学校 12006 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注一、填空题填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1） 0ln(1)lim1 cosxxx x（2） 微分方程的通解是(1)yxyx （3）设是锥面的下侧，则22(01)zxyzd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y（4）点到平面的距离(2,1,0)3450xyzd （5）设矩阵，为 2 阶单位矩阵，矩阵满足，则21 12AEB2BABEB（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则XY与0,3.max,1PX Y 二、选择题：二、选择题：714 小题
2、，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处( )yf x( )0,( )0fxfxxx0x的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则dyy 与( )f x0x0x (A) . (B) .0dyy 0dyy (C) . (D) . d0yy d0yy （8）设为连续函数，则等于( , )f x y14 00d( cos , sin ) df rrr r （）. （B）.2212 0d( , )dxxxf x yy2212 00d( , )dxxf x yy(C) . (D) .
3、 2212 0d( , )dyyyf x yx2212 00d( , )dyyf x yx（9）若级数收敛，则级数1n na文登学校 2(A) 收敛 . （B）收敛.1n na 1( 1)nn na(C) 收敛. (D) 收敛. 1 1nn na a 112nnnaa （10）设均为可微函数，且，已知是在约( , )( , )f x yx y与( , )0yx y00(,)xy( , )f x y束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( , )0x y(A) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy(B) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy(C) 若，则. 00(,)
4、0xfxy00(,)0yfxy(D) 若，则. 00(,)0xfxy00(,)0yfxy（11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是12,s LnAm n(A)若线性相关，则线性相关. 12,s L12,sAAAL(B)若线性相关，则线性无关. 12,s L12,sAAAL(C) 若线性无关，则线性相关. 12,s L12,sAAAL(D) 若线性无关，则线性无关. 12,s L12,sAAAL （12）设为 3 阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行得，再将的第 1 列的倍加到第AABB12 列得，记，则C110 010 001P （）. （）.1CP AP1CPAP（）. （）. TCP
5、 APTCPAP（13）设为随机事件，且，则必有,A B( )0, (|)1P BP A B(A) (B) ()( )P ABP A()( )P ABP B(C) (D) ()( )P ABP A()( )P ABP B文登学校 3（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且X2 11(,)N Y2 22(,)N 1211P XP Y则必有(A) (B) 1212(C) (D) 1212三三 、解答题：、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分（本题满分 10 分）分）设区域， 计算
6、二重积分22( , )1,0Dx y xyx221d d .1Dxyx yxy （16） （本题满分（本题满分 12 分）分）设数列满足 nx110,sin(1,2,)nnxxx nL（）证明存在，并求该极限；limnnx （）计算.211limnxnnnx x （17） （本题满分（本题满分 12 分）分）将函数展成的幂级数. 2( )2xf xxxx（18） （本题满分（本题满分 12 分）分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式( )f u(0,)22zfxy.22220zz xy（I）验证；( )( )0f ufuu（II）若，求函数的表达式. (1)0,(1)1ff ( )f u（19
7、） （本题满分（本题满分 12 分）分）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的( , )|0Dx yy( , )f x y都有. 证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都0t 2( ,)( , )f tx tytf x yDL有.( , )d( , )d0 Lyf x yxxf x yy 文登学校 4（20） （本题满分（本题满分 9 分）分） 已知非齐次线性方程组1234123412341 4351 31xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵的秩；A 2r A （）求的值及方程组的通解., a b（21） （本题满分（本题满分 9 分）分
8、）设 3 阶实对称矩阵的各行元素之和均为 3,向量是ATT 121,2, 1,0, 1,1 线性方程组的两个解.0Ax () 求的特征值与特征向量；A() 求正交矩阵和对角矩阵,使得.QTQ AQ （22） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设随机变量的概率密度为X， 1, 102 1,024 0,Xxfxx 其他令为二维随机变量的分布函数.2,YXF x y(, )X Y() 求的概率密度Y Yfy() .1,42F（23） （本题满分（本题满分 9 分）分） 设总体的概率密度为X,01, ;1,12, 0,x f xx 其他,其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样0112n,.
9、,XXXXN本值中小于 1 的个数，求的最大似然估计.12,.,nx xx文登学校 51.【分析分析】 本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.0 0【详解详解】 . 002ln(1)limlim211 cos 2xxxxx x xx【评注评注】本题为求未定式极限的基本题型，应充分利用等价无穷小代换来简化计算.0 0 完全类似例题见完全类似例题见数学复习指南数学复习指南 （理工类）（理工类）P.29【例例 1.31】2. 【分析分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解详解】 原方程等价为，d11 dyxyx两边积分得 ，整理得1lnlnyxxC.（）exyCx1
10、eCC 【评注评注】 本题属基本题型. 完全类似公式见完全类似公式见数学复习指南数学复习指南 （理工类）（理工类）P.1393. 【分析分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：，取上侧，使12211zxy 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标1进行计算即可.【详解详解】 设：，取上侧，则1221(1)zxyd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y.11d d2 d d3(1)d dd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx yx y zy z xzx y而 ，1d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y211006
11、d6ddd2 r Vvr rz.1d d2 d d3(1)d d0x y zy z xzx y所以 .d d2 d d3(1)d d2x y zy z xzx y【评注评注】本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算，均应特别注 意计算的准确性，主要考查基本的计算能力. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 12 讲第讲第 4 节例和练习，节例和练习， 数学复习指数学复习指文登学校 6南南 （理工类）（理工类）P.320【例例 11.19】 ，P.321【例例 11.21】4. 【分析分析】本题直接利用点到平面距离公式000222AxByCz
12、Dd ABC 进行计算即可. 其中为点的坐标，为平面方程.000(,)xyz0AxByCzD【详解详解】 . 2223 24 1 5 02 345d . 【评注评注】 本题属基本题型，要熟记空间解析几何中的概念和公式. 完全类似公式见完全类似公式见数学复习指南数学复习指南 （理工类）（理工类）P.266 表中相应公式表中相应公式.5. 【分析分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘AXBXABAXBC或或 的行列式性质进行计算即可. 【详解详解】 由题设，有()2B AEE于是有 ，而，所以.4B AE1121 1AE2B 【评注评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题 20
13、05 年考过. 完全类似例题文登暑期辅导班线性代数第完全类似例题文登暑期辅导班线性代数第 1 讲例讲例 6， 数学复习指南数学复习指南 （理工类）（理工类）P.378【例例 2.12】6. 【分析分析】 利用的独立性及分布计算.XY与【详解详解】 由题设知，具有相同的概率密度XY与.1,3( )3 0,xf x 0其他则 max,11,1PX YP XY 11P XP Y.2120111d39P Xx【评注评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：文登学校 7则 .1max,11,19SPX YP XYS阴完全类似例题见文登暑期辅导班概率论与数理统计第完全类似例题见文登暑期辅导班概率论与数理统计第 3 讲例讲例 5， 数学复习指南数学复习指南 （理工类）（理工类）P.525【例例 2.31】
