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1、8.2 空间几何体的表面积和体积 考点一空间几何体的表面积 1.(2014 福建,3,5 分)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形 旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2 B. C.2 D.1答案 A 2.(2014 陕西,5,5 分)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体的侧面积是( ) A.4 B.3 C.2 D.答案 C 3.(2014 大纲全国,10,5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底 面边长为 2,则该球的表面积为( )A. B.16 C.9 D.814274答案 A 4.(2014 山东,13,5 分)
2、一个六棱锥的体积为 2,其底面是边长为 2 的正六边形,侧3棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 答案 12考点二空间几何体的体积5.(2014 课标,7,5 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为,D 为3BC 中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.3 232答案 C 6.(2014 四川,4,5 分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )锥体体积公式:V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高1 3A.3 B.2 C. D.13答案 D 7.(2014 重庆,7,5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
3、 )A.12B.18C.24D.30答案 C 8.(2014 湖北,10,5 分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近136似取为 3.那么,近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )275A. B. C. D.22725815750355113答案 B 9.(2014 天津,10,5 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),
4、则该几何体的体积 为 m3. 答案 20 310.(2014 广东,18,13 分)如图 1,四边形 ABCD 为矩形,PD平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图 2 折叠:折痕 EFDC,其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M,并且 MFCF. (1)证明:CF平面 MDF; (2)求三棱锥 M-CDE 的体积.解析 (1)证明:PD平面 ABCD,AD平面 ABCD,PDAD. 四边形 ABCD 是矩形,ADDC. 又PDDC=D,AD平面 PCD. CF平面 PCD,ADCF. 又MFCF,MFAD=M,CF平面 MDF
5、. (2)由(1)知 CFDF,PDDC,在PCD 中,DC2=CFPC.CF= .212又EFDC,=ED=.3 12 234PE=ME=-=,3343 34SCDE= DCED= 1=.12123438在 RtMDE 中,MD=,2 262VM-CDE= SCDEMD= =.1313386221611.(2014 江西,19,12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1. (1)求证:A1CCC1;(2)若 AB=2,AC=,BC=,问 AA1为何值时,三棱柱 ABC-A1B1C1体积最大,并求37此最大值.解析 (1)证明:由 AA1BC 知 BB1BC,又
6、BB1A1B,故 BB1平面 BCA1,则 BB1A1C, 又 BB1CC1,所以 A1CCC1. (2)解法一:设 AA1=x,在 RtA1BB1中,A1B=.121 2 14 2同理,A1C=.121 2 13 2在A1BC 中,cosBA1C=12+ 12 2211=-,sinBA1C=,2(4 2)(3 2)12 72(4 2)(3 2)所以= A1BA1CsinBA1C=. 11212 722从而三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=AA1=. 112 722因为 x=,12 72122 74 7(267)2+367故当 x=,即 AA1=时,体积 V 取到最大值.67427427
7、3 77解法二:过 A1作 BC 的垂线,垂足为 D,连结 AD.由于 AA1BC,A1DBC,故 BC平面 AA1D,BCAD. 又BAC=90,所以 SABC= ADBC= ABAC,得 AD=.12122 217设 AA1=x,在 RtAA1D 中,A1D=,2 21127 2= A1DBC=. 11212 722从而三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=AA1=. 112 722因为 x=,12 72122 74 7(26 7)2+36 7故当 x=,即 AA1=时,体积 V 取到最大值.6 74274273 7712.(2014 福建,19,12 分)如图,三棱锥 A-BCD 中,
8、AB平面 BCD,CDBD. (1)求证:CD平面 ABD; (2)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A-MBC 的体积.解析 (1)AB平面 BCD,CD平面 BCD,ABCD.又CDBD,ABBD=B, AB平面 ABD,BD平面 ABD,CD平面 ABD. (2)解法一:由 AB平面 BCD,得 ABBD.AB=BD=1,SABD= .12M 是 AD 的中点,SABM= SABD= .1214由(1)知,CD平面 ABD, 三棱锥 C-ABM 的高 h=CD=1,因此三棱锥 A-MBC 的体积 VA-MBC=VC-ABM= SABMh= .13112解法二:由 AB平面 BCD 知,平面 ABD平面 BCD, 又平面 ABD平面 BCD=BD, 如图,过点 M 作 MNBD 交 BD 于点 N,则 MN平面 BCD,且 MN= AB= ,1212又 CDBD,BD=CD=1,SBCD= .12三棱锥 A-MBC 的体积 VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD= ABSBCD- MNSBCD= .1 31 31 12
