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1、Doasx高考数学数列综合题高考数学数列综合题1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列. nanSn*Nn2,nnna Sa()求数列的通项公式； na()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828 nbnnT2lnnnnaxb ex, 1ee）和任意正整数，总有 2；nnT() 正数数列中，.求数列中的最大项. nc )( ,*1 1Nncan nn nc（）解：由已知：对于，总有 成立*Nn22nnnSaa （n 2） 2 1112nnnSaa-得2 1122nnnnnaaaaa111nnnnnnaaaaaa均为正数， （n 2） 1,nnaa11
2、nnaa数列是公差为 1 的等差数列 na又 n=1 时， 解得=12 1112Saa1a.() nan*Nn（）证明：对任意实数和任意正整数 n，总有. ex, 12lnnnnaxb 21 nnnnTn11 321 21111 21 11222LL2121 11 31 21 2111nnnL()解：由已知 ， 2212 12cca5 45 454 34 343 23 23 55,244, 33ccaccacca易得 12234,.cccccDoasx猜想 n2 时，是递减数列. nc令 22ln1ln1,ln xx xxxxxfxxxf 则当 . 00ln1, 1ln3xfxxx，即则时，在
3、内为单调递减函数., 3 xf由. 11lnln1 1 nnccann nn知n2 时, 是递减数列.即是递减数列.ncln nc又 , 数列中的最大项为. 12cc nc3 23c2设 f1(x)=，定义 fn+1 (x)= f1fn(x) ，an =（nN*）.x12 2)0(1)0( nn ff(1) 求数列an的通项公式；(2) 若，Qn=（nN*） ，试比较 9T2n与nnnaaaaT23212232L144422 nnnnQn的大小，并说明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, 2212 41 )0(12nfan+1= -= -an. 2)0(
4、1)0(11 nn ff2)0(121)0(12nnff )0(24)0(1nn ff 21 2)0(1)0( nn ff 21数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=()n1. 41 21 41 21（2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n1+2na 2 n，T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n2121 21 21 21)21(= a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. 23DoasxT2n =+n(-)2n1=-(-)2n
5、+(-)2n1.23211)21(1412 n41 21 61 61 21 4n 21T2n =-(-)2n+(-)2n1=(1-). 91 91 21 6n 21 91nn2213 9T2n=1-.nn2213 又 Qn=1-， 2) 12(13 nn当 n=1 时，22 n= 4,(2n+1)2=9,9T2 nQ n； 当 n=2 时，22 n=16,(2n+1)2=25,9T2 nQn； 当 n3 时，2231022) 12()() 11(2nCCCCn nnnnnnL9T2 nQ n. 3 设不等式组所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均 nnxyyx300
6、为整数的点）的个数为 f(n)(nN*).（1）求 f(1)、f(2)的值及 f(n)的表达式；（2）设 bn=2nf(n)，Sn为bn的前 n 项和，求 Sn；（3）记，若对于一切正整数 n，总有 Tnm 成立，求实数 m 的取值nnnfnfT2) 1()(范围.（1）f(1)=3f(2)=6当 x=1 时，y=2n，可取格点 2n 个；当 x=2 时,y=n，可取格点 n 个f(n)=3n（2）由题意知:bn=3n2nSn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1=3（2+22+2
7、n）3n2n+1Doasx=311 232122 nn n=3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1（3）nnnnnnfnfT2)33(3 2) 1()(11(33)(36) 22 3 (33)2 2 21,12 22,12 23,12nnn nnn Tn nnTnnnn nnn nnn Q当时当时当时T1T4Tn故 Tn的最大值是 T2=T3=227m。2274已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，0a 1a nannS111nna Sa nbnnba.lgna（1）求数列的前项和； nbnnT（2）若对一切都有，求的取值范围.*nN1nnbb
8、a解：（1） ，111nna Sa Q(1) 1nna aSa当时，.1n 111(1) 1a aaSaa当2 时，=， n1nnnaSS1(1)(1) 11nn na aa aaaa*()nnaanNDoasx此时=，nnbalgnnaalgnanlgnaa=+12nTbbnb23lg (23a aaa).nna设+，2323nuaaanna，23(1)na uaaa1nnana1(1) 1n na anaa12(1).1(1)nnnnaa auaa 6 分lgnTa12(1).1(1)nnnaa a aa（2）由可得1 1lg(1)lgnn nnbbnaanaa 当时，由，可得1a lg0
9、a 1nan对一切都成立，*1(),1,1nnNanQ1nan*nN此时的解为. 1a 当时，由 可得01alg0a (1) ,1nnna an对一切都成立，Q1n n*1(),01,2nNa01nan*nN此时的解为.102a由，可知对一切，都有的的取值范围是或. 14 分*nN1nnbba102a1a 5、已知函数（） 。4444(1)(1)( )(1)(1)xxf xxx0x （）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；( )f xxxRx( )f x( )f x（II）在数列中，（） ，求数列的通项公式。na12a 1()nnaf anNna解：（）由及得42361( )44xxf xx
10、x( )f xx或（舍去） ，42 422 3613210144xxxxxxxx 21 3x 所以或，即的实不动点为或；1x 1( )f x1x 1x Doasx（II）由条件得，从而有4444 1 1444 1(1)(1)1(1)1 (1)(1)1(1)1nnnnn n nnnnnaaaaaaaaaaa ，1111ln4ln11nnnnaa aa由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有111lnln301a a1ln1nna aln34（） 。1114 1441131ln4ln331131nnnnnn n nnaaaaanN6、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的 Rxxfx2
11、41111, yxP222, yxP xf21PP中点的横坐标为P21求证：点的纵坐标是定值；P若数列的通项公式为，求数列的前 m 项的和； namnNmmnfan, 2 , 1,L namS若时，不等式恒成立，求实数的取值范围Nm11 mmmmSa Saa解：由题可知：，所以，121221 xx 21 4442444 444244442424444 241 24121212121212121212121xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy点的纵坐标是定值，问题得证P41 221yyyP由可知：对任意自然数，恒成立nm,21 mnmfmnf由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于： mm
12、fmmfmmfmfmfSm1221L mfmfmmfmmfmmfmmfmmfmmfmfmfSm12211221LL所以，所以， 1361) 1 (212121122112 mfmmmfmfmmfmmfmfmmfmfSmL13121mSmDoasx， 13121mSm23121 1mSm等价于 11 mmmmSa Sa02313112 ma mam依题意，式应对任意恒成立Nm显然，因为（） ，所以，需且只需对任意恒成立即：0a0maNm023131ma mNm对恒成立1323 mmaNm记（） ， 1323 mmmgNm 013239 1323 23531mmmm mmmgmg（）的最大值为， mgNm251 g25a
