《高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 3535 讲讲 基本不等式基本不等式考纲要求考情分析命题趋势2016江苏卷，142015全国卷，122015福建卷，61.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.分值：5 分对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.1基本不等式abab 2(1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_.(2)等号成立的条件：当且仅当_ab_时取等号2几个重要的不等式：(1)a2b2_2ab_(a，bR R)(2) _2_(a，b同号)b aa b(3)ab2(a，bR R)(ab 2)(4)2(a，bR R)a2b2 2(a
2、b 2)23算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等ab 2ab式可叙述为_两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数_.4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_xy_时，xy有最_小_值是_2_(简p记：积定和最小)；(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_xy_时，xy有最_大_值是_(简记：p2 4和定积最大)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx 的最小值是 2.( )1 x(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于 4.( )4 cos x(0， 2)(3)x0，y0 是 2 的充
3、要条件( )x yy x(4)若a0，则a3的最小值为 2.( )1 a2a解析 (1)错误因为x没有确定符号，所以不能说最小值为 2.(2)错误利用基本不等式时，等号不成立(3)错误不是充要条件，当x0，n0，mn218.当且仅当mn9 时，等号成立mn3若M(aR R，a0)，则M的取值范围为( A A )a24 aA(，44，) B(，4C4，) D4,43解析 Ma ，当a0 时，M4；当a2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当1 x21 x2x21 x2x2，1 x2即(x2)21 时，等号成立，x1 或 3.又x2，x3，即a3.【例 3】 (1)(2018山东烟台期
4、末)已知正实数x，y满足 1，若x2ym22m2 x1 y5恒成立，则实数m的取值范围是( B B )A(2,4) B(4,2)C(，24，) D(，42，)(2)(2018福建南平一模)已知x，y都是非负实数，且xy2，则的最8x2y4小值为( B B )A B 1 41 2C1 D2(3)(2018河南许昌二模)已知x，y均为正实数，且 ，则xy的最小1 x21 y21 6值为( C C )A24 B32 C20 D28解析 (1)因为x0，y0， 1，所以x2y(x2y)4 422 x1 y(2 x1 y)4y xx y8，当且仅当x4，y2 时取等号，所以x2y的最小值是 8.4yx
5、xy所以m22m0 恒成立，得k10，b0)在两圆的公共弦上，则 的最小值为_8_.1 a9 b解析 由题意知，圆C1：x2y24 和圆C2：(x2)2(y2)24 两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即xy2，又点P(a，b)(a0，b0)在两圆的公共弦上，所以ab2，则 (ab)1 a9 b1 25 5 28Error!Error!，所以 的最小值(1 a9 b)1 2(10b a9a b)1 2(b a9a b)1 2b a9a b1 a9 b为 8.易错点 不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆” “拼” “凑”等技巧【例 1】 已知正数x，y
6、满足x2(xy)恒成立，则的最小值为_.2xy解析 由已知得恒成立x2 2xyxy2，(当且仅当x2y时取等号)2，的x2 2xyxyx2x2yxyxx2y xy最小值为 2.答案 2【跟踪训练 1】 已知x为正实数，且x21，求x的最大值y2 21y2解析 因为x0，所以x.1y22x2(12y2 2)22x2(1 2y2 2)8又x2 .(1 2y2 2) (x2y2 2)1 23 2所以x，当且仅当x2 ，1y22(1 23 2)3 241 2y2 2即x时，等号成立故(x)max.321y23 24课时达标课时达标 第第 3535 讲讲解密考纲考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出
7、现在解答题中也渗透基本不等式的应用一、选择题1已知f(x)x 2(x0，则下列不等式中，恒成立的是( C C )Aab2B ab1 a1 b1abC 2Da2b22abb aa b解析 ab0， 0， 0， 22，当且仅当ab时取等号b aa bb aa bb aa b3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为( C C )A B42C2 D22解析 a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2 时等号成立aa2b24(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是( A A )x22 x1A22 B2233C2 D23解析 x1，x10.9yx22 x1
8、x22x2x2 x1x22x12x13x1x12x122x13x13 x12222.x1(3 x1)3当且仅当x1，即x1时，取等号3 x135若正数a，b满足ab2，则的最小值是( B B )1 a14 b1A1 B9 4C9 D16解析 (52) ，1 a14 b1(1 a14 b1)a1b141 414b1 a14a1b11 449 4当且仅当，b12(a1)时取等号，故选 Bb1 a14a1b16小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0)图象上的点，则xy的最小值为_2_.2 x2解析 因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy2xy时等号成立8已知正数x，
9、y满足x2y2，则的最小值为_9_.x8y xy解析 由已知得1，则 (102x2y 2x8y xy1 y8 x(1 y8 x) (x2y 2)1 2(10x y16y x)1 210)9，当且仅当x ，y 时取等号164 31 39已知x，y为正实数，3x2y10，的最大值为_2_.3x2y5解析 由得2，ab 2a2b2 23x2y2 3x2 2y22 3x2y5当且仅当x ，y 时取等号5 35 2三、解答题10(1)当x0，3 2y (2x3)1 28 2x33 21 232x16 32x3 2 2 4 ，1 232x16 32x3 23 25 2当且仅当 32x，即x 时，ymax
10、.16 32x1 25 2函数y的最大值为 .5 2(2)00，y，当且仅当 2x42x，即x42x1 22x42x1 2(2x42x 2)22x1 时，ymax.211已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析 (1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，16xyxy(8)0，又0，8 即xy64.xyxyxyxy当且仅当x4y即 8y8y4y20 时，即y4，x16 时取等号，xy的最小值为 64.(2)2x8yxy0， 1，2 y8 x11xy(xy)(2 y8 x)1010218.2x y8y x2x y8yx当且仅当，即x2y即 4y8
11、y2y20 时，即y6，x12 时取等号，2x y8y xxy的最小值为 18.12某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，240 x所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)(240 x1)240 x240x160.96 000 x因为x表示相邻两增压站之间的距离，则 0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x240)96 000 x(2)y240x160216024 8001609 440，当且仅96 000 x96 000 x240x当240x，即x20 时等号成立，96 000 x此时k1111.240 x240 20故需要修建 11 个增压站才能使y最小，其最小值为 9 440 万元
