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1、南南 京京 师师 范范 大大 学学 泰泰 州州 学学 院院毕毕 业业 论论 文（设文（设 计）计）（ 一三一三 届届 ）题题 目：目： 关于逆矩阵求法的讨论 院（系、部）：院（系、部）： 数学科学与应用学院 专专 业：业： 数学与应用数学 姓姓 名：名： 张利明 学学 号号 指导教师：指导教师： 肖艳艳 南京师范大学泰州学院教务处南京师范大学泰州学院教务处 制制南京师范大学泰州学院本科毕业论文1摘摘 要要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几 种求逆矩阵的方法。主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程 组法，并对部分进行了简要论证。关键字：逆矩阵；
2、分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Abstract: In the aim of extracting the inverse of the matrix more conveniently, this paper introduces several methods of extracting the inverse matrix according to the different features of the matrix. It mainly includs the definition method, the adjoint matrix method, the elementary o
3、peration method, the partitioned matrix method and the method of solving the equations. Some of these methods are briefly demonstrated in the paper.Keywords: inverse matrix; partitioned matrix; elementary operation; adjoint matrix南京师范大学泰州学院本科毕业论文2目目 录录1 绪论 .31.1 研究意义.31.2 国内外研究现状.31.3 本文主要解决的问题.42 矩
4、阵的基础知识 .42.1 矩阵的定义及性质.42.1.1 矩阵的定义.42.1.2 矩阵的性质.52.2 逆矩阵的定义与性质.62.2.1 逆矩阵的定义.62.2.2 逆矩阵的性质.73 逆矩阵的求法 .73.1 用定义求逆矩阵.73.2 用伴随矩阵求逆矩阵.83.3 用初等变换求逆矩阵.93.3.1 初等行变换.93.3.2 初等列变换.93.3.3 混合采用初等行、列变换.103.4 用分块矩阵求逆矩阵.123.5 用解方程组求逆矩阵.12结 论.14谢 辞.15参考文献.16南京师范大学泰州学院本科毕业论文31 1 绪 论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是
5、数学 研究和应用的一个重要工具。 “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之 前就已经发展的很好了。 18 世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型 的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概 念和结论。1748 年，瑞士数学家欧拉(LEuler，17071783)在将三个变数的二次型 化为标准形时，隐含地给出了特征方程的概念。1773 年，法国数学家拉格朗日 (JLLagrange，17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801 年德国
6、数 学家高斯(CFGauss，1777 一 1855)在算术研究中，将欧拉与拉格朗日的二次 型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数 矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了 型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。1.1 研究意义矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重要工具，很多实际 问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要 的地位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研 究的主要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的
7、值以及它的伴随矩阵，当其 阶数较高时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆矩阵通常是不方便的。为 了更便捷地求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法，这些 方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是我们更好的学习 线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实 的基础。1.2 国内外研究现状矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学 研究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位， 逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随 着逆矩阵研究的深
8、入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数 值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小 二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和 网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。南京师范大学泰州学院本科毕业论文41.3 本文主要解决的问题本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然后介绍了逆矩阵的 几种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方 程组法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划、经济学、 数值分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。2 矩
9、阵的基础知识2.1 矩阵的定义及性质2.1.1 矩阵的定义由个数排列成个行个列的数表nmija(1,2,;1,2, )im jnmnmnmmnaaaaaaaaaALMMMLL2112221141211称为矩阵，其中数称为矩阵的元.nmijaA),(ji当时，称为阶矩阵或方阵.nm Ann元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或简记为.nmOO两个矩阵，如果，则称矩阵与为同型矩nmijaA)(tsijbB)(sm tn AB阵.如果两个同型矩阵与的对应元素相等，即，)(ijaA )(ijbB ijijab，则称矩阵与相等，记作或.11,2,im 1,2,jnABBA nmijnmijba)()(当时，
10、矩阵称为行矩阵或行向量.1m),(21naaaA 南京师范大学泰州学院本科毕业论文5当时， ，矩阵称为列矩阵或列向量.1nmbbbAM21形如nnaaaLMMMLL0000002211的阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作n.12 12(,)nna adiag a aaa LO特别当时，这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵.aaaannL2211n当时，这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵，记作或，在12211nnaaaLnnEnI阶数不致混淆时，简记为或，即.EI100010001LMMMLLnI主对角线下方的元素都是零的方阵nnnnaaaaaaLMMMLL000222112
11、11叫做上三角矩阵.主对角线上方的元素都是零的方阵nnnnaaaaaaLMMMLL21222111 000叫做下三角矩阵.22.1.2 矩阵的性质性质 1 矩阵的加法运算具有以下运算规律：南京师范大学泰州学院本科毕业论文6加法交换律；) 1 (ABBA加法的结合律；)2()()(CBACBA，)3(AAOOA其中，都是矩阵.ABCnm 性质 2 矩阵数乘运算满足以下运算规律：；) 1 ()()(kAllAkA；)2(kBkABAk)(，)3(lAkAAlk )(其中，都是矩阵， 为任意实数.ABnmkl 性质 3 矩阵乘法满足的运算规律和性质：结合律 ；) 1 ()()(BCACAB分配律 ，；)2(ACABCBA)(BCACCBA)(数与乘法的结合律 ；)3()()()(ABkkBABkA当，均为阶方阵时，有；)4(ABnBAAB ；)5(TTTABAB)(.3)6()(),(min()(
