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1、12011 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）满分 150 分 考试时间 120 分钟注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的。1在等
2、差数列 na中，22a ，3104,aa则A12B14C16D182设，则=2, |20,UR Mx xxUMA0，2B0,2C ,02,D ,02,3曲线在点（1，2）处的切线方程为223yxx A B31yx35yx C D35yx2yx4从一堆苹果中任取 10 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在内的频率为114.5,124.5)A0.2B0.3C0.4D0.55已知向量共线，那么的值为(1, ),(2,2),ak baba且与a bA1 B2 C3 D46设的大小关系是113 33124log,l
3、og,log, ,233abca b c则ABCDabccbabacbca7若函数1( )2f xxn(2)n 在处取最小值，则xaa 2A12 B13 C3 D48若ABC的内角，, ,A B C满足，则cosB 6sin4sin3sinABCA15 4B3 4C3 15 16D11 169设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A(0,2) B(1,2) C 2(,1)2D，( 2)10高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为 1 的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距
4、离为A10 2B23 2C3 2D2二、填空题，本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填写在答题卡相应位置上11的展开式中的系数是 6(12 )x4x12若,且，则 3cos5a 3( ,)2atana 13过原点的直线与圆相交所得弦的长为 2，则该直线的方程为 222440xyxy14从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动，则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为 15若实数的最大值是 , ,222,2222,aba babca b ca b cc 满足则三、解答题，本大题共 6 小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分 1
5、3 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分）设是公比为正数的等比数列，。na12a 324aa（）求的通项公式；na（）设是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列的前项和。 nbnnabnns17 （本小题满分 13 分， （I）小问 6 分， （II）小问 7 分） 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中：（I）没有人申请 A 片区房源的概率；（II）每个片区的房源都有人申请的概率。 18 （本小题满分 13 分， （I）小问 7 分， （II）小问 6 分）设函数( )si
6、n cos3cos()cos ().f xxxxx xR3（1）求( )f x的最小正周期；（II）若函数( )yf x的图象按3,42b平移后得到函数( )yg x的图象，求( )yg x在(0,4上的最大值。19 （本小题满分 12 分， （）小题 5 分， （）小题 7 分）设的导数为，若函数( )yfx的图像关于直线3.2( )21f xxaxbx( )fx1 2x 对称，且(1)0f （）求实数, a b的值（）求函数( )f x的极值20 （本小题满分 12 分， （）小问 6 分， （）小问 6 分）如题（20）图，在四面体ABCD中，平面 ABC平面ACD， ,2,1ABBC
7、ACADBCCD（）求四面体 ABCD 的体积；（）求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值。21 （本小题满分 12 分。 （）小问 4 分， （）小问 8 分）4如题（21）图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=2 2，一条准线的方程是2 2x （）求该椭圆的标准方程；（）设动点 P 满足：，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率2OPOMONuuu vuuuu vuuu v之积为1 2，问：是否存在定点 F，使得PF与点 P 到直线 l：2 10x 的距离之比为定值；若存在，求 F 的坐标，若不存在，说明理由。题（21）图参考答案5一、选择题15 DAACD 610 B
8、CDBA 二、填空题： 11240124 31320xy147 301522log 3三、解答题：满分 75 分 16 （本题 13 分）解：（I）设 q 为等比数列的公比，则由，na2 1322,4224aaaqq得即，解得（舍去） ，因此220qq21qq 或2.q 所以的通项为na1*2 22 ().nn nanN（II）2(12 )(1)12.122nnn nSn 1222.nn17 （本题 13 分） 解：这是等可能性事件的概率计算问题。（I）解法一：所有可能的申请方式有 34种，而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24种。记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则4421
9、6( ).813P A 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验.记“申请 A 片区房源”为事件 A，则1( ).3P A 由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，没有人申请 A 片区房源的概率为004 441216(0)( ) ( ).3381PC（II）所有可能的申请方式有 34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有种.12123 34243()C C CC C或记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从而有12123 34243 4443644( )( ).99333C C CC AP BP B或18 （本题 13 分）6解：（I）21
10、( )sin23cos2f xxx13sin2(1cos2 )22 133sin2cos2222 3sin(2).32xxxxx故的最小正周期为( )f x2.2T（II）依题意3( )( )42g xf x33sin2()4322sin(2)3.6xx当为增函数，0,2, ( )466 3xxg x 时所以上的最大值为( )0,4g x在3 3().42g19 （本题 12 分）解：（I）因322( )21,( )62.f xxaxbxfxxaxb故从而2 2( )6(),66aafxxb即关于直线对称，从而由题设条件知( )yfx6ax 1,3.62aa 解得又由于(1)0,620,12.
11、fabb 即解得（II）由（I）知32( )23121,f xxxx2( )6612fxxx6(1)(2).xx令12( )0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx 即解得当上为增函数；(, 2),( )0,( )(, 2)xfxf x 时故在7当上为减函数；( 2,1),( )0,( )( 2,1)xfxf x 时故在当上为增函数；(1,),( )0,( )(1,)xfxf x时故在从而函数处取得极大值处取得极小值1( )2f xx 在2( 2)21,1fx在(1)6.f 20 （本题 12 分） 解法一：（I）如答（20）图 1，过 D 作 DFAC 垂足为 F， 故由平面 ABC平面
12、ACD，知 DF平面 ABC，即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高，设 G 为边 CD 的中点， 则由 AC=AD，知 AGCD，从而22221152( ).221115.224AGACCGAG CDAC DFCD AGDFAC由得由2213,3,.22ABCRt ABCABACBCSAB BC中故四面体 ABCD 的体积15.38ABCVSDF（II）如答（20）图 1，过 F 作 FEAB，垂足为 E，连接 DE。由（I）知 DF平面 ABC。由 三垂线定理知 DEAB，故DEF 为二面角 CABD 的平面角。在2222157,2(),44Rt AFDAFADDF中在中，EF
13、/BC，从而 EF：BC=AF：AC，所以Rt ABC7.8AF BCEFAC在 RtDEF 中，2 15tan.7DFDEFEF解法二：（I）如答（20）图 2，设 O 是 AC 的中点，过 O 作 OHAC，交 AB 于 H，过 O 作OMAC，交 AD 于 M，由平面 ABC平面 ACD，知 OHOM。因此以 O 为原点，以射线 OH，OC，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系 Oxyz.已知 AC=2，故 点 A，C 的坐标分别为 A（0，1，0） ，C（0，1，0） 。设点 B 的坐标为，有11(,0),| 1B x yABBCBCuuu ruuu ruuu
14、 r由822 1122 1111111,(1)1,33,22().11,22xyxyxxyy 解得舍去即点 B 的坐标为3 1(,0).22B又设点 D 的坐标为有22(0,),| 1,|2,DyzCDADuuu ruuu r由22 2222 222222(1)1,(1)4,33,44().1515,44yzyzyyzz 解得舍去即点 D 的坐标为从而ACD 边 AC 上的高为315(0,).44D215|.4hz又2231|( )(1)3,| 1.22ABBCuuu ruuu r故四面体 ABCD 的体积115| |.328VABBC huuu ruuu r（II）由（I）知3 3715(,0),(0,).2244ABADuuu ruuu r设非零向量是平面 ABD 的法向量，则由
