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1、第 1 页20122012 届高三数学摸底试题（理）答案届高三数学摸底试题（理）答案 一、选择题：一、选择题： DABDBDABDB CDACDA二、填空题：二、填空题：9. , 10. 16, 11. 10,10, 12.12. . 13. 2 3| 32xx 14. (，0)三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共6小题，满分小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分 12 分)已知函数,2( )2 3cos2sin cos3f xxxx(1) 求函数的最小正周期及最小值；(2) 求函数的单调递增区间；( )f
2、 x解:(1)f(x)= 2cos2x-2sinxcosx-=(cos2x+1)-sin2x-2 分3333=2cos(2x+)4 分6最小正周期为6 分当时，即函数有最小值 8 分22()62xkkZ()6xkkZ2（2） 10 分 22 26kxk12 分7,1212kxkkZ函数的单调递增区间为 12 分( )f x7,1212kkkZ16.(本小题满分 12 分) 解：(1) 周销售量为 2 千件,3 千件和 4 千件的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. .3 分(2)的可能值为 8,10,12,14,16,且.5 分P（=8）=0.22=0.04,P（=10）=20.20.5=
3、0.2,P（=12）=0.52+20.20.3=0.37,P（=14）=20.50.3=0.3,P（=16）=0.32=0.09.的分布列为810121416P0.040.20.370.30.09=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元）.12 分E9 分第 2 页17(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱中，点、分111ABCABCACBC11,2ACBCCCDE别是、的中点. 1AA1CC（1）求证：平面；/ /AE1BC D（2）证明：平面平面1BC D BCD（3）求与平面所成角的正切值；CD1BC D（1）证明：在矩形中，11ACC A由11
4、/ /,C EAD C EAD得是平行四边形。1AEC D所以， 2 分1/ /AEDC又平面，平面，AE 1BC D1C D 1BC D所以平面3 分/ /AE1BC D（2）证明：直三棱柱中，111ABCABC1BCCC，ACBC1CCACCI所以平面，BC 11ACC A而平面，1C D 11ACC A所以。6 分BC 1C D在矩形中，从而，11ACC A112,2DCDCCC222 11DCDCCC所以， 8 分1C DDC又，DCBCCI所以平面， 9 分1C D BCD而平面，1C D 1BC D所以平面平面 10 分1BC D BCD（3）由（2）可知平面平面，所以，斜线在平面
5、的射影在上，1BC D BCDCD1BC DBD为所求 12 分BDC又由（2）可知，所以平面，所以，BC 11ACC ABC CDA1B1DABCE图 5 C1第 3 页所以，三角形是直角三角形， 所以所求值为14 分BCD1,2BCCD22另解：以为原点，,为,，轴建立直角坐标系1C11C D11C B1C Cxyz则 , 则(0,0,2)C(1,0,1)D1(0,0,0)C(0,1,2)B( 1,0,1)DC uuu r设平面的法向量为1BC D( , ,1)nx yr由得 10,n C Dr uuuu r10x 由 得 10n BCr uuu u r20y由以上两式解得 12 分1,2
6、xy ( 1, 2,1)n r设与夹角的为，则nrDCuuu r 222222( 1, 2,1) ( 1,0,1)cos ( 1)( 2)1( 1)01n DCnDC t uuu rtuuu r， 所以，所以所求值为14 分1 32218.(本小题满分 14 分) 某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为 5 元/本，经销过程中每本书需付给代理 商 m 元（1m3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9x11） ，预计一年的销售量为2)20(x万本（）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式； （）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，
7、并求出L的最大值)(mR解：（）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：11, 9,)20)(5(2xxmxL4 分（定义域不写扣 1 分）（）)20)(5(2)20()(2/xmxxxL)3230)(20(xmx6 分令0L 得mx3210或 x=20（不合题意，舍去） 7 分31 mQ， 123210332m在mx3210两侧L的值由正变负所以（1）当113210332m即231 m时，3 max)35(4)3210(20)53210()3210(mmmmmLL9 分（2）当12321011m即323 m时，第 4 页)6(81)1120)(511()11(2 maxmm
8、LL，11 分所以 323),6(81231,)35(4 )(3mmmmmR答：若231 m，则当每本书定价为m3210元时，出版社一年的利润L最大，最大值3)35(4)(mmR（万元） ；若323 m，则当每本书定价为 11 元时，出版社一年的利润L最大，最大值)6(81)(mmR（万元） 14 分19(本小题满分 14 分) 已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线24yx的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为2，倾斜角为F的直线 过点.45olF（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与1Fxy42MM关于直线 对称，若存在，求出点的坐
9、标，若不存在，说明理由.1FlM解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，2 分xy42)0 , 1 (F1x 3 分122ba又椭圆截抛物线的准线所得弦长为2，1x 得上交点为，)22, 1( 4 分121 122ba由代入得，解得或（舍去） ，01224bb12b212b从而 6 分2122 ba 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 7 分22 121xy第 5 页（2） 倾斜角为的直线 过点，45olF 直线 的方程为，即，8 分l) 1(45tanxyo1 xy由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线 对称，)0 , 1(1F),(00yxM1Fl9 分则得 10 分 12) 1( 20111
10、00000xyxy解得，即 11 分 2100 yx)2, 1 ( M又满足，故点在抛物线上。 13 分)2, 1 ( Mxy42M所以抛物线上存在一点，使得与关于直线 对称。14 分xy42)2, 1 ( MM1Fl20(本小题满分 14 分) 已知数列,na122aa112(2)nnnaaan（）求数列的通项公式nana（）当时,求证:2n 12111.3naaa（）若函数满足：( )f x2* 1(1),(1)( )( ). ()faf nfnf nnN求证：111.( ) 12nkf k解: ,两边加得: ,112nnnaaaQna112() (2)nnnnaaaan是以 2 为公比,
11、 为首项的等比数列.1nnaa124aa- -2 分1 14 22 2nn nnaa gg由两边减得: 112nnnaaa2na112(2) (2)nnnnaaaan 是以为公比, 为首项的等比数列.12nnaa12122aa -4 分1 122 ( 1)2 ( 1)nn nnaa gg第 6 页-得: 322( 1) nn na 所以,所求通项为-6 分22( 1) 3nn na (2) 当为偶数时,n1111 1111111113113222 21212 222213223 22311()(2)2 22212 222 22nnnnnnnn nnnnnnnnnnnnnaan Qgggggg-
12、8 分2 12111113111312.(1.)333122222212nnn naaa gg当为奇数时,又为偶数n22( 1) 03nn na Q1 110,0n naa 1n由(1)知, -10 分121211111111.3nnnaaaaaaa（3）证明：2(1)( )( )0f nf nfnQ(1)( ),(1)( )(1)(1)20f nf nf nf nf nf又211111 (1)( )( )( ) ( ) 1( )( ) 1f nfnf nf nf nf nf n-12 分111 ( ) 1( )(1)f nf nf n11111111 ( ) 1(1)(2)(2)(3)( )
13、(1) 1111.(1)(1)(1)2nkf kfffff nf nff nf-14 分内部资料 仅供参考9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&M
