更多优质自考资料尽在百度贴吧自考乐园自考乐园俱乐部 （ 俱乐部 id：5346389534638953463895346389（请牢记它哦~在百度贴吧的搜索框中输入俱乐部 id,可以直接进入俱乐部自考高数(工本)讲义课程代码课程代码:00023:00023:00023:00023目录1.函数与极限2.导数与微分3.不定积分4.定积分及其应用5.第一章空间解析几何与向量代数6.第二章多元函数的微分学7.第三章重积分8.第四章曲线积分与曲面积分9.第五章常微分方程函数与极限 一、函数 (一)几个概念 1、邻域：点 a 的δ邻域--( , )U aδ，点 a 的δ去心邻域--( , )U aδ? 2、函数的有界性：,0,,|( )|.XDMxXf xM⊂∃>∀ ∈极小 求最值 3、判定函数的凸性，求拐点：，上凸；( )0fx′′，下凹 3 不定积分 一、定义与基本公式 1、若，则 ( )( )F xf x′=( )( )( )( )( )( )f x dxF xCF x dxF xCdF xF xC′=+⇔=+⇔=+∫∫∫2、基本积分公式 kdxkxC=+∫()1111x dxxCμμμμ+=+≠ −+∫1lndxxCx=+∫21arctan1dxxCx=++∫21arcsin 1dxxC x=+ −∫()0,1lnx xaa dxC aaa=+>≠∫xxe dxeC=+∫sincosxdxxC= −+∫cossinxdxxC=+∫2sectanxdxxC=+∫2csccotxdxxC= −+∫sec tansecxxdxxC=+∫csc cotcscxxdxxC= −+∫tanln cosln |sec|xdxxCxC= −+=+∫cotln sinln|csc|xdxxCxC=+= −+∫secln sectanxdxxxC=++∫cscln csccotxdxxxC=−∫+ 2211arctanxdxCaaax=++∫2211ln2axdxCaaxxa−=++−∫2211ln2axdxCaaxax+=+−−∫221arcsinxdxCaax=+ −∫22221lndxxxaC xa=+±+ ±∫二、换元积分法 (一)第一类换元法 [ ( )]( )[ ( )]( )[ ( )]fxx dxfx dxFxϕϕϕϕϕ′==∫∫C+( )( )F xf x，设′= 例：1、11 11xxxeedxdxee+−=++∫∫x2、121(1)xxedxx+−∫3、1 2321dxxx+−−∫(有理化) 4、1 1 cosdxx+∫(21 cos2cos2xx+=) 5、25sincosxxdx⋅∫6、cos3 cos2xxdx∫7、4sin2 4cosxdxx+∫(求) 8、2cosdx 214arcsin2dxxx−∫9、1 1 lndxxx+∫● 常见的 12 种凑微分形式： 1、1()() ()f axb dxf axb d axba+=++∫∫2、11()() ()nnnnf axb xdxf axb d axbna−+=+∫∫+ 1 2 3、()()xxxxf e e dxf e de=∫∫4、211( )( )dx1ffdx xx= −x∫∫5、(ln )(ln ) lndxfxfx dx=∫∫x 6、()2()dxfxfxx=dx∫∫7、(sin )cos(sin ) sinfxxdxfx d=∫∫x 8、(cos )sin(cos ) cosfxxdxfx d= −x∫∫9、2(tan )sec(tan ) tanfxxdxfx d=∫∫x 10、2(cot )csc(cot ) cotfxxdxfx d= −x∫∫11、 2(arcsin )(arcsin ) arcsin 1fxdxfx dx x= −∫∫12、2(arctan )(arctan ) arctan1fxdxfx dxx=+∫∫(二)第二类换元法 1( )( ){[ ( )]( )}txf x dxftt dtϕϕϕ−=′=∫∫1、三角代换：2ax−22ax+222xa− 例：324xx dx−∫2、根式换元 例：521xdx x+∫11xdx e+∫31 (1)dxxx+∫3、倒变换 例：71 (2)dxx x +∫4211dx xx +∫三、分部积分法： (分解复杂度) ( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x=−∫∫1、 例：( )kx nP x a dx∫( )sinnP xaxdx∫( )cosnP xaxdx∫cosxxdx∫2、 ( )arcsinnP xxdx∫( )arctannP xxdx∫( )lnnP xxdx∫例：arctan xdx∫ln xdx∫3、 sin()kxeaxb+∫ddxcos()kxeaxb+∫xsin(ln )x dx∫例：22arctanarctan1 1xxdxxdx x=+ +∫∫● 分部积分法的推广公式及表格法表示： 设，有 n+1 阶连续导数，则 ( )uu x=( )vv x=(1)( )(1)(2)(3)1(1)( 1)nnnnnnnuvdxuvu vu vu vuvdx+−−−+′′′′′′=−+−++ −∫∫?+u的各阶导数 u u′u′′u′′′… (1)nu+(1)nv+的各阶 原函数 (1)nv+( )nv (1)nv−(2)nv−… v + +四、有理函数积分 1、真分式与假分式 例：32211 11xxxxx++=+++2、多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积 ( )Q x22 0( )()() ()()Q xb xaxbxpxqxrxsαβλ=−−++++??μ3、12 1( ) ( )()()AP xAA Q xxaxaxaα αα−=+++−−−?+ +?????????????? 12 1()()BBB xbxbxbβ ββ−++++−−−?1122 2212()()M xNM xNM xN xpxqxpxqxpxqλλ λλ−+++++++++++++? +????????????????????? 1122 2212()()R xSR xSR xS xrxsxrxsxrxsμμ μμ−++++++++++++? ● 怎样求系数：先通分，利用分子相等，有两种方法：(1)待定系数法 (2)赋值法 例：221111 (1)(1)1x xxxx=+−−−−4、积分：被积函数分解后，只有三种形式：多项式、()nA xa−、2()nMxN xpxq+ ++2222()()(nnMxNMtbdxdtdtxpxqtata+=+++++∫∫∫2)n2221221222(1)()()()nndxxxndxaxaxa−−=+−+++∫∫nx 22212212212(1)()()()nnxandxaxaxa−−⎡⎤=+−−⎢⎥++⎣⎦∫nx+即：122211(23)2(1) ()nnxnInIanxa−−⎡⎤=+⎢−+⎣⎦−⎥ 有理函数的原函数都是初等函数。
5、可化为有理函数的积分 (1)(sin ,cos )fxx d∫x 由于 22tan2sin 1tan2xxx= +221tan2cos 1tan2xxx− = +令 tan()2xuxππ=−−∫)(第二类换元法，根式代换) 11、(1)dx xx+∫(注意分母根式内是二次式，先配方) 12、2cosxxdx∫(降次，分部) 13、(分部) 14、cosaxebxd∫x 1xdxe+∫(根式代换) 15、 221dxxx −∫(倒变换或三角代换) 3 16、22 5/()dx ax−∫2(三角代换) 17、 421dxxx+∫(倒变换或三角代换) 18、sinxxdx∫19、2ln(1)xdx+∫(分部) 20、23sin cosxdxx∫(提示：2322422tansecsecsecsincossinsincos(1 sin)xxxxxxxdxdxxx⎧=−⎪⎨=⎪−⎩) 21、arctanxdx∫(代换，分部) 22、1 cos sinxdxx+∫(用升公式开方，分类) 23、382(1)xdxx+∫(凑入，(1)有理函数积分；(2)三角代换更好) 24、118432xdxxx++∫(凑入) 25、416dx x−∫(直接可裂项) 26、sin 1 sinxdxx+∫(222 22cos1cos2,21 cos2cos2 sin (1 sin )(tan sectan)cost ttdtttxxdxxxx dxxπ⎧−⎪== −=−⎪⎪+⎨ ⎪−⎪=−⎪⎩∫∫∫∫dt) 27、sin 1 cosxxdxx+ +∫(222sincossin222sec1 cos1 cos2222cos2xx xxxxxdxdxddxxxx=+=+++∫∫∫∫) 28、3 sin 2cossin cosxxxxedxsinsinsecxx x−∫(xdeedx=−∫∫分部) 29、33()xdxxxx+∫30、2(1)xdx e+∫(1xt = +e) 31、3421xxxxeedxee+ −+∫(提一个xe凑入) 32、2(1)xxxedxe +∫(21 1(1)xxxe ee′⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠) 33、2ln (1)xx dx++∫(两次分部) 34、2 3/2ln (1)xdxx+∫(2 3/221 (1)1xdxx=++) 35、21arcsinxxdx−∫(sinxt=，降次，分部) 36、32arccos1xxdx x−∫(32cos ,cos(1 sin)sinxtt tdtt tdt== −⋅= −−∫∫) 37、cot 1 sinxdxx+∫(cos sin (1 sin )xdxxx+∫，凑入，有理) 38、3sincosdx xx∫(同乘cosx，代换，倒变换) 39、(2cos )sindx xx+∫(同乘sinx，凑入，有理；或直接有理) 40、sin cos sincosxxdxxx+∫(21(sincos )1,2sincossincos2sin()4xxdxdxdxxxxxxπ+−=+++∫∫∫) 41、cos sincosxdxxx+∫(1(cossin )(cossin ) 2sincosxxxxdxxx++−−+∫) 4 定积分及应用 一、定积分的概念与性质 1 dx1、定义： 01lim( )( )nbiiaiSfxf x λξ →==Δ=∑∫by=f (x) axy2、存在定理：(1)若( )[ , ]f xC a b∈，则( )f x在[a,b]可积 (2)若( )f x在[a,b]有界，且只有有限个间断点，则( )f x在[a,b]可积 3、定积分的几何意义：表示介于 x 轴、( )f x曲线、两条直线xa=和xb=之间各部分面积的代数和。
4、定积分的性质 (1)规定： ( )0aaf x dx =∫( )( )baabf x dxf x dx= −∫∫(2) 线性性 1212[( )( )]( )( )bbaak f xk g x dxkf x dxkg x dx±=±∫∫ba∫(3)( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx=+∫∫∫对区间的可加性 (4) 当被积函数为 1 时，表示积分区间的度量 badxba=−∫(5)若在[a,b]上，，则；若在[a,b]上，( )0f x ≥( )0baf x dx ≥∫( )( )f xg x≥，则( )( )bbaaf x dxg x dx≥∫∫由此有：|( )||( )|bbaaf 。